2014年江西省抚州市中考数学试题(含答案)

江西省抚州市2014中考数学试卷 一、选择（本大题共8小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个准确选项 1. －7的 相反数是 A.  －7            B.           C.           D. 7 解析：选D. ∵|－7|=|7|. 2. 下列安全标志图中，是中心对称图形的是 A.              B.                C.                D. 解析：选B. ∵A、C、D是轴对称图形. 3. 下列运算准确的是 A.                                      B. C.        D. 解析：选C. ∵A= －a ，B= ，D= 4. 抚州名人雕塑园是国家4A级旅游景区，占地面积约560000m2，将560000用科学记数法示应为 A. 0.56×106        B. 5.6×106      C. 5.6×10 5          D. 56×104 解析：选C. ∵A、D不符合书写要求，B错误. 5. 某运动器材的形状如图所示，以箭头所指的方向为左视方向，则它的主视图可以是 A.          B.          C.        D. 解析：选B. ∵上下两凸起是圆弧，非圆，中间是两个圆片的叠合,其主视图应为矩形. 6. 已知 、 满足方程组 ，则 的值为 A. 8                  B. 4                  C. -4                D. -8 解析：选A. ∵方程(1)+方程(2)即可得 . 7. 为了解某小区小孩暑假的学习情况，王老师随机调查了该小区8个小孩某天的学习时间，结果如下（单位：小时）：1.5 ，1.5 ，3 ，4，2 ，5 ，2.5 ，4.5.关于这组数据，下列结论错误的是[来源:学§科§网Z§X§X§K] A. 极差是3.5          B. 众数是1.5          C. 中位数是3        D.平均数是3 解析：选C. ∵5－1.5=3.5 ,∴A正确；1.5出现了两次，其他数据都是一次，∴B正确；平均数= ，∴正确； 中位数= ,错误 8. 一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶子和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其主视图如图所示.小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是 A.          B.              C.                    D. 解析：选C. ∵桶口的半径是杯口半径的2倍，∴水注满杯口周围所用时间是注满杯子所用时间的3倍，∴C正确. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把准确的答案填写在答题卷相应位置的横线上） 9. 计算： . 解析： . 10. 因式分解：a3－4a . 解析： 11. 如图，a∥b ,∠1＋∠2=75°,则∠3＋∠4= . 解析：∵∠5=∠1+∠2=75°， a∥b, ∠3=∠6 , ∴∠3+∠4=∠6+ ∠4=180°－75°      =105° 12.关于x的一元二次方程          k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为 . 解析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴ k ∴k ， ∴k可取的最大整数为6. 13. 如图，△ABC内接于⊙O ,∠OAB=20°,则∠C的度数为 . 解析：∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=20°,∴∠AOB=140°,∴∠C= ∠AOB=70°                      14. 如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和 重合在一起，将三角板 绕其顶点 按逆时针方向旋转角α（0°< α≤90°），有以下四个结论： 当α=30°时， 与 的交点恰好为 的中点； 当α=60°时， 恰好经过点 ； 在旋转过程中，存在某一时刻，使得 ；     在旋转过程中，始终存在 ，其中结论正确的序号是  ①  ②  ④    .(多填或填错得0分，少填酌情给分） 解析：如图1，∵α=30°，∴∠ACA′=∠A=30°,∠BCA′=∠B=60°， ∴DC=DA,DC=DB,∴DA=DB,∴D是AB的中点.正确    如图2，当α=60°时，取A′B′的中点E,连接CE, 则∠B′CE=∠B′CB=60°,又CB=CB′, ∴E、B重合，∴A′、B′恰好经过点B.正确 如图3，连接AA′,BB′,则⊿CAA′∽⊿CBB′, ∴ ,∴AA′= BB′.错误 如图4，∠A′B′D=∠CBB′－60°, ∠B′A′D=180°－(∠CA′A+3 0°), ∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°＋∠CBB′－∠CA′A ∵ ∠CBB′=∠CA′A , ∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°,即∠D=90°, ∴AA′⊥BB′.正确 ∴①，②，④正确. 三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 15. 如图，△ 与△ 关于直线对称，请用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线. 