多次相遇问题

多次相遇问题 用过程图示法解多次相遇问题??兼析一类广为流传的错误 首都师大教育系研究生 李景华 多次相遇类型的行程问题，由于相遇过程复杂，缺乏深入的直观性，难以发掘展开思维的突破口，因而显得晦涩抽象，令人费解。如果在探讨这类问题的过程中，巧妙地辅之以过程图示法，就能达到化繁为易，化抽象为形象的效果。 问题1 甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米。如果他们同时分别从直路两端出发，当他们跑了10分钟时，那么在这段时间内共相遇了多少次,( 1990年上海市第三届小学五年级数学竞赛试题) 命题者给出的解法如下: 解(90×2?3=)60(秒)，即甲经过60秒跑了一个来回，回到原来位置;(90×2?2=)90(秒)，即乙经过90秒跑了一个来回，回到原来位置。60和90的最小公倍数是180，经过180秒甲和乙同时回到原来位置。我们再分析一下，在180秒内，两人相遇了几次。(90?(2+3)=)18(秒)，第18秒时他们第一次相遇，以后每隔36秒相遇一次。(180-18)?36=4„„18，在180秒内第一次相遇后他们又相遇了4次，然后用18秒时间各自回到了原来的位置。可见180秒他们共相遇5次。10分钟有600秒，600?180=3„„60，在3个180秒内相遇(5×3=)15(次);余下60秒还 ×3+2=)17(次)，因此这段时间内他们共相遇有2次相遇的机会;(5 了17次。 事实上，这种解法碰巧避开了一个错误，而且“用18秒各自回到了原来的位置”也不是一目了然的。 问题2 两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时间内一共相遇了多少次,(1990年上海市第三届小学六年级数学竞赛试题) 命题者给出如下解法: 解 30米需要(30?1=)30(秒)，乙游30米需要(30?0.6=)50(秒)，经过150秒甲、乙两人同时游到两端，每隔150秒他们相遇的情况重复出现。在150秒时间内他们一共相遇5次，两人一共游了((1+0.6)× 150=)240(米)。他们相遇的情况用线段图表示如图1。 在第三次相遇时出现了追及相遇现象，因此说这道题的规律比较难 5分钟有300秒，300秒是150秒的2倍，他们共游了480米，以上找， 情况重复出现2次，因此，他们在5分钟内一共相遇了(5×2=)10(次)。 问题2用线段图，直观显示出各个时刻两人的运动状况，并且能清楚看出“各自回到原来位置”的状态，但是这种解法画出了5个时刻图，没有反映出运动的连续性，而且周期稍复杂这种线段图也难以奏效。 我们能否用某种图显示整个连续的运动过程呢,这就需要引进过程图示法。 所谓过程图示法，简单地说，就是以时间为横轴，以路程为纵轴，刻画出这段路程上任何时刻物体的各种运动状态的图形方法。 我们对问题1可以作出如下过程图(如图2):以时间180秒为横轴，以直路长90米为纵轴，就能把这一段时间内(而不仅仅是某一时刻)甲、乙两人的运动情况清楚完整地表现出来。 路程(米) 在图2中，可以看到3分钟内，甲跑了3个来回，乙跑了2个来回，各自回到初始状态。于是，我们可以知道3分钟就是一个最小周期，而且图2清晰地显示出在一个周期内相遇5次，10分钟内前9分钟是3个最小周期，相遇(3×5=)15(次)，后一分钟相遇2次，所以甲乙一共相遇(5×3+2=)17(次)。 为什么说问题1的解法隐含着错误呢,命题者显然是这样推理的:“第18秒时他们第1次相遇，以后每隔36秒相遇一次”。即认为第一次相遇以后每走两个全程(2×90=180(米)， 180?(2+3)=36(秒)相遇一次，实际上在上述过程图与问题2的线段图中，我们都能发现甲速稍大一些，即问题2的情形，这就出现了追及相遇，用每走两个全程相遇一次的思路解题就难免出错。例如《数学思维训练》(湖北少年儿童出版社)一书第39页就有一道这种思路给出的错解例题: 问题3 甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地。从甲地开出的汽车每小时行30千米，从乙地开出的汽车每小时行40千米。当从甲地开出的汽车第三次由甲地出发与另一辆汽车相遇时，两辆汽车各行驶了多少千米, 该书提供的解法如下: 解 设汽车从出发到最后一次相遇共用x小时，则从甲、乙两地开出的汽车分别行驶了30x千米和40x千米.依题意列方程，得 30x + 40x= 5×70 解之，得x=5 又 30x=30×5=150 4Ox=40×5=200 答:从甲、乙两地开出的汽车分别行驶了150千米和200千米。 这种解法错误地根据相遇次数得出了总行程。在《中小学数学》1991年第1期第15页《解多次相遇问题应注意的一点》一文中，两位作者指出了这一错误，然后通过一大段文字分析得出汽车所走路程是全程10倍的结论，因而作出如下纠正: 解 设同前。 30x+ 40x=10×70 解之，得 x=10 又 30x=30×10=300 40x=40×10=400 答:略。 这篇文章的纠正正确吗,让我们画一个过程图示(如图3): 由图3可看出从甲地开出的汽车第三次由甲地出发与另一辆汽车相遇时，两车共走了11个全程～(不是10个)所以本题正确解答是: 解 设汽车从出发到最后一次相遇共用x小时，则从甲、乙两地开出的汽车分别行驶了30x千米和40x千米，列方程得 30x + 40x=11×70 解之，得x=11 又 30x=30 ×11=330 40x=40×11=440 答:从甲、乙两地开出的汽车分别行驶了330千米和440千米。 我们再看一道典型的由相遇次数得出全程的失误命题，在中国大百科全书出版社出版的《华罗庚学校数学试题解析》(小学部)一书第144页，1993年华罗庚学校招生考试(五年级)试题中有这样一道题: 问题4 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B之间不能往返行驶。已知甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，又知两车第10次与第18次相遇的地点相距60米，那么AB间的路程是多少千米, 该书第147页给出如下答案: 第10次相遇时，两车共走了19个全程，设AB间的路程为x千米，则甲 显然这种思路沿袭了问题1的思维方式，事实上，我们可以作出如下过程图示(如图4)。(设AB间路程为x千米) 中点1，第18次相遇地点为图中点9。由于点1是两车由初始状态到第一次相遇的地点;点9是两车由相遇回到各自初始状态的地点，所以点1与点9是AB之间同一点。即两车第10次与第18次相遇地点相同。这大概远出乎命题者的意料。实际上若将“第18次”改成任何其他次数，用过程图示法都能轻松对其求解，只是与命题人本意相去甚远。 正如华罗庚教授所说，数缺形时少直观，形缺数时难入微。借助本文所提供的过程图示法解多次相遇问题，能充分展示整个时间段的全过程，具体相遇细节清楚明了，大大提高了思维效率，并且用绘图计算在逻辑上也是无可挑剔的。 有兴趣的读者不妨试解下面这道竞赛题: 某轮船公司每天中午有一对轮船分别从A、B两地出发开往B、A，行程均为6昼夜，问今天中午从A地开出的轮船途中将遇到几艘本公司轮船从对方开来,(参考答案见本期) 参考书目: 1.金建中等编，《上海市小学数学竞赛试题解答》，上海科技教育出版社，1995年。 2.刘彭芝主编，《华罗庚学校数学试题解析)，中国大百科全书出版 社，1996年。 3.《中小学数学》，第1期(1991年)。