数学美学原理

数学美学原理 江苏省如皋市技工学校 郝学峰 音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科 学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。 ————克莱因 内容提要： 一、完美的符号语言； 二、特有的抽象艺术 ； 三、严密的逻辑体系； 四、永恒的创新动力。 关键词： 数学 美学 引 言 从学科分类来看，数学是理论自然科学中的重要分支——素有“科学之王”之美誉；从数学 的起源来看，她是对客观事物的一种量的抽象——从客观存在的有限性演变为认识领域的无 限性；从人文环境来看，数学有着无与伦比的美学情趣——古希腊有一句名言：“哪里有数， 哪里就有美”。 面对以上种种美誉，人们不禁要问：“数学为何如此美丽？又该怎样从美学的角度，来观 察、分析、理解、并感受数学的魅力？” 事实上，数学美的表现形式是多种多样的————从数学的外在形象上观赏：她有体系之美、 概念之美、公式之美；从数学的思维方式上分析：她有简约之美、无限之美、抽象之美、类 比之美；从美学原理上探讨：她有对称之美、和谐之美、奇异之美等。 完美的符号语言 数学有着自身特有的语言———数学语言，其中包括： 1、 数的语言——符号语言 关于“?” ，《九章算术》 如斯说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；面对“?2”这一差点被无理的行为淹没的无理数，我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形，其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论” 而被抛进大海的希帕索斯（公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员）。还有sin?、? 等等，一个 又一个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。 2、 形的语言——视角语言 从形的角度来看——对称性（“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）；比 例性（美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置？）；和谐性（如对数中：对数 记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合！）；鲜明性 （“最大值”、“最小值” 让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔”，并深切地感悟到： 有山有水的地方，为何总是人杰地灵的内在神韵„„）和新颖性（一个接一个数学“悖论” 的出现，保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等。 3、 数与形完美结合的思想——辩证法 熟悉数学的人都体会到在数学中充满着辩证法。如果说各门科学都包含着丰富的辩证思 想，那么，数学则有自己特殊的表现方式，即用数学的符号语言以及简明的数学公式能明确 地表达出各种辩证的关系和转化。例如：初等数学中：点与坐标的对应；曲线与方程之间的 关系；二面角的平面角的度数；两条异面直线之间的距离；概率论和数理统计所揭示出的事 物的必然性与偶然性的内在联系等。以及高等数学里所涉及的：极限概念，特别是现代的极 限语言，很好地体现了有限与无限，近似和精确的辩证关系；牛顿——莱布尼茨公式描述了 微分和积分两种运算方式之间的联系和相互转化等等。 第 1 页 共 3 页 这类事例在数学中比比皆是。当然，要真正掌握好“数学美”，仅仅知道一些数学知识还 是远远不够的，还必须善于发现各种数学结构、数学运算之间的关系，建立和运用它们之间 的联系和转化。 唯其如此，才能发挥出蕴藏在数学中的辩证思维的力量。数学中许多计算方法之灵巧，证明 方法之美妙，究其思路，往往就是综合利用了各种关系并对他们进行过适宜的转化而成的。 特有的抽象艺术 从初等数学的基本概念到现代数学的各种原理都具有普遍的抽象性与一般性。正如开普勒所 说的：“对于外部世界进行研究的主要目的，在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这 些是上帝以数学语言透露给我们的”。 数学的第一特征在于她具有抽象思维的能力 在数学中所处理的是抽象的量，是脱离了具体事物内容的用符号表示的量。它可以成为任何 一个具体数的代数，但它又不等于任何具体数。 比如“N”表示自然数，它不是N个岗位，N只鸡或N张照片„„也不是哪一个具体的数，分不清是0 ？是1？或者100？