[教学]向量与三角形内心、外心、重心、垂心

[教学]向量与三角形内心、外心、重心、垂心 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍 (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 O,ABC1((1)是的重心. OA，OB，OC,0, 证法1:设 O(x,y),A(x,y),B(x,y),C(x,y)112233 xxx，，,123x,,(x,x)，(x,x)，(x,x),0,,1233 ,OA，OB，OC,0,,,yyy，，yyyyyy(,)，(,)，(,),0123123,,y,,3, O,ABC是的重心. , A证法2:如图 OA，OB，OC？ ,OA，2OD,0EO AO,2OD？ A、O、DOAD三点共线，且分为2:1？ BDCO,ABC是的重心 ？1,ABCS,S,S,S(2)若O是的重心，则故,BOC,AOC,AOB,ABC3OA，OB，OC,0 ; 1,ABCPO,(PA，PB，PC),O(3)为的重心. 3 O,ABC2. OA,OB,OB,OC,OC,OA,为的垂心. 证明:如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. A OA,OB,OB,OC,OB(OA,OC),OB,CA,0 E,OB,ACOC,ABOA,BC, 同理，O O,ABC为的垂心 , BDC b,ac3.设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心 ,ABCaOA，bOB，cOC,0,O(1)为的内心. ABACABAC，BACAB、AC？、，证明:分别为方向上的单位向量，平分,？cbcb bcbcABACABAC)，令 (),AO,,，，？AO,,(？a，b，ca，b，ccbcb 化简得, aOA，bOB，cOC,0(a，b，c)OA，bAB，cAC,0？ ,ABC(2) O是内心的充要条件是 ABACBABCCACBOA,(,),OB,(,),OC,(,),0|AB|AC|BA||BC||CA||CB| O,ABCOA,OB,OC4.为的外心。 , 典型例题: A、B、CO例1:是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足P ,ABC， ，则点P的轨迹一定通过的( ),，,,0,，,OP,OA，,(AB，AC) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 D、EBC、AC,ABC分析:如图所示，分别为边的A中点. ？AB，AC,2AD E OP,OA，2,AD？ ？OP,OA，APBDC ？AP,2,AD ,ABCCP//点的轨迹一定通过的重心，即选. ？APAD？ A、B、COP例2:(03全国理4)是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点 ABAC,ABCPOP,OA，,(，)满足，,， ，则点的轨迹一定通过的( B ),,0,，, ABAC A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 ABACABAC，BAC？、，AB、AC分析:分别为方向上的单位向量，平分,？ ABACABAC ,ABCPB点的轨迹一定通过的内心，即选. ？ A、B、COP例3:是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足 ABAC,ABCPOP,OA，,(，),，,,0,，,， ，则点的轨迹一定通过() ABcosBACcosC A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 分析:如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.A AB,BCAC,BCABACE，=(，),BC ABcosBACcosCABcosBACcosC BDC,ABBCcosBACBCcosC ，,BCBC==+=0 ABcosBACcosC ,ABC点P的轨迹一定通过的垂心，即选D. ？ 练习: A、B、C,ABCP1(已知三个顶点及平面内一点，满足，若实PA，PB，PC,0,,数满足:，则的值为( ) AB，AC,,AP 3A(2 B( C(3 D(6 2 ,ABC2(若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则( )OA，OB，OC,0OA,OB, 11,A( B(0 C(1 D( 22 O,ABC,ABC3(点在内部且满足OA，2OB，2OC,0，则面积与凹四边形 ABOC面积之比是( ) 354A(0 B( C( D( 243 ,ABC,ABCHOH,OA，OB，OC4(的外接圆的圆心为O，若，则是的( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 222A、B、CO 5(是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若OA，BC,OB 222O,ABC，则是的( ) ，CA,OC，AB A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 ,ABC6(的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，OH,m(OA，OB，OC) 则实数m = ????ABACABAC1???7((06陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )?BC=0且 ? = , 则????2|AB||AC||AB||AC|?ABC为( ) A(三边均不相等的三角形 B(直角三角形 C(等腰非等边三角形 D(等边三角形 2A、B、C,ABC8(已知三个顶点，若，则AB,AB,AC，AB,CB，BC,CA,ABC为( ) A(等腰三角形 B(等腰直角三角形 C(直角三角形 D(既非等腰又非直角三角形