复变函数与积分变换课程教案讲义
《复变与积分变换教案》
第一次课
1 教学目标: 使学生重温复数概念,熟练掌握复数及共轭下的运算法,了解复
平面,学会运用复数的三角
示出理问题。
2 讲课段落:
复数产生的背景,特点;
平面向量和复数的关系;
共轭复数的作用;
三角表示;
复方根求法;
复数定义与平面向量变换的内在联系。
3 知识要点:
22z,x,y
z,z,|z|,|z|
z,z,z,z 1212
2
z,zz
z,z,2iImzzzz,,2Re, i,e,cos,,isin,
i,,,z,rcos,,irsin,,rcos,,isin,,re ,,,,Argarg2zzkπ,
yImzsin(argz),, 22zxy,
zz,rr,zz 121212
1
Arg()ArgArgargarg2zzzzzzkk,,,,,,π, 121212
nin,ni,,e,w,z,re
1
,,2kπ,,n,,r,,,k,, n
k1,,,,2,i
nnk,0,1,2,?,n,1w,re,
4. 例:
i1,iRez,Imz,zz,,例1-1 设 ,求。 1,ii
,,zz11,,z,3,4i,z,1,2i例1-2 设 ,求, 12,,zz22,,
zz例1-3 设及为两个复数,试证: 12
222zzzzzz,,,,2Re() 121212
并用此等式
三角不等式
0Re0z,,, 推导,当, Imz,0argz,,,Re0;z,,
Imz,arcsinRe0z,,z,当, Imz,0argz,,Imz,,,,arcsinRe0;z,z,
Imz,arcsinRe0z,,z,当, Imz,0argz,,Imz,,,,,arcsinRe0z,z,
arg(2,2i)Arg(34),,i例1-4 求和
2
例1- 6(较难) 设 则有 z,0,zzzz,,,,1||1arg
1,i例1-7 试求的模和主幅角 1,i
,2, 见解, 相当于将向量,0,1,逆时针旋转度角,i2
,,从而得到向量,1,0,而此向量对应复数,这也可解,1
2释为的根。 z,1,0i
nArg()Argznz,,
1,iz,w例1-9 求9的四 求 复数 的四次方根。
,1,i3
,,n,3, 单位圆内接正边形的顶点的复数表示。
3
《复变与积分变换教案》
第二次课
1 教学目标: 使学生熟练二维平面图形的复形式,熟练掌握复变函数的分量处理法,重温二元微积分,并赋以复的外衣而导出复变量,复数列,复变函数增量和复积分等知识。
2 讲课段落:
平面曲线(定向)和区域;
复变函数的分量处理法;
二维平面图形的复形式;
复变量,复数列,复变函数的极限和连续性;
复变函数的增量;
复积分定义和计算,
复积分的性质。
3 知识要点:
, 无重点的按段光滑闭曲线简称为简单闭曲线。
上可证明任一
条在平面上有确定的始端和终端的简单曲线是可求长的,特别是
任一条简单闭曲线总是有有限长度的。
P,(x,y), 对给定点和正数,称 ,,000
22U(P), ,,(x,y)(x,x),(y,y),,,00
为的一个邻域。 P
, 平面上的区域为可用折线连通的开集. D
C,C,C,?,C, 本课程中经常出现的多连域为有限条简单闭曲线按以下D012m
D,D,D,?,DC,C,C,?,C方式围成的区域:设分别为的内部区域,012m012m
m
D,D,,C,C,,1,j,k,m满足 (1) , (2) , , (3) , D,Djkjk:0j,1j
0,j,k,m。
m
,:,,,,CCCC称此多连域为复围线围成的区域, 即。DD,D,D012m:0j,1j
4
m
C,C,C,?,C也称为的边界。而数学上称即连同一起的DD,D,D012m:0j,1j
C,C,C,?,C集合为多连域的闭包,也记为。而复围线:的正向DD,012m
C,C,?,CC定义为,在上取逆时针方向,而在上都取顺时针方向。 12m0
, F(x,y),0,C:
经变换
z,zz,z x,, y, , 22i
z,zz,z,,F,,0得到,的复数表示 ,,22i,,
, 若平面曲线
方程为
x,x(t),,,,t,,,, ,y,y(t),
则其复数表示为
