一般射影线性群PGL(2,q)和4 硕士论文

一般射影线性群PGL(2,q)和4 硕士论文 硕士学位论文研究生姓名 瑚匕蹈导师姓名及 , ,,,年,,月,,,?。?～ 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名:缸丝 日期:肆年血月,日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即:学校有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允许学位论文被查阅和借阅;学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到《中国学位论文全文数据库》，并通过网络向社会公众提供信息服务。作者签名:拉导师签名巡日期:鱼牛年卫月上日 摘要 是现代代数最基本和最重要的概念之一(它在数学本身以及现 技术的很多方面都有广泛的应用(比如在理论物理、量子力学、 学、结晶学等方面的应用就是证明(组合设计在数学和统计学 着广泛的用途，在这两种数学背景下，组合设计理论得到迅猛 着群论和组合设计的不断发展，人们发现群和组合设计之间存 密的联系(对一些很复杂的群，我们可以通过构造一些设计，使 设计上的自同构群恰好是我们所要考虑的群(这比我们仅从群 来考虑群的结构简单、具体( 文旨在讨论一般射影线性群,,,(,，,)和特殊射影线性群,,,(,，,)区传递作用下的,一(,，,，,，,)设计的存在性问( 第一章中，我们对群与组合设计的历史背景和研究现状进行了综述并简单介绍了本文所做的主要工作( 第二章中，我们给出了群论和组合设计的一些基本知识，为本文的后续工作打下基础( 第三章中，我们探讨一般射影线性群,,,(,，,)区传递作用下的,一(？，,，,，五)设计的存在性问题(得到了以下结论: 定理,:设,,(,，,)是一个,一(,，,，五)设计，,?,,,(,)区传递地作用在，上(如果,,,,(？),,,,,，且,,,,,(,，,)，则下列情形发生: (,)？,,,，,是一个,一(,,，,，,)设计( (,)？,,,，,是一个,一(,,，,，,)设计( 第四章中，我们证明了特殊射影线性群,,,(,，,)区传递作用下的,一(,，,，,，五)设计只可能是,一(,,，,，,)设计(关键词,一(,，,，,，五)设计，区传递，,,,(,，,)，,,,(,，,) ,, ,,,,,, ,,,,, ,, ,,, ,, ,,, ,,,, ,,,,; ,,, ,,, ,,,, ,,,,,,,,, ;,,;,,,, ,,,,,,, ,,,,,,,(，, ,,, , ,,,, ,,,,, ,, ,,,,,;,,,,,, ,, ,,,,,,,,,;, ,,,,,,,,, ,,,, ,,,,;,, ,, ,,,,, ,;,,,;, ,,, ,,;,,,,,,,(，, ,, ,,,,,, ,, ,,,,,,,,;,,,,,, ,, ,,,,,,,,;,, ,,,,,;,，？,,,,,, ,,;,,,,;,，？,,,,,,;,,,,,,,,，;,,,,,,,,,,,,,,，,,, ,, ,,(,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,, ,,, ,,,,, ,,,,, ,, ,,,, ,, ,,,,,,,,,;, ,,, ,,,,,,,,;,(，, ,,,,, ,,, ,,,,, ,,,,,,,,,,,;,, ,,;,,,,,,,，,,, ,,,,,,,, ,, ;,,,,,,,,,, ,,,, ,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,( ,, ,,, ,,,,,,,,,,, ,, ,,, ,,,,,, ,, ,,,,, ,,, ;,,,,,,,,,, ,,,,,,，,,,,,, ,,,,, ,,,,, ,,, ;,,,, ,,,, ,,,,,,, ,,, ,,,,, ,,, ,,, ;,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,,,,,,(,,, ,,,, ,,,, ;,,,,,;,,,, ,,,,,，,, ;,, ;,,,,,,;, ,,,,,,,, ,,, ,,, ,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,, ,,,,, ,,,,,,, ,, ,,,;,,,,,,, ,, ,,, ;,,,,,,,,,(,,,, ,, ,,,, ,,,,,, ,,, ,,,;, ,,; ,,,, ,,,,;,,,,,,,,, ,,, ,,,,, ,,,,;,,,, ,,,, ,,, ,,,,, ,,,,,,( ,,,, ,,,,, ,,,, ,, ,,,;,,,,,, ,,, ,,, ,,,,;, ,, ,,, ,一(,，,，,，旯),,,,,, ,,,,,,,,, ,,, ,,,;, ,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,(,，？),,, ,,,(,，？)