空调选购问题

      数学模型      考试   论文名称    空调的选购问题                班    级    姓    名  指导教师        时    间  2013—2014 学年 第1学期 摘要 本论文针对空调品牌的决策问题进行讨论，综合考虑价格、耗电量、能效等级、售后服务、噪音、款式这六个因素，并利用层次分析法和九级标度法对其进行研究。首先建立层次分析模型，把购买空调分为三层:最上层为目标层，即选购空调，最下层为层，有格力，海尔，美的，奥克斯，海信5种供选择品牌空调，中间层为准则层，有价格，耗电等6个准则。然后通过相互比较确定各准则对目标的权重，及方案对于每一准则的权重。最后将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。由此，我们得到了海尔空调在购买空调占的比重大于其它4种空调。在文章的最后对层次分析模型进行了简单的与推广。 关键词：层次分析法  九级标度法  成对比较矩阵  权重  一、 问题重述 空调的选购问题 1.某顾客欲购买一台适合使用的直流变频壁挂式空调，考虑的因素有品牌、价格、耗电量、能效等级、售后服务、噪音和款式等七个方面．经过初步考查，他确定格力、海尔、美的、奥克斯、海信等五种空调为待选目标。适合使用的直流变频壁挂式五种空调的各项指标如下表所示．请你建立数学模型帮该顾客分析一下选择购买哪一种空调最合适． 五种空调的各项指标 品牌 价格（元） 耗电量（瓦/小时） 能效等级 售后服务 噪音 款式 格力 3368 1100 3 好 25-37db 好 海尔 3150 1060 3 很好 23-39db 一般 美的 2898 1260 4 较好 27-38db 较好 奥克斯 2099 1250 4 一般 30-41db 一般 海信 2695 1140 3 较好 25-39db 好 2.请你们作一下黄石的市场调查，给此顾客建议在哪个商场购买哪个品牌的哪一型号的空调较好，并说明你的理由。 二 符号说明 ：考虑的因素（品牌、价格、耗电量、能效等级、售后服务、噪音和款式）（k=1，…,5） ：空调选购方案（格力、海尔、美的、奥克斯、海信）（k=1，…,5） ：准则层对目标层的成对比较矩阵 ：矩阵的最大特征根 ：矩阵的特征向量 ：一致性指标 ：随机一致性指标 ：一致性比率 ：方案层对准则层的成对比较矩阵 （k=1，…,5） ：各相应的权向量 ：各相应的最大特征根 ：各相应的一致性指标 三 模型假设 1.假设顾客所考虑的除了品牌、价格、耗电量、能效等级、售后服务、噪音、款式等因素外，不再考虑其他的任何因素。 2.假设问卷调查结果是真实可靠的。 3.假设各个数据具有独立性，互不影响，各个因素之间也不相互影响。 4.假设题中给定的价格即为顾客购买空调时的价格，商场不进行打折优惠活动。 5.购买空调之前并没有偏爱某种品牌，对5种空调的喜爱程度一致。 四 模型 这是一个单目标、多因素类决策问题，我们考虑层次分析法，首先建立层次结构模型，然后通过相互比较确定各准则对目标的权重，及方案对于每一准则的权重。最后将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重，权重最大的方案即为选购的目标。 五 建立模型及求解 1.1建立层次结构模型                    通过分析内在因素间的联系与结构，可以将结构分为三层，即目标层：购买空调的品牌；准则层：价格、耗电量、能效等级、售后服务、噪音、款式；方案层：格力、海尔、美的、奥克斯、海信。