,,t,,z,z(t):,x(t),iy(t),
, 所以一个复变函数相当于两个二元函数,即
u,u(x,y),w,f(z) ,,v,v(x,y),
max,xxyyzzxxyy,,,,,,,,, ,, 00000
,,maxa,x,b,yz,z,a,x,b,y, ,n0n0n0n0n0
max,uavbfzAuavb,,,,,,,,,,,,,
fzfz,,,,,0
, ,,,,,,,,,,,,uxyivxyxuxyivxyyEiE,,,,,,,,,,,,xxyyuv00000000
fzuxyivxyfzuxyivxy,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 100000200000xxyy
5
fzfzfzfz,,,,,,,,,,,,10201020fzfzzzoz,,,,,,,,,,,,,,,,,,,02222ii,,,,
fzzuxvyivxuy()ddddd,,,,,,,, CCC
l,j,fzzfztztt()d(())()d,,jj,,, ,j,1jC
,,2,1,in,,dz,
,,n,, 的整数0,1n,,,za,,,,C,
fzzfzz()d()d,,,,, ,CC
fzzuxysivxys()|d|(,)d(,)d,,,,,, CCC
fzzfzzML()d()d,,,,,
CC
4. 例:
zxiy,,例1-11 求以为心,R为半径的圆周参数方程复000
数形式。
例1-12考察平面上的曲线具有下列复数形式:
,arg(1)argz,,z,,并给出该曲线实形式的代数方程。 4
2例1-13 关于wz,的映射特征的两种描述方法。
1w,例1-14 的整体处理。 z
6
例1-15 证明 在复平面上,除去原点和负实轴,w,f(z),argz
都连续。
例1-17 (重要的常用例子)
,,2,1,in,,dz,,,n ,的整数0,1n,,,za,,,,C,
dz,其中为中心在实轴上的连接上半平面例1-18计算C,ImzC
z,z内两点的一段圆弧。 12
7
《复变与积分变换教案》
第3次课
教学目标:讲解习题以巩固复变函数的基本知识。
22z, 才是实数。 zxiyyzixy,,,,,,,,0,,1,则当且仅当时2(1),z
11nnz, 设为自然数,是实数,但不是实数,求。 z,z,nzz
zz,21zz,, 证明由方程确定的曲线,是以两点为直径的端点的Re1,12zz,1
圆周。
za,,1, 证明方程表示的是以为中心,1为半径的圆。 z,01,az
z, 下列条件的点组成的点集是什么?如果是区域,指明是有界的还
是无界的,闭的还是开的,单连通的还是复连通的,并作图。
zi,, 0arg,,zi4,
3,,z, 已知映射,求
,0arg3,,z,点平面上的象;区域在平面zizizi,,,,,,1,3在,123
8
上的象。
lim()fzzfz()xx,00, 设极限存在且有限,证明在点的某一邻域内是有界的。
zfz()0,z, 设在点连续,且。证明: 存在点的某一邻域,fz()000
使得在此邻域内恒不为零。 fz()
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《复变与积分变换教案》
第四次课
1 教学目标: 按一元微积分的方式引入复变函数导数的定义,必然涉及二元微分学,导致C-R条件的建立。理解解析函数的概念,掌握解析函数的充要条件。
2 讲课段落:
, 复变函数导数的定义;
, 复变函数小增量公式和C-R条件;
, 解析函数的概念;
判别解析函数的充要条件;
3 知识要点:
fz,,z,fz()()00,fz,()lim0, ,z,0,z
,f(z,,z),f(z),f(z),z,h(,z),z, 000
, Cauchy-Riemann条件:
,,uv,,uv
,,, , ,,xy,,yx
,,,,uvvu
,fzii(),,,,, ,,,,xxyy
w,f(z)f(z)D, 设在一个区域,内有定义,若在内处
f(z)D处可导,称在解析。
f(z),,U(z),z|z,z|,,,,0, 若存在,在内处处,00