( ,,,, ,,,,,, ;,,,,,,, ,, ,,,, ;,,,,,,,( ，, ;,,,,,, ,，,, ,,,, ,,,, ,,,, ,,,,,,,;,,,, ,,,,, ,,, ,,,,,,, ,,,;,,,,,, ,,,,,,;, ,,,,,,,,, ,, ,,, ,,,,, ,,,,,, ,,, ,,,,,,(,,,,,, ,,,;,,) ,,,,, ,,,, ,,,, ,, ,,,, ,,,,;,,(,,,,,,(,,, ,, ,,,,,,, ,,,;,,,, ,,, ，, ;,,,,,, ,(,, ,,,, ,,,,,,,;, ,,, ,,,,,,,,,, ;,,;,,,, ,,,;,,;,,,,,,, ,,,, ,,,, ,, ,,,, ,, ,,,, ,,,,,,( ,,, ,,,,,,, , ,, ,,, ,,;,, ,, ,,,, ,,,,,,(，, ,,,, ;,,,,,,，,, ;,,,,,,,,,,,,,,;, ,, ,,, ,一(？，,，,，五),,,,,, ,,,,,,,,, ,,, ,,,;, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,(,，,)(,, ,,, ,,, ,,,, ,,,,,,, ,, ,,,,,,,: ,,,,,,, ,:,,,,,(,，,),, , ,一(?，，,，,),,,,,,，,,, ,?,,,(,),;,,,,,;,—,,,,,,,,,,,, ,, ,(，, ,,,,(？)，，(,,。。),,, ,,,,,(,，？)，,,,, (,),,, ,，, ,, , ,一(, ,，,，,),,,,,,( (,)？,,,，, ,, , ,一(,,，,，,),,,,,,( ，, ;,,,,,, ,，,, ,,,,, ,,,, ,, ,,,,, ,,, ;,, ,一(,，,，,，五),,,,,,,,,,,,,,,, ,,, ,,,;, ,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,(,，,)，,, ,,,, ,,, ,一(,,，,，,),,,,,,(,,, ,,,,, ,一(,，,，,，,),,,,,,,，,,,;,,,,,,,,,,,,,,，,,,(,，？)，,,,(,，,) 目录第一章绪论…………………………………………………………………………(, ,(,群与组合设计的历史背景…………………………………………………((, ,(,研 究现状……………………………………………………………………一, ,(,关于本文的工作……………………………………………………………,,第二章基础知识……………………………………………………………………(, ,(,群论知识……………………………………………………………………((, ,(,群在集合上的作用…………………………………………………………((, ,(,传递成分,?…………………………………………………………………, ,(,组合设计知识………………………………………………………………一, ,(,本文所用符号………………………………………………………………,,第三章,,,(,，？)作用下的主要结果……………………………………………一,, ,(,引言…………………………………………………………………………………………………(,, ,(, ,,,(,，,,)区传递作用下,一(,,，,，兄)设计的存在性……………………(,, ,(, ,一(,,，,，元)设计的存在性…………………………………………………,,第四章,,,(,，？)作用下的主要结果……………………………………………((,, ,(,引?言…………………………………………………………………………………………………(,, ,(, ,,,(,，？)区传递作用下,一(,，,，,，五)设计的存在性……………………,, ,(, ,,,(,，？):,臼,区传递作用下,一(,，,，,，五)设计的存在性……………((,, ,(, ,,,(,，？):,,,区传递作用下,一(,，,，,，五)设计的存在性……………(,,参考文献……………………………………………………………………………(,,附录 ,…………………………………………………………………………………………………………((,, 程序 ,……………………………………………………………………………………………………(,, 程序 ,??