浙教版八年级上册第六章《一次函数》知识点及典型例题(无答案)

新浙教版八年级上册第六章《一次函数》知识点及典型例 关于基本概念和性质的知识点 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式中,示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 ★★★判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应 例题：1、下列说法正确的是：（    ） A 变量x，y满足y2=x，则y是x的函数    B变量x，y满足x+3y=1，则y是x的函数 C 等式πr3是所含字母r的函数          D 在V=πr3中，是常量，r是自变量，V是πr的函数 例题：2、下列解析式中，y不是x的函数的是（    ） A y+x=0      B |y|=2x      C y=2|x|      D y=2x2+4 C 例题：3、下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） 函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 例题：东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________． 例题：平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________． 自变量取值范围：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围。 确定函数自变量取值范围的方法：   （1）必须使关系式成立。 ①当关系式为整式时，自变量取值范围为全体实数； ②当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零； ③关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方的式子不小于零； ④当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零；   （2）当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围还要符合实际情况，使之有意义。   （3）当函数关系表示一个图形的变化关系时，自变量的取值范围必须使图形存在。 例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（  ） A．y=    B．y=    C．y=    D．y=· 例题：函数y=中自变量x的取值范围是___________. 例题：已知函数，当时，y的取值范围是 （  ） A.    B.    C.    D. 3、一 次 函 数（概念及待定系数数） 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b （k为任意不为零实数，b为任意实数） 则此时称y是x的一次函数。 特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为任意不为零实数） 定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。 例题：1下列函数中：（1）y=πx  (2)y=2x-1  (3)y=  (4)y=2-1-3x  (5)y=x2-1中，是一次函数的有（    ） （A）4个      （B）3个      （C）2个      （D）1个 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：确定一次函数的表达式 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）代入得2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程组，得到k，b的值。 （4）写出这个一次函数的表达式。 4、一次函数的图像 （图象与性质） 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 一次函数y=kx＋b的图象的画法. 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（，0）. 　 b>0 b<0 b=0 k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，y随x的增大而增大 k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 图象从左到右下降，y随x的增大而减小 判断函数图象的位置 例题：若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过        （  ） A.第一象限          B. 第二象限        C.第三象限        D.第四象限 例题：一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A. 第一象限  B. 第二象限   C. 第三象限   D. 第四象限 一次函数性质： 1　在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 2　一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0），正比例函数的图像总是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 4、特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 ★★★当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1） 正比例函数性质 解析式：y=kx（k是常数，k≠0），必过点：（0，0）、（1，k） 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴 例题：正比例函数，当m          时，y随x的增大而增大. 例题：若是正比例函数，则b的值是（    ）   A.0        B.            C.          D. 例题：函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是  (    ) A.      B.      C.        D. 5、一次函数的简单应用：也就是应用它的概念、图象或性质解题 确定字母系数的取值范围 例题：已知正比例函数 ，则当m=______________时，y随x的增大而减小。 比较x值或y值的大小 例题： 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ） A. x1>x2   B. x10时，向上平移；当b<0时，向下平移）. 直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系 （1）两直线平行：k1=k2且b1 b2     （2）两直线相交：k1k2       （3）两直线重合：k1=k2且b1=b2 一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 考点一：变量、常量及函数定义 考点二、自变量取值范围 考点三、函数的图像与解析式的关系：特别注意分段函数的解析式及图像 考点四、一次函数和正比例函数的定义 考点五、待定系数法——求函数解析式 考点六、一次函数图像的位置 考点七、一次函数的增减性 考点八、两直线的位置关系 考点九、用函数的观点看方程（组）、不等式 将考点与相关习题联系起来 考点一：变量、常量及函数定义 1、下列函数关系式中不是函数关系式的是（      ） A.   B.   C.   D. 2、下列各图中，不能表示y是x的函数图像的是 （        ）  考点二、自变量取值范围 1、函数的自变量x的取值范围是                2、函数的自变量x的取值范围是                3、函数的自变量x的取值范围是                4、小强在劳动技术课中要制作一个周长为10cm的等腰三角形．