其中这三个层次相互影响，而层内因素之间基本上相互独立，将这三个层次用图表示为： 格力 价格 海尔                                                                                                                         1.2构造成对比较矩阵 成对比较矩阵是表示准则层所有因素对目标层的相对重要性的比较，判断矩阵的元素aij用Saaty的1—9标度方法给出： 标度 含义 1 表示两个因素相比，具有同样重要性 3 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 5 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 7 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 9 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 2，4，6，8 上述两相邻判断的中值 倒数 因素i与j比较的判断aij,则因素j与i比较的判断aij=1/aij 参考网络上的问卷调查结果，对六种因素对目标层的相对重要性进行比较可得到如下表格1 表格1 价格 耗电量 能效等级 售后服务 噪音 款式 价格 1 1/3 1/7 1/5 5 3 耗电量 3 1 1/5 1/3 7 5 能效等级 7 5 1 3 9 8 售后服务 5 3 1/3 1 8 7 噪音 1/5 1/7 1/9 1/8 1/7 1/3 款式 1/3 1/5 1/8 1/7 3 1 则得到的成对比较矩阵为： = 1.3计算权向量并通过一致性检验 利用数学软件Matlab计算成对比较矩阵的最大特征根和特征向量(见附录1)，得：=6.3449，对应的特征向量=(0.1260，0.2020，0.3291，0.2697，0.0090，0.0640)T。 一致性指标=0.0690 随机一致性指标的数值可查知:当n=6时，=1.24 一致性比率=0.0547<0.1。即通过一致性检验，上述可作为权向量。 1.4计算组合权向量并作出组合一致性检验 在空调的选购策略中，我们已经得到了第二层(准则层)对第一层（目标层）的权向量即。用同样的方法构造第三层(方案层)对第二层的每一个准则的成对比较矩阵，不妨设它们为、、、、，这里（k=1，…,5）中的元素是方案（选购空调）与对于准则（价格、耗电等）的优越性比较尺度。 根据题中给定的数据及信息针对每个具体的因素根据空调在该因素上的优劣进行比较最终可得表格2—7: 表格2 价格 格力 海尔 美的 奥克斯 海信 格力 1 1/3 1/5 1/9 1/7 海尔 3 1 1/3 1/7 1/5 美的 5 3 1 1/5 1/3 奥克斯 9 7 5 1 3 海信 7 5 3 1/3 1 表格3 耗电量 格力 海尔 美的 奥克斯 海信 格力 1 1/3 7 5 3 海尔 3 1 9 7 5 美的 1/7 1/9 1 1/3 1/5 奥克斯 1/5 1/7 3 1 1/3 海信 1/3 1/5 5 3 1 表格4 能效等级 格力 海尔 美的 奥克斯 海信 格力 1 1 3 3 1 海尔 1 1 3 3 1 美的 1/3 1/3 1 1 1/3 奥克斯 1/3 1/3 1 1 1/3 海信 1 1 3 3 1 表格5 售后服务 格力 海尔 美的 奥克斯 海信 格力 1 1/3 3 5 3 海尔 3 1 5 7 5 美的 1/3 1/5 1 3 1 奥克斯 1/5 1/7 1/3 1 1/3 海信 1/3 1/5 1 3 1 表格6 噪音 格力 海尔 美的 奥克斯 海信 格力 1 3 7 9 5 海尔 1/3 1 5 7 3 美的 1/7 1/5 1 3 1/3 奥克斯 1/9 1/7 1/3 1 1/5 海信 1/5 1/3 3 5 1 表格7 款式 格力 海尔 美的 奥克斯 海信 格力 1 9 5 9 1 海尔 1/9 1 1/5 1 1/9 美的 1/5 5 1 5 1/5 奥克斯 1/9 1 1/5 1 1/9 海信 1 9 5 9 1 则： =  =  = =  =  = 同理，由第三层的成对比较矩阵（k=1，…,5）计算出权向量、最大特征根和一致性指标(见附录1)，结果如下表： 1 2 3 4 5 6 5.2375 5.2375 5.0000 5.1269 5.2375 5.1703 0.0594 0.0594 0 0.0317 0.0594 0.0426 由随机一致性指标的数值表查得n=5时，随机一致性指标=1.12，则由一致性比率知，均小于0.1，所以上面的均可通过一致性检验。 