解析：利用轴对称性质：对应线段（或延      长线）的交于对称轴上一点.  如图 ，直线l 就是所求作的对称轴.                16. 先化简： ，再任选一个你喜欢的数 代入求值. 解析：原式=           取 代入，    =               原式=8  = =             (注： 不能取1和2） 四、（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 17. 某同学报名参加运动会，有以下5个项目可供选择： 径赛项目：100m ,200m ,400m(分别用A1 、A2 、A3表示）； 田赛项目：跳远 ，跳高（分别用B1 、B2表示）. 该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为            ； 该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率. 解析：(1)∵5个项目中有2个田赛项目，∴P田 赛=   A1 A2 A3 B1 B2 A1   (A1，A2) (A1,，A3) (A1,B1) (A1,B2) A2 (A2,A1)   (A1,，A3) (A2,B1) (A2,B2) A3[来源:学科网] (A3,A1) (A3，A2)   (A3,B1) (A3,B2) B1 (B1,A1) (B1，A2) (B1,，A3)   (B1,B2) B2 (B2,A1) (B2，A2) (B2,，A3) (B2,B1)               (2) ∴共20种可能的结果，符合条件的有12种， ∴P(田，径)= . 18. 如图，在平面直角坐标系中，过点 的直线与 轴平行，且直线分别与反比例函数                和 的图象交于点 、点 . 求点 的坐标； 若△ 的面积为8 ，求k的值 .      解析：(1)∵PQ∥ 轴，∴P点纵坐标为2， 当 时，  ，  ∴ ， ∴P(3，2). (2)∵S⊿POQ= , ∴ , ∴PQ=8, ∵PM=3, ∴QM=5, ∴Q(－5,2) ,  代入 得： 五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 19. 情景： 试根据图中的信息，解答下列问题： 购买6根跳绳需        元，购买12根跳绳需          元. 小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由. 解析：(1)25×6=150,  25×0.8×12=240. (2)有这种可能. 设小红买了 根跳绳， 则25×0.8· =25( －2)-5 ,解得 =11. ∴小红买了11根跳绳. 20. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分. 组别 听写正确的 个数x 组中值 A 0≤x<8 4 B 8≤x<16 12 C 16≤x<24 20 D 24≤x<32 28 E 32≤x<40 36       [来源:学科网] 根据以上信息解决下列问题： 本次共随机抽查了100名学生，并补全条形统计图； 若把每组听写正确的个数用这组数据的组中值代替，则被抽查学生听写正确的个数的平均数是多少？ 该校共有3000名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数. 解析：(1)15÷15%=100. ∴共抽查了100名学生； 补全条形统计图如上. (2)4×10%＋12×15%＋20×25%＋28×30%＋36×20%=22.8, ∴被抽查学生听写正确的个数的平均数是22.8个； (3)(10%＋15%＋25%)×3000=1500, ∴这所学校本次比赛听写不合格的学生人数约1500名. 六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2.晾衣架伸缩时，点 在射线        上滑动，∠ 的大小也随之发生变化.已知每个菱形边长均等于20cm ,且 =20cm . 当∠ =60°时，求 两点间的距离； 当∠ 由60°变为120°时，点 向左移动了多少cm ?(结果精确到0.1cm) 设 cm ,当∠ 的变化范围为60°~ 120°(包括端点值)时，求 的取值范围 .(结果精确到0.1cm)    (参考数据 ，可使用科学计算器) 解析：(1)如图1，∵每个菱形的边长都是20㎝， 且DE=20㎝,  ∴CE=DE, ∵∠CED=60°， ∴⊿CED是等边三角形， ∴CD=20cm,      ∴C、D两点之间的距离是20cm. (2)如图2，作EH⊥CD于H, 在⊿CED中，CE=DE， ∠CED=120° ∴∠ECD=30°,∴EH= CE=10, ∴CH=10 ,  ∴CD=20 ,                ∴点C向左移动了(20 －20), ∴点A向左移动了(20 －20)×3≈43.9cm . (3)如图1，当∠CED=60°时， ∵ED=EG, ∠CGD=30°， 在Rt⊿CGD中， ，∵CG=40, ∴DG=20 ≈34.6； 如图2，当∠CED=120°时， ∠CGD=60°, ∴DG= CG=20,    ∴20≤ ≤34.6. 22. 如图，在平面直角坐标系中，⊙ 经过 轴上一点 ，与y轴分别交于 、 两点，连接 并延长分别交⊙ 、 轴于点 、 ，连接 并延长交y轴于点 ，若点 的坐标为(0 ,1),点 的坐标为(6 ,－1). 求证： 判断⊙ 与 轴的位置关系，并说明理由. 求直线 的解析式. 解析：(1)如图1，作DH⊥ 轴于点H, ∵F(0,1),D(6,-1) ∴OF=DH=1, 在⊿OCF和⊿HCD中， ∴⊿OCF≌⊿HCD(AAS),    DC=FC. (2)如图2，⊙P与 轴相切. 