zf(z)0可导,称在解析。
, 在一点解析的判别定理和一区域上的解析函数的判别
10
fzuxyivxy()(,)(,),,, 设在区域内解析,并D
fzc()(),常数,fzzD()0(),,且,则; , 反函数求导公式:设在区域解析,且当时,w,f(z)Dz,D
,, 又设为的单值连续反函数,满足f(z),0z,h(w)w,f(z)
, 则在区域解析,且有 w,f(h(w))z,h(w),,G,ww,f(z),z,D
11,h(w),, 。 ,f(h(w)),f(z)z,h(w)
4. 例:
zzf(z)f(z)00 例2-1(若在可导,则在连续。
,nn,1,,z,nz例2-2 证明 。
w,z例2-3 在复平面上处处不可导。
2
w,zz,0例2-4 当且仅当可导。
2
f(z),z-5 在复平面不解析。 例2
例2-6 判别下列函数是否解析:
xfzeyiy()(cossin),, (1);
fzzz()Re(), (2)。
211,fzzz()(345),,,例2-8求 的导数。 fz,,
11
12
《复变与积分变换教案》
第五次课
1 教学目标:复习解析函数的充要条件,引进复变初等函数。掌握基本初等函数
的特性和运算方法。
2 讲课段落:
;
, 指数函数的几何特性;
, 对数函数的多值性简介和单值分支函数的解析性; , 幂函数的各类情形的分析和单值分支的计算; , 三角函数的讨论;
, 反三角函数
3 知识要点:
zxxiyw,e,e[cosy,isiny],ee, ;
zz,(e),e, ;
z,i2k,z
e,ek,Z, (1). , ; (2). 设两个复数
Imz,Imz,2,z,zz,z满足,,则有 121212
zz12e,e
uu,lnze,zu,iviargz,e,ze,, v,argz,2k,v,argz,2k,
wzuivzizk:Lnln(arg2,,,,,,π),
wi2k,Kw,Lnz,lnz,i(argz,2k,),e,ze,z, kk
z,z, 设,且, 则对每个给定,,z,z,z,,,argz,,1212
Lnz,Lnz的,有 k,Zk1k2
13
111,Lnz(),,,kw, w,ze()ew,Lnzw,LnzKK
azki(ln2),,aazln0zee,,
, 2kia,,,(0,1,),,,ek0
aLnzakddze,1a,,az, ddzz
iziziziz,,eeee,,
sin,coszz,,, 22i
4. 例:
Ln1,Ln2,,例2-10 求,以及与它们相应的
主值。
1,i
2例2-12 求。
21例2-13 求的值。
sin(12),i例2-14 求的值。
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《复变与积分变换教案》
第六次课
1 教学目标:为导出解析函数的高阶导数和Taylor公式,引进Cauchy积分定理和Cauchy积分公式。了解Cauchy积分定理基本思想和深刻含义,学会运用Cauchy积分公式计算复积分。
2 讲课段落:
;
, Cauchy积分定理的背景,基本思想及其应用; , 多连通域的Cauchy积分定理
, 证明Cauchy积分公式;
, 运用Cauchy积分公式计算复积分;
3 知识要点:
f(z)dz,udx,vdy,ivdx,udy,0,,,,,
CCC
udx,vdy,0vdx,udy,0,,,; CC
Df(z), Cauchy积分定理:设为单连域,在
15
CD内解析,为,内一条简单闭曲线,则有
f(z)dz,0
,
。 C
Cz,0z,1其中:定向为始于终于的
含于上半平面内的任一条简单曲线。;
f(z)Df(z), 若在单连域,解析,则在内积分与路径无关。
z
,Fzfd()(),,,,F(z),f(z), ,
z0
m
f(z)dz,f(z)dz,,,, ,1jCC0j
a,:C,C,?,C, 设为复围线围成的多连01m
域内的一点, 则有。 D
,,2,1,in,,dz,
,,n, 的整数0,1n,,,za,,,,,,
4. 例:
16
zedzC,, 计算复积分 , 其中:定向为始于