…………,……………………………………………………………,, 程序,……………………………………………………………………………,, 程序,……………一……………………………………………………………,,附录,…………………………………………………………………………………,, 程序,……………………………………………………………………………,, 程序,…………………………………………………………………………………………………((,, 程序 ,……………………………………………………………………………,, 程序,……………………………………………………………………………,, 程序,……………………………………………………………………………,,致谢……………………………………………………………………………………………………………,,攻读学位期，(日,主要研究成 果………………………………………………………(,, ,硕十学位论文 第一章绪论 第一章绪论 弟一早珀了匕,(,群与组合设计的历史背景 置换群的理论是群论中具有悠久历史的一部分(实际上，在很长一段时间内，群总是被理解为置换群(当然，这种理解不再正确了(但是，随着群作用概念的引入，置换群仍在抽象群的具 体化表示中发挥极其重要的作用(对于有限群，矩阵表示和置换表示仍是将抽象群进行具体表示的重要途径(而即使是对于矩阵群，研究它的子群时仍常常需要考虑它在某个几何结构上的置换作用(〔,〕)( 用群论方法研究组合结构是近年来比较活跃的课题(这个课题是来自于群与组合结构理论的交互发展，一方面，几何结构是展现抽象群的性质或子群结构的理想载体之一，而有限几何结构更多地表现为组合方面的性质;另一方面，研究组合结构的自同构群对于了解相关组合结构具有根本的意义，也是对组合结构进行分类的重要手段，而要发现新的组合结构，群理论又往往是最直接的切入口( 组合设计的研究也许始于,,,,,时代到十九世纪之间(〔,〕)(,,,;,,,研究了一类具有区长为,的,一设计(〔,—,〕)，后来,,,,,,,也研究了这些设计和一些，一设计(现在称之为,,,,,,,系)(〔,—,〕)(区组设计是一种常见的组合结构，而线性空间是一个特殊的区组设计( 随着研究的深入，我们发现群和组合设计之间存在着紧密的联系(对一些很复杂的群，我们可以通过构造一些设计，使得这些设计上的自同构群恰好是我们所要考虑的群(这比我们仅从群论角度来考虑群的结构简单、具体(,,,,,,,群就是一个典型的例子(反过来，对设计的自同构群的研究可以帮助我们发现新的设计(〔,〕)(因此，群论领域和组合设计领域互相渗透，互有贡献(,(,研究现状 在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说都占据着更为突出的地位(同时，它也是近年来研究最多，最活跃的一个数学分支(最近,,多年以来，经过很多数学家的努力，在有限群中取得了一连串的突破，并终于在,,,,年解决了著名的有限单群的分类问题(这项重大的科学成果的得来是很不容易的(如果从,,,,年,,,,,,,,,明交错群丘是单群算起，整整经历了,,,年(参加这项工作的数学家前后共达几百人(为了证明单群分类定理，即有限单群共有,,个无限族和,,个零散单群(〔,,—,,〕)，人们使用了抽象群论的，表示论的(包括常表示和模表示)，几何的以及组合论和图论的方法，在杂志上发表了数千页硕十学位论文 第一章绪论以至上万页的论文(这些论文的总体就构成了单群分类定理的证明(当然人们希望能有一个完整的证明，但在今天看来，要写出这样的证明还需要一定的时问(〔,〕)( 由于这项重大的成果，在数学界中形成了“有限群热”，很多学数学甚至学物理都想学一点关于有限群的知识(〔,〕)( ,一设计的构造是组合设计理论中的重要问题，有着重要的理论意义和实际应用背景(〔,,,,,〕)(,一设计的理论与方法在数理统计、运筹学、信息论和计算机科学中都有着重要的地位( 自从八十年代初有限单群分类问题解决以来，有限群的内容得到充实(抽象群论和置换群论以前未解决的一些重大问题也获得了解决(用现有群论的科学成果和方法去研究组合设计，为组合数学注入了新的思想，也成为现在群论界的一个热点(九十年代初，三位群论学家和三位组合学家合作完成的旗传递,一设计的分类定理，就是这方面的巨大成就(同时，在这些过程中提出了一些新的群论问题，也是对群论研究的挑战( 群与组合设计联系中我们考虑的最多的是群,,,(,，？)