标准偏差估算公式的推证

偏差估算公式的推证 标准偏差估算公式的推证 第25卷第6期 2004年11月 零陵学院 JournalofLinglingUniversity Vo1.25No.6 NVO.2004 标准偏差估算公式的推证 胡华科郑春燕 (嘉应学院地理系;广东514015) 摘要:针对标准偏差估算公式中对偏差的平方取平均值时为什么除于n—l而不除 根据测 于n【n为测量次数)的问题, 量误差理论,给出了严密的推理证明. 关键词:偶然误差;中误差;标准偏差;精度估计 中图分类号:041文献标识码:A文章编号:167卜9697(2004)06—006卜O2 1,前言 在物理,测量等实验过程中,常用标准偏差来估算偶然误差的离散程度,以此来衡量观测值的测量精度.仃关义献 给出的估算公式分别是: ,"=?c,和,"=? ?(2) 其中n为测量次数,m为标准偏差,f为各次观测值,为观测值的平均值.文献?认为测量次数仃限时应选择公 式(2),在讲述理由时各不相同或一句话带过,学生难于理解…,文献【l】用数理统计基本知识,通过比较其数学期望对此 进行了解释.笔者同意有关文献中观测次数有限时(2)式优于(1)式的观点,但对于计算的具体原Il1笔者并不认可,笔 者认为应根据观测量的真值是否已知来确定标准偏差的计算公式,并且(1)式从理论上讲是不严密的.根据误差理论有关 知识,下面给出其推理证明. 2,公式证明 2.1真值已知时的标准偏差估算公式 在数理统计中,高斯根据偶然误差的特性推导出偶然误差概率分布曲线(又称正态分布曲线)方式为: 1一 Y=,(?)=亡P20.2,(]r称标准偏差,为与观测条件有关的参数,并且从理论上可以证明其为该分布曲线拐点的横 坐标值.已知方差定义为:D=limlZa~,?=—x,x为未知量的真值(或称理论值,当然绝大多数情况F 一1 2 ? 真值是未知的),根据积分定义和误差分布曲线定义则有D=I.A2f(A)dA,其中,(?)=—一P2,故行:2~rc~ .=e 寺=去ecc,啪: .=~y2[?=岳[e?=岳卜?1==+t2为 ' 专一罗必嬲知专专一o,…:l… ee..e2a2d(----A)=[e…2~rz抛=e,(?)抛=,敝 ?收稿日期:2004—09—26 6l .= 去co+仃==+J喜=?ILim;~c?,然x因此笔者 认为(1)是不严密的. 2.2真值未知时的标;住偏差估算公式 由于现实情况中未知量的真值大多数情况下是不可知的,因此(3)式虽然严密,但 不具有普遍性,下面推导真值未 知时标准偏差的估算公式. I?I=一XIVI=一 {……………(4)令改正数为{……………(5),将两式对应相加,则有: lAn=Xn—XlVn=一n AI+I=一X+一I=一X-t- ?…?…?????一 ,令=—X,则 An+'n=Xn—X+一n=一+ ++ 1 Vc6,, If=If=I一I—f- AI:一I …… ,将各式平方求和,则柯 A=一V (为观测值的平均值),故 Xi ?(xi—x)?? 因为=—=』兰一一X=』兰=上一,故 ,l,l,l =(?I+?2+…+?)=(+?+…+?)+(?IA2+AtA3+…),根据偶然误差特性可知, 当,zoo n.n.n' 时,上式第二项趋近于零,和第一项相比可忽略不计,即有:砉(+?+…+)砉?,代入 (6),则i 有:喜2=?+v,根据2.,中标准差计算公式可得仃2=去仃2+喜v,=1/, i n 2 /__,/~l1n 厂?—厂?———一 这,就是(2)式除干l的翮'实际工作中观测次数总是有限的,一般 用m代替,又称为中误差. 3,结束语 从上述证明可以得出结论,当未知量的真值已知时(如测绘工作中三角网三角形内 角和必为180.),计算标准偏差宜 用(3)式,否则用(2)式,实际工作中观测次数总是有限的,计算标准偏差公式的选用 并不取决于观测次数.当然也不 否认观测次数足够多时,(1),(2),(3)式相差是不大的,但(2),(3)更严密. 参考文献: 【1】糜觉.对标准偏差估算公式选用的一种解释….江南学院,2001,16(4). 【2】龚镇雄.普通物理实验中的数据处理【M】.西安:西北电讯工程学院出版 社,1985. 【3】张兆奎,缪连元.大学物理实验【M】.上海:华东化工学院出版社,1982. 【4】合肥工业大学,重庆建筑大学,天津大学等.测量学(第四版)【M】.北京:中田 建筑工业出版社,1995 【5】武汉测绘科技大学测量学教研组.测量学【M】.北京:测绘出版社,1991. ARigorousInferencetotheEstimationFormulaoftheStandardDeviation HUHua.keZHENGChun-yan (DepartmentofGeography,JiayingUniversity,Guangdong,514015) Abstract:Inobtainingtheaveragevalueofthesquaredeviationwiththeestimationformulaoft hestandarddeviation.whvis itdividedbyn'1insteadofn(nstandsforthesurveytimes)?Concerningthisquestion,thispape rgivesarigorousinferencewith theoryofsurveyingerrors. Keywords:randomerror;rootmeansquareerror(RMSE);standarddeviation;precisionesti mation 62 O = ? 一 一 = 一 ? = ? 然 显 ? 2 一 . ? + 2 ? = ?