C
z,0z,1终于的含于上半平面内的任一条简单曲线。
1
dz,C, 计算复积分 , 其中:为单位圆上zC
z,iz,1沿逆时针方向,始于终于的含于第一象限内的一段弧。
dz
|z|,2,C, 计算复积分 ,其中为z(z,1)C
的正向。
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《复变与积分变换教案》
第七次课
1 教学目标:导出解析函数的高阶导数,学会运用高阶导数公式计算复积分。
2 讲课段落:
, Cauchy积分高阶导数定理的背景;
, 多连通域的Cauchy积分高阶导数定理
, 运用高阶导数公式计算复积分。
3 知识要点:
nD, 对每个自然数,在内定义函数
(,)f
(),Fzd,nn, (,)z,,
,z,D则对,有
,F(z),nF(z)nn,1
nnf(z)D, 对每个自然数,在内处处有阶
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,z,D导数,且对 有
,!()nf(n)
(),fzd,,n1, 2i(,)z,,,
,f(z),u,iv,v,iu, 由于,而高阶导数定xxyy
f(z),f(z)理认定,一但解析 则也解析,
,f(z)自然更有连续,从而可知u,v,u,v都连续。 xxyy
f(z)DD, 设为单连域,在内连续,若对
f(z)dz,0C,D任一内简单闭曲线有 ,
C
f(z)D则在解析。
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《复变与积分变换教案》
第八次课
1 教学目标:导出解析函数的Taylor级数,学会解析函数的Taylor级数展开的基本方法。
2 讲课段落:
, 复级数,幂级数,Abel定理;
, 导出解析函数的Taylor级数的准备;
, 推导解析函数的Taylor级数
3 知识要点:
,,
z|z|,k,,k, 收敛 收敛; k,11k,
,
kcz,R,0|z|,R,k, 如果 使得幂级数在
k,0
|z|,R上有个收敛点,则它在内处处绝对收敛;
,
kcz|z|,R,k,R,0, 如果 使得幂级数在上有个发
k,0
20
|z|,R散点,则它在处处发散。 , 幂级数的收敛圆;
, 幂级数的和函数的性质;
, 幂级数在收敛圆内可逐项求导,可逐项积分;
1
, 复变函数为Taylor级数展开的基本工具; 1,z
z,DzDf(z)D0, 在解析,,则在任一全含于内的的0
U(z),,0,0邻域()内有
,
nf(z),c(z,z),0n 0n,
(2-58)
n,0,1,2,?其中,对 有
()nf(z)0c,n n!
21
《复变与积分变换教案》
第九次课
1 教学目标:解析函数的Taylor级数的唯一性定理,间接展开的各种方法。
2 讲课段落:
, 解析函数的Taylor级数揭示解析函数的内涵;
, 解析函数的Taylor级数的唯一性定理;
, 解析函数的Taylor级数的间接展开方法。
3 知识要点:
, 初等函数的幂级数展开;
, 揭示初等函数的解析函数的内涵;
zf(z)0, 不论用什么方法得到的在的某邻域内的幂级数,其
系数必为Taylor
系数。
, 解析函数的Taylor级数的间接形成的各种方法。
22
《复变与积分变换教案》
第10次课
1 教学目标:孤立奇点的定义,环域内解析函数的Laurent级数, 间接展开的各种方法。
2 讲课段落:
, 有限点处和无穷远处的孤立奇点;
, 环域内解析函数的Laurent级数的推导;
, 环域内解析函数的Laurent级数的特性;
, 环域内解析函数的Laurent级数的间接展开方法。
3 知识要点:
, 空心领域内的解析函数;
, 圆周外区域内的解析函数;
, 由环域内解析函数的柯西积分公式导出Laurent级数; , 给定解析函数在给定环域内的Laurent级数的唯一性; , Laurent级数的间接展开方法;
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《复变与积分变换教案》
第11次课