和群,,,(,，？) (〔,,,,,〕)区传递(〔,,,,,〕)以及旗传递(〔,,,,,〕)作用下的设计，且在,一设计(〔,,,,,〕)，,一设计(〔,,—,,〕)和,一设计(〔,,〕)方面都得到了?欢ǖ慕峁保彻赜诒疚牡墓ぷ?本文主要讨论一般射影线性群,,,(,，？)和特殊射影线性群,,,(,，？)区传递作用下的,一(？，,， ,，，五)设计的存在性(由群,,,(,，？)与区传递的定义我们知道这样的？可分为七种情况，而由设计中的定理:若(,，,)是一个,一(,，,，旯)设计，那么西,,,,,，,?,,也是一个设计，所以我们只要考虑,?,,,，即只要讨论？,,,和？,,,这两种情况( 当？,,,时，五?,,，,，,，,,，而本文已经证明了见的取值只能为,，且该,一(,,，,，,)设计是唯一的，文献〔,〕已给出其存在性( 当？,,,时，五?,,，,，,,(本文已证明了五的取值只能为,，且已构造出了所有可能的,一(,,，,，,)设计( 在本文中我们同时也证明了特殊射影线性群,,,(,，？)区传递作用下的,一(？,，,,，?，，五)设计只有,一(,,，,，,)设计( ,硕七学仲论文 第二章基础知识 第二章基础知识 弟一早荃佃函大,以,(,群论知识 定义,(,(,设矿是数域,上，,维线性空间，则,的所有可逆线性变换对乘法组成一个群，它同构于,上全体，,阶可逆方阵组成的乘法群(这个群记作,,(,，,)，叫做域,上的，,级全线性群( 定义,(,(,令舡(刀，,)为所有行列式为,的胛阶方阵组成的集合，则,,(,，,)是,,(,，,)的子群，叫做,上的，,级特殊线性群( 容易验证，,,(,，,,睁,,(,，目，并且 ,,(,，,),,,(,，,)兰(,，?)(又，由线性代数得知，,,(,，,)的中心,由所有,阶非零纯量阵组成( 定义,(,(,我们称 ,,,(,，,),,,(,，,),,为,上，,阶射影线性群(又 ,,,(,，,),,,(,，,),(, , ,,(,，,))为,上,阶特殊射影线性群( 假定,,,,(？)，是包含？个元素的有限域，则上述各群分别记作,,(,，？)，,,(,，,)，,,,(,，口)，,,,(,，？)( 定理,(,(,(,)，,,(,，,)，,(？”,,)(？”,,)…(矿,？川); (,)，,,(,，,),,〔,,,(,，,)，,，,,(,，？),,(？—,); (,)，,,,(,，,)，,,,,(,，？),,(,，？一,)( 证设,,，,,，…，,是,上,维线性空问,的一组基(,的可逆线性变换口把,,，,,，…，,仍变成,的一组基，于是详，《，…，,，,满足 详?,，,,，诺,茚,，…，《萑,详，…，唾,,这就推出了(,)( 扒,,,(,)，只须注意到,,?,,,,，,,一,，由,,(,，？),,,(,，？)兰(‖，?)及,,,(,，？)的定义立得结论( 而(,)等价于,,,配(胛，,)，,(，,，？,,)(由于,由纯量阵组成，上式左边是满足,”,,，,?,，的,的个数，由于(,?，()是循环群(有限域的乘法群是循环群()，则该群中方程,,,,恰有(,，,,)个解，故我们可以得到(,)( 定义,(,(, ,上的一个置换就是,到自身的一个一一映射(如果我们根据口用,(,,)？来定义,上置换,，？的乘积，那么,上的全部置换对于上述运算硕十学位论文 第二章基础知识构成一个群，称之为对称群，记为,,,(,)(并且,,,(,)的子群称为置换群( 定义,(,(,设,是,上的一个置换群，,是一个自然数，,,,?，,—，,,(如果对,上任意两个有序,点组？，…，,和届，…，羼(对,?,，有？?口，，屈?‖，)，都存在,?,将？变成屈:群,屈(,,,，,，…，,)，我们就称,是,重传递的(若对,上任意两个,点组口,,口,，(((，吼)和‖,,届，…，屏,(对,?,，有钙?口，，屈?‖，)，都存在,?,将口变成‖:口,,‖，则称,是,重齐次的( 推论,(,(,每个,，,重传递群也是,重传递的( 定义 ,(,(,设,为群，日是,的子集，,?,(若,,,,，则称元素,正规化,，而称,中所有正规化日的元素的集合 ?,(,),,,?,,日,,,,为日在,中的正规化子( 又若元素,满足对所有,?,恒有,,,,，则称,元素中心化,，而称,中所有中心化日的元素集合 ;,(,),,,?, ,办,,办，,,?日,为日在,中的中心化子( 规定,(,),,(,)，称之为群,的中心( 定义,(,(,设,为群，口，,?,，规定:口耳,,,,,，称,,为口在,下的共轭变形(称,中元以，,(或子集,，,)在,中共轭，若存在元,?,，使得矿,,(,,,,)(共轭关系是等价关系(于是群,的所有元素依共轭关系可划分若干等价类，称之为共轭类( 定义,(,(, ,中元口所属的共轭类;撇;,,,;:,,位),(因此，,,,也是，,，的因子(类似的，子群(子集),的共轭子群(子集)的个数为,,:,,(,),也是，,，的因子( 定义,(,(,群,称为其子群日，,的直积，如果下面的条件满足: (,),司,，, ？ ,; (,),,,,: (,)片, ,,,( 此时记为,,,,,( 定义,(,(,,设?，，为两个抽象群，口:,专,,,(,)是同态映射，则?和,关于口的半直积,,,,。,规定为 ,,,×,,,(订，,),,?,，,?,)，运算为 (口，,)(,，,),(,,。???，,,)?和,关于口的半直积,,,×。,，也可记为,:,，即?被,的可裂扩张( ,硕士学位论文 第二章基础知识 定义,(,(,,设,为有限群，群,的基柱(,,;,,)是指,的所有极小正规子群的直积，记为,,;(,)(有限群,称为几乎单群，如果存在非交换单群丁使得,,,,,(,)司,?,,,(,)( 定义,(,(,,设,是素数，,,是,阶循环群(，,是一正整数，称 ,,,,×,,,，×…×,, 、———————————,—,,————————, ,为,”阶初等交换,群，它同构于,,(,)上的聆一维向量空间的加法群( 表,,, ,,,(,，,聆)的置换特征(【,,】) , ,(,甩一,)，,的阶 , , , ，(,甩，,) ,?, ,四,的中心化子 ,以 ,疗一, ,甩，,的阶共轭类个数 , , 痧(,),, 矽(,),,,的稳定点个 ,门，, , , ,数 表卜,尸,,(,，,)作用下的轨道数目(【,,】)？模,余数 口满足 ，,口， ,,,，,,的轨道数目 , ,, 口,一口，,,, , (？一,),, 口?,,,，,，?, , , (？一,),, , 口,, ,, (？一,),, , 口,，口，,:, ,, (？一,),, , 口?,,?，,) , (？一,),,,(,群在集合上的作用 定义,(,(,设,,,口，‖，,，…,是一个有限集合，其元素称为点(跏(,)表硕十学位论文 第二章基础知识示,上的对称群(,在,上的作用矽指的是,到,,,(,,)内的一个同态，即对每个元素,?,，对应,上的一个置换 矽(,):口,,,,口。，并且满足: (口。),,,,,, ,，,?,，口?,(如果,,,(矽),,，则称,忠实地作用在,上，这时,看作,上的置换群(如果,,,(?),,，则称,平凡地作用在,上( 定义,(,(,瓯,,,?,,口,口。)，则嚷是,的一个子群，称之为点口的稳定子群(对于任意的,?,，都有,，,,,,,( 定义,(,(,设群,作用在集合,上，称二元素口，‖?,为等价的，记作口一‖，如果存在,?,，使得口。,‖(易验证“,”关系是,上的等价关系(,对“,”的一个等价类叫做,在,上的一个轨道(一个轨道所包含的元素的个数叫做该轨道的长( 对于口?,，令口,,缸。,,?,)，则口,是包含 口的轨道( 定义,(,(,如果,在,上只有一个轨道，即,本身，则称,在,上的作用是传递的( 定义,(,(,群,传递地作用在,上(令?互,，如果对于任意的,?,，都有?譬,,或,,厂、?,,，则称?是,作用在,上的一个区(显然，,，空集。以及单点集缸,都是,的区，则称它们是,的平凡区(如果,仅有平凡区，就称,作用在,上是本原的(,(,传递成分,? 定义,(,(,设,是,上的一个置换群，简言之:,?,,,(,)(如果,的一个子集?满足?,?,，我们就说?是,的一个不动区，或者说?在,下不动，这时，每个,?,诱导出?上的一个置换,?(由所有,?,诱导出的,?的全体组成的集合,?称为,在?上的成分(,?是?上的一个置换群(显然，,专,,是一个同态映射:,;,?(如果这个映射是一个同构映射，即,,，,,,?，，那么成分,?就称为真实的( 显然，,的两个不动区的交与并还是不动区，对每一个子集,?,，,的包含,,的最小的不动区是严( ,上的每个群,都有平凡不动区?和,(如果,没有其它不动区，,称为传递的(否则就成为非传递的(当?(,??)是一个极小不动区时，成分,?是传递的(在这种情形，?称为,的一个轨道或传递集( ,硕，学位论文 第,二章基础知识 定义,(,(,设,?,,,(,,)，,?,(,中那些使?中每个点都保持各自不动的置换组成,的一个子群,。(如果?只包含一个点口，我们就记,,,瓯( 定理,(,(,【,,】每个点口?,恰属于,的一个传递集,,口,(两个点口和‖属于同一个传递集当且仅当对某个,?,，‖,口譬( 定理,(,(,,叫如果?是,的一个传递集并且,?,,,(,)，那么心是,,,伍的一个传递集( 定理,(,(,„,,,对每个,?,和,,,，有,一,,?,,,酽(特别地，,,,果,保持?不.