连接PC, ∵DC=FC, PD=PA, ∴CP是⊿DFA的中位线， ∴PC∥ 轴， ∴PC⊥ 轴 , 又C是⊙P与 轴的交点 ， ∴⊙P切 轴于点C. (3)如图3，作PG⊥ 轴于点G, 由(1)知：C(3,0), 由(2)知：AF=2PC, 设⊙P的半径为r , 则：（r-1)2+32=r2 ,  ∴r=5,  ∴A(0,-9)； 设直线AD的解析式为 ， 把D(6,-1)代入得： ， ∴直线AD的解析式为： 七、(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 23. 如图，抛物线            ( )位于 轴上方的图象记为 1 ，它与 轴交于 1 、 两点，图象 2与 1关于原点 对称， 2与 轴的另一个交点为 2 ，将 1与 2同时沿 轴向右平移 1 2 的长度即可得 3与 4 ；再将 3与 4 同时沿 轴向右平移 1 2的长度即可得 5与 6 ； ……按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象 1 , 2   ,…… ， n ,我们把这组图象称为“波浪抛物线”. 当 时， 求图象 1的顶点坐标； 点 (2014 , －3)  不在  (填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象 n 的顶点 n的横坐标为201，则图象 n 对应的解析式为 ，其自变量 的取值范围为 . 设图象 m、 m+1的顶点分别为 m 、 m+1 (m为正整数), 轴上一点Q的坐标为(12 ,0).试探究：当 为何值时，以 、 m 、 m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值. 解析：(1)当 时， ，∴F1的顶点是（-1,1)； 由 知：“波浪抛物线”的 值的取值范围是-1≤ ≤1， ∴点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上； 由平移知：F2：   F3： ，…， ∵Fn的顶点横坐标是201，∴Fn的解析式是： ， 此时图象与 轴的两个交点坐标是（200,0)、(202,0), ∴200≤ ≤202 . (2)如下图，取OQ的中点O′,连接Tm Tm+1 , ∵四边形OTmQTm+1是矩形，[来源:学.科.网] ∴Tm Tm+1=OQ=12, 且 Tm Tm+1 经过O′, ∴OTm+1=6, ∵F1： ∴Tm+1的纵坐标为 ， ∴( )2+12 =62 ,  ∴ =± , 已知 ＜0 ， ∴ . ∴当 时，以以O、Tm 、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形. 此时m=4.  24.【背景】 已知：∥ ∥ ∥，平行线与 、 与 、 与之间的距离分别为 1、 2、 3，且 1 = 3 = 1， 2 = 2 . 我们把四个顶点分别在、 、 、这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”. 【探究1】 如图1，正方形 为“格线四边形”， 于点 , 的反向延长线交直线于点 .  求正方 形 的边长. 【探究2】 矩形 为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形 的宽为 . (直接写出结果即可) 【探究3】 如图2，菱形 为“格线四边形”且∠ =60°，△ 是等边三角形，                   于点 ， ∠ =90°，直线 分别交直线、于点 、 .  求证： . 【拓 展】  如图3，∥，等边三角形 的顶点 、 分别落在直线、上， 于点 ，                  且 =4 ，∠ =90°，直线 分别交直线、于点 、 ，点 、 分别是线段 、 上的动点，且始终保持 = ， 于点 . 猜想： 在什么范围内， ∥ ？并说明此时 ∥ 的理由. 解析：(1) 如图1， ∵BE⊥l ,  l ∥k , ∴∠AEB=∠BFC=90°,  又四边形ABCD是正方形， ∴∠1+∠2=90°，AB=BC,                                   ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3, ∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS), ∴AE=BF=1 , ∵BE=d1+d2=3 ,  ∴AB= , ∴正方形的边长是 . (2)如图2,3，⊿ABE∽⊿BCF, ∴ 或  ∵BF=d3=1 , ∴AE= 或 ∴AB= 或 AB= ∴矩形ABCD的宽为 或 .                      (注意：要 分2种情况讨论） (3)如图4，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=DC, 又∠ADC=60°, ∴⊿ADC是等边三角形， ∴AD=AC， ∵AE⊥k , ∠AFD=90°,  ∴∠AEC=∠AFD=90°， ∵⊿AEF是等边三角形， ∴ AF=A E, ∴⊿AFD≌⊿AEC(HL),  ∴EC=DF. (4)如图5，当2＜DH＜4时， BC∥DE . 理由如下：  连接AM, ∵AB⊥k  , ∠ACD=90°, ∴∠ABE=∠ACD=90°, ∵⊿ABC是等边三角形， ∴AB=AC , 已知AE=AD,  ∴⊿ABE≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD； 在Rt⊿ABM和Rt⊿ACM中， ，∴Rt⊿ABM≌Rt⊿ACM(HL), ∴ BM=CM ； ∴ME=MD, ∴ ,  ∴ED∥BC.