1 教学目标:孤立奇点的分类,解析函数的极点,各类孤立奇点的判别 。
2 讲课段落:
, 有限点处和无穷远处的孤立奇点分类;
, 从Laurent级数的特性判别孤立奇点的类型;
, 解析函数的极点的判别法。
3 知识要点:
, 由空心领域内的解析函数的Laurent级数给出有限点处孤立奇点
分类;
, 由圆周外区域内的解析函数的Laurent级数给出有限点处孤立奇
点分类;
, 可去奇点和本性奇点;
, 解析函数的极点的特征;
, 解析函数的零点和极点的关系。
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《复变与积分变换教案》
第12次课
1 教学目标:留数的定义,解析函数的留数定理,各类孤立奇点的留数的计算。
2 讲课段落:
, 有限点处和无穷远处的孤立奇点的留数;
, 解析函数的留数定理;
, 可去奇点和本性奇点处的留数
, 解析函数的极点处的留数。
3 知识要点:
, 孤立奇点处的空心领域内的解析函数的Laurent级数的逐项积
分;
, 多连域的Cauchy积分定理的留数表示形式; , 可去奇点和本性奇点处的留数的特性描述; , 解析函数的极点处的留数的几个公式;
, 解析函数的全部留数的和谐关系。
25
《复变与积分变换教案》
第13次课
1 教学目标:留数方法在计算复积分中的应用。 定积分的围道积分方法。
2 讲课段落:
, 有限点处和无穷远处的孤立奇点的留数在计算复积分中的应用; , 被积函数为有理函数复合三角函数型的定积分的围道积分方法; , 被积函数为有理函数的广义定积分的围道积分方法。
3 知识要点:
, 极点处的留数的几个公式在计算复积分中的应用; , 无穷远处的孤立奇点的留数公式的介绍;
, 无穷远处的孤立奇点的留数在计算复积分中的作用; , 围道积分的变量替换方法;
, 围道积分的辅助围线的构造。
26
《复变与积分变换教案》
第14次课
1 教学目标:解析函数与调和函数的关系。 求给定调和函数的共轭调和函数的方法。
2 讲课段落:
, 解析函数和共轭调和函数;
, 单连域内求给定调和函数的共轭调和函数的方法; , 由一对共轭调和函数导出一族解析函数;
, 由解析函数的导数求调和函数的稳定点。
3 知识要点:
, 证明解析函数的实、虚部都是调和函数;
, 在单连域内由给定调和函数的第二类曲线积分表示其共轭调和函
数;
, 利用解析函数的导数公式由给定调和函数得到其共轭调和函数; , 利用解析函数的导数公式得到给定调和函数的稳定点。
27
, 围道积分的辅助围线的构造。
28
《复变与积分变换教案》
第15次课
1 教学目标:解析函数导数的几何特性。保形映照的基本理论和方法。
分式线性映照的分解和特性。
2 讲课段落:
, 光滑曲线的定向,光滑曲线的夹角;
, 解析函数非零导数的在光滑曲线映照中的不变量; , 保形映照的概念;括充复平面;
, 解析函数在导数非零处的保形性;
, 分式线性映照的基本认识。
3 知识要点:
, 光滑曲线的方向的宏观定性分析和微观定量分析; , 两条光滑曲线的夹角的定量表示;
, 解析函数非零导数的辐角和模在微观映照中的作用; , 解析函数在导数非零处的保形性;
, 解析函数形成区域内保形映照的条件;
, 分式线性映照的分拆;
, 平移,旋转,拉伸和反演在括充复平面的保形性。
29
《复变与积分变换教案》
第16次课
1 教学目标:分式线性映照的特性。 保形映照的复合。分式线性映照与幂函数映照的复合。了解指数函数映照。
2 讲课段落:
, 分式线性映照的保圆性,保域性,保对称性;
, 从上半平面到单位圆和单位圆到单位圆的分式线性映照; , 幂函数映照和指数函数映照;
, 各类角域到上半平面保形映照。
3 知识要点:
, 括充复平面上的广义圆;
, 分式线性映照三点唯一确定性及其在定向曲线方向和定象域中的
应用;
, 广义对称点的特性和分式线性映照的保对称性; , 有界两角形区域到无界角域的分式线性映照;
, 幂函数的保形性;
, 初等函数复合映照的保形性。
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