请你写出底边长y（cm）与一腰长x（cm）的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 考点三、函数的图像与解析式的关系：特别注意分段函数的解析式及图像 注意把握：（1）始点、终点、拐点的坐标及实际意义 （2）每条线段（射线）的解析式、取值范围、实际意义 （3）每个解析式中K的实际意义 1、如图反映的过程是：晓明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到新华书店去买书，然后散步走回家。其中表示时间（分钟），表示晓明离家的距离（千米），那么晓明在体育馆锻炼和在新华书店买书共用去时间是_______________分钟．你还能分析出什么？ 2、如图，已知蚂蚁以均匀的速度沿台阶A→B→C→D→E爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图像大致是（      ） 第3题图 3、如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边 上有一动点沿运动一周，则的纵坐标 与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是（    ） D. 4、某学校组织团员举行宣传活动，从学校骑车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（    ） A.45.2分钟    B.48分钟    C.46分钟    D.33分钟 5、小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题： （1）小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？ （2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是多少？ (3）返回时平均速度是多少？ 6、如图表示，一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）根据图象解答下列问题： （1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（写出自变量的取值范围）； （2）轮船和快艇的行驶速度分别是多少？ （3）问快艇出发多长时间赶上轮船？ 考点四、一次函数和正比例函数的定义 1、函数是一次函数，则k值为_______________ 2、函数是正比例函数，则m值为_______________ 3、函数是正比例函数，则k值为_______________ 考点五、待定系数法——求函数解析式 1、已知一次函数的图象过（3，-3）点，并且与直线相交于x轴上一点，求此一次函数的解析式。 2.声音在空气中传播的速度（m/s）是气温（℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温的音速： 气温（℃） 0 5 10 15 20 音速（m/s） 331 334 337 340 343 （1）请求与之间的函数关系式； （2）当气温℃时，某人看到烟花燃放2s后才听到声响，那么此人与烟花燃放地约相距多远？(光的传播时间忽略不计) 3、如图，一次函数图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，则该一次函数 的表达式为（    ） A．        B．      C．        D． 4、已知一个正比例函数与一个一次函数交与点P（-2, 2），一次函数 与x轴、y轴交与A、B两点，且B（0，6） （1）求两个函数的解析式 （2）求△AOP的面积 5、已知直线AB：与x轴、y轴分别交与点A、B，y轴上点C坐标为（0，10） 且△COM≌△AOB，求直线CM的解析式 考点六、一次函数图像的位置 1、若一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那（    ） A．，        B．，        C．，        D．， 2.一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当时，中，正确的个数是（    ） A．0        B．1        C．2        D．3[来源 3、若一次函数的图象不经过第一象限，则K_______b_______ 考点七、一次函数的增减性 1、在函数 y＝kx（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（－1，y）、C（－2，y）三个点，则下列各式中正确（  ） A、y1＜y2＜y3      B、y1＜y3＜y2      C、y3＜y2＜y1        D、y2＜y3＜y 2、若一次函数函数值的范围为，则此一次函数的解析式为        3、一次函数y=（2a-3）x+a+2的函数在-2≤x≤1内的一段都在x轴的上方，求a的取值范围． 4、已知一次函数，y随x的增大而减小，则它的大致图像为  （      ） A                  B                  C                  D 考点八、两直线的位置关系 （1）相交：两直线相交，则可将解析式联立形成方程组，方程组的解就是_______________ （2）平行：两直线平行，则K值_____________ 特殊的：垂直: 两直线垂直，则K值之积=_____________ 1、已知直线AB：与x轴、y轴分别交与点A、B，y轴上点C坐标为（0，10） 且△COM≌△AOB，求点N坐标 2、已知直线相交于第四象限，求k的取值范围。 y 3、如图，直线y＝－x+4与y轴交于点A，与直线y＝x+交于点B，且 直线y＝x+与x轴交于点C，则△ABC的面积为          ． 4、将直线向下平移m个单位得到的直线是（    ） A. B .    C .   D . 5、已知直线经过点（－1，6）和（1，2），它和x轴、y轴分别交于B和A；直线经过点（2，－4）和（0，－3），它和x轴、y轴的交点分别是D和C。 （1）求直线和的解析式；[ （2）求四边形ABCD的面积； （3）设直线与交于点P，求△PBC的面积。[来源:学科网 考点九、用函数的观点看方程（组）、不等式 （1）一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值. （2）一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. （3）一次函数与二元一次方程组 ①二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点 1、如图，一次函数的图象经过A、B两点，则关于x的不等式的解是              第1题 第2题 2、直线与直线在同一平面直角坐标中图像的位置如图所示，则关于x的不等式的解集为        拓展一下、倾斜度——K的作用 |k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴. 1、结合图像，试说明三条直线K值之间的大小关系________________ 综合练习 1.如图,直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点C、A，B点坐标为(4,0),过点B作BD⊥AC于D,BD交OA于点H. (1) 请求直线BD的解析式； (2) 有两个动点P和Q分别从点C和点O同时沿x轴正方向匀速运动,速度分别为2个单位每秒和1个单位每秒,设△PQD的面积为S，点P、点Q的运动时间为t秒,请求S与t之间的函数关系式.（请直接写出相应的自变量t的取值范围）； (3)请问t为何值时，△PQD的面积是△BCD的面积的. A A 2、已知直线AB：与x轴、y轴分别交与点A、B，y轴上点C坐标为（0，10） （1）求A、B两点坐标 （2）动M从A点出发，以每秒1单位长度的速度，沿x轴向左运动，连接CM. 设点M的运动时间为t，△COM的面积为S，求S与t的函数关系式.（并标出自变量的取值范围） （3）直线AB与直线CM相交于点；点P为y轴上一点，且始终保持PM+PN最短， 当t为何值时，△COM≌△AOB，并求出此时点P的坐标 3、现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨． （1）设A地到甲地运送蔬菜吨，请完成下表： 运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨) A x B （2）设总运费为W元，请写出W与的函数关系式． （3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 巩  固  练  习 一、选择题 1．