„„“知道”中蕴含着“不知道”，“具体”中充满了“不具 体”，它就是这样一个抽象的数！ 从初等数学的基本概念到现代数学的各个分支，都具有相当的抽象性与一般性。正如恩 格斯所说的，数学是一种研究事物的抽象的科学。人们一直在各种抽象的数概念或数学结构 之间思索着、追求着，努力寻找它们之间的内在联系和规律。 人们总在大谈特谈“数字化”，据我了解真正懂得这一概念的人却了了无几！事实上，绝大 多数人并不知道数学的成就，对人类带来了哪些巨大变化。但有一点几乎是不争的事实：数 学研究成果运用于实际问题之所以有效，甚至是惊人的成功，正是因为它们反映了实际事物 的规律性。这就是“矛盾”中的“统一”！ 数学运用于实际的关键在于建立较好的数学模型 所谓“数学模型”是指能从“量”的方面，反映出所要研究问题的本质关系的模型。 这是一个分析、综合的过程，更是一个科学抽象的过程。 要想在研究数学方面有所成就，我们必须能够把无关紧要的东西先撇在一边，抓住系统中的 主要因素、主要关系，进行合理的简化，把问题用数学语言表述出来，并在数学模型上基础 上展开数学的推导和演算，以形成对问题的认识、判断和预测。这也正是数学运用抽象思维 去把握现实的力量所在。 严密的逻辑体系 数学以逻辑的严密性和结论的可靠性作为特征 在数学中，每一个公式、定理都要严格地从逻辑上加以证明后才能够确立。数学的推理步骤 要严格遵守形式逻辑的各种法则，以保证从前提到结论的推导过程中，每一个步骤在逻辑上 都是准确无误的。所以，运用数学方法从已知的关系推求未知的关系时，所得到的结论具有 逻辑上的确定性和可靠。而数学的这种逻辑确定性又是与数学的抽象性分不开的，没有高度 的抽象性，就难以达到逻辑上的严格化。 爱因斯坦说得好：“为什么数学比其他一切科学受到特殊的尊重，一个理由是它的命题是绝 对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可辩的，并且经常处于会 被新发现的事实推翻的危险之中。„„数学之所以声誉高，还有另一个理由，那就是数学给 予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。” 公理方法是数学的逻辑严密性又一表现 每一个认识领域，当经验知识积累到相当数量时，就需要进行综合、整理，使之条理化、系 列化，从而形成新的概念理论以更新系统，以实现认识从感性阶段到理性阶段的飞跃。 从理性认识的初级水平发展到高级水平，表现在一个理论系统还需要发展到抽象程度更高的 第 2 页 共 3 页 公理化体系。这就需要借助于数学的公理方法，找出最基本的概念、命题，作为逻辑的出发 点，运用演绎推理论证各种派生的命题。在理性认识的深化的过程中，数学是使理论知识更 加系统化、逻辑化的重要手段。 永恒的创新动力 黑格尔对于数学的智慧之美十分推崇，十二岁的爱因斯坦就被欧几里得平面几何体系的逻辑 推理美和伟力所深深激动。 “数学那种所向披靡的力量是什么？难道不是人类智慧的力量吗？” 在自然科学中，古老如数学不多，创新如数学的更少，数学以其特有的生命力，展现科学论 坛上。 数学运用于实际的关键在于建立较好的数学模型 所谓“数学模型”实际上是能从“量”的方面，反映出所要研究问题的本质关系的模型。这 是一个科学抽象的过程，分析和综合的过程。要善于把无关紧要的东西先撇在一边，抓住系 统中的主要因素、主要关系，经过合理的简化，把问题用数学语言表述出来。在这样提炼成 的数学模型上展开数学的推导和演算，以形成对问题的认识、判断和预测。这是数学运用抽 象思维去把握现实的力量所在。 数学是思维的工具 随着电子计算机广泛应用，数学计算与推理进入了一个崭新的时代。 科学实验研究、系统工程技术以及社会生活的各个方面都需要计算，其中有一些问题计算量 之大，精度要求之高和速度之快，往往是人力难以胜任的。在电子计算机上进行数学定理的 证明，使一些数学推理实现了智能化，从而帮助人们节约思维劳动，把许多人从繁琐的运算 中解放了出来。 如同机器是人手的延伸一样，电子计算机是人脑的延伸。人脑加上电脑，人的智能加上计算 机实现的人工智能，极大地增强了人类的思维能力。现在还出现了一种“数学实验”，即运 用电子计算机对数学模型进行大量的试算——数学的和逻辑的演算。 这对于复杂系统的研究和处理，有很大意义。因为从多个数学模型中挑选一个好的模型，或 是在一个模型中挑选一组好的参数，需要通过数学实验，加以验算比较，从而对各个模型或 各种参数作出评价。在社会管理、经济生活中，这种试算有可能是帮助决策人“深思熟虑”， 选定优秀方案的一种手段。 由此可见，无论是计算、推理、以及模型的建立，都是数学的运用之美。我们完全有理由这 样认为：数学是人类社会永恒的创新动力！ 文章的最后，我衷心地祝愿：每个人都具有一双认识、欣赏并发现“数学美”的慧眼！ 原作者：郝学峰 来 源：江苏省如皋市技工学校 第 3 页 共 3 页