下列说法中正确的是(  )   A．一次函数是正比例函数        B．正比例函数包括一次函数   C．一次函数不包括正比例函数    D．正比例函数是一次函数 2．下列函数中是正比例函数的是 (  )   A．矩形面积固定，长和宽的关系                      B．正方形的面积和边长的关系   C．三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系    D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系 3．已知y与x成正比例，如果x=2时，y=1，那么x=3时，y为    (  )   A．                B．2                C．3                D．0 4．当x=3时，函数y=px-1与函数y=x+p的值相等，则p的值是                (  )   A．1                    B．2                C．3                D．4 5．下列函数：①y=8x；②y=-；③y=2x2；④y=-2x+1．其中是一次函数的个数为    (  )   A．0                    B．1                C．2                D．3 6．在一次函数y=kx+3中，当x=3时，y=6，则k的值为                        (  )   A．-1                B．1                C．5                D．-5 7．过点（2，3）的正比例函数解析式是                                        (  )   A．y=x                                    B．y=   C．                                D．y=x 8．已知关于x的一次函数y=m(x-n)的图象经过第二、三、四象限，则有            (  )   A．m＞0，n＞0                            B．m＜0，n＞0   C．m＞0，n＜0                            D．m＜0，n＜0 9．如图所示，档可能是一次函数y=px-(p-3)的图象的是        (  ) 二、填空题 10．对于函数y=(m-3)x+m+3，当m=__________时，它是正比例函数；当m___________时，它是一次函数． 11．已知y与x成正比例函数，当x=时，y=，则此函数的解析式为__________，当y=时，x=_____________． 12．若函数y=x+a-1是正比例函数，则a=_____________． 13．一次函数y=-3x-5的图象与正比例函数__________的图象平行，且与y轴交于点__________． 14．已知一次函数y=px+m的图象过点（-2，3）和（1，0）两点，则一次函数解析式为__________． 15．已知点P（m，4）在直线y=2x-4上，则直线y=mx-8经过第_____________象限． 16．一次函数y=px+2，请你补充一个条件___________，使y随x的增大而减小． 17．如果直线y=mx+n经过第一、二、三象限，那么mn_________0(填“＞”“＜”或“=”） 18．一次函数y=ax-b图象不经过第二象限，则a_____________，b__________． 三、解答案 19．已知一次函数y=(5-m)x+3m2-75．问：m为何值时，它的图象经过原点？ 20．已知一次函数y=mx+n的图象如图14-2-2所示．   (1)求m，n的值；   (2)在直角坐标系内画出函数y=nx+m的图象． 3、某报亭从报社买进某种日报的价格是每份0.30元，卖出的价格是每份0.50元，卖不出的报纸可以按每份0.10元的价格退还给报社。经验表明，在一个月（30天）里，有20天只能卖出150份报纸，其余10天每天可以卖出200份。设每天从报社买进报纸的份数必须相同，那么这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？ 4、A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象． （1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度． 5、有甲乙两个均装有进水管和出水管的容器，初始时，两容器同时开进水管，甲容器到8分钟时，关闭进水管打开出水管；到16分钟时，又打开了进水管，此时既进水又出水，到28分钟时，同时关闭两容器的进水管。两容器每分钟进水量与出水量均为常数，容器的水量y(升)与时间 (分)之间的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）甲容器的进水管每分钟进水_______升，出水管每分钟出水_____升. （2) 求乙容器内的水量y与时间的函数关系式. （3）求从初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需的时间. 提  高  练  习 一、选择题：   1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（  ）     （A）y=8x    （B）y=2x+6  （C）y=8x+6  （D）y=5x+3   2．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（  ）     （A）m>-    （B）m>5    （C）m=-    （D）m=5 3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（  ）     （A）4    （B）6    （C）8    （D）16   4．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（  ）．     （A）k<    （B）1    （D）k>1或k<   5．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（  ）     （A）第一象限    （B）第二象限  （C）第三象限  （D）第四象限 4．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（  ） （A）y1>y2    （B）y1=y2    （C）y1a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（  ） 6．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过第（  ）象限．     （A）一    （B）二    （C）三    （D）四   7．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（  ）     （A）y随x的增大而增大  （B）y随x的增大而减小     （C）图像经过原点      （D）图像不经过第二象限   8．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（  ）     （A）第一象限    （B）第二象限  （C）第三象限  （D）第四象限   9．要得到y=-x-4的图像，可把直线y=-x（  ）．     （A）向左平移4个单位    （B）向右平移4个单位     （C）向上平移4个单位    （D）向下平移4个单位   10．过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（  ）     （A）4条    （B）3条    （C）2条    （D）1条 ★★当-1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a的取值范围是（  ）     （A）-4设计

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