则方案在目标中的组合权重应为第二层对第一层的权向量与第三层对第二层的权向量（k=1，…,5）的相应项的两两乘积之和，即在目标中的组合权重为: 0.1260*0.0330+0.2020*0.2883+0.3291*0.2727+0.2697*0.2700+0.0090*  0.3997+0.0640*0.3678=0.2521 同样可算出、、、在目标中的组合权重为0.3008、0.1084、0.1144、0.2241(见附录2)，所以组合权向量=(0.2521, 0.3008, 0.1084,0.1144,0.2241)T。 由上述结果，我们可以得到组合权重大小为：海尔>格力>海信>奥克斯>美的，故我们最后选择购买海尔空调。 2.黄石的市场调查结果如下表： 品牌 价格（元） 耗电量（瓦/小时） 能效等级 售后服务 购买率 贸家电：格力 3100 1000 3 好 高 海尔专卖店：海尔 3000 900 3 很好 很高 华昌电器：美的 2799 1400 4 较好 较高 平价家电城 ：奥克斯 2100 1300 4 一般 一般       分析表格可知：在黄石地区，顾客对空调的信赖度最好的是海尔空调，而且由第一问中的结果可知，海尔空调的组合权重是最大的，即性价比最高，所以我建议该顾客购买海尔空调，在黄石海尔专卖店购买。 六 模型分析 1.1模型检验： 经查阅资料，大众选择海尔，格力的人最多，而选择购买奥克斯的人相当少，故我们通过数学建模所得到的结果与实际情况基本相吻合。 1.2优缺点： 优点 层次分析模型具有系统性、实用性和简洁性的优点。层次分析把研究对象作为一个系统，进行系统分析。层次分析把定量和定性方法结合起来，能处理实际问题，应用范围很广。层次分析的基本原理和步骤容易掌握，计算简便，并且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握。 缺点 层次分析具有一定的局限性，就是说，第一，它只能从原有方案中选优，不能生成新方案。第二，它不适于精度要求很高的问题。第三，人的主观因素的作用很大，使得决策结果难以为众人接受。 七 参考文献 [1]姜启源，谢金星，叶俊编著《数学模型（第三版）》，北京:高等教育出版社，2003 [2]楼顺天，姚若玉，沈俊霞编著<> ，西安：西安电子科技大学出版社，2007 八 附录 一、附录1 利用数学软件Matlab计算每一个成对比较矩阵的最大特征根和特征向量，利用表1中的数据计算过程如下： >>A=[1,1/3,1/7,1/5,5,3;3,1,1/5,1/3,7,5;7,5,1,3,9,8;5,3,1/3,1,8,7;1/5,1/7,1/9,1/8,1/7,1/3;1/3,1/5,1/8,1/7,3,1] >>[V,D]=eig(A)      ① >>W=A/sum(A)        ② 通过命令①即可得到A的全部特征值构成的对角阵，通过比较选出即可，同时也可得到A的特征向量构成的矩阵的列向量从中找出所对应的一列向量； 再通过命令②对得到的特征向量进行归一化处理，最终可得到结果。=6.3449，对应的特征向量v=(0.1260，0.2020，0.3291，0.2697，0.0090，0.0640)T。同理表2，3，4，5，6，7通过计算可得到出最大特征值与特征向量。 二、附件2：计算组合权向量 =0.1260*0.0330+0.2020*0.2883+0.3291*0.2727+0.2697*0.2700+0.0090*0.3997+0.0640*0.3678=0.2521 =0.1260*0.0950+0.2020*0.3997+0.3291*0.2727+0.2697*0.4201+0.0090*0.2883+0.0640*0.0380=0.3008 =0.1260*0.1840+0.2020*0.0330+0.3291*0.0909+0.2697*0.1324+0.0090*0.0950+0.0640*0.1885=0.1084 =0.1260*0.3997+0.2020*0.0950+0.3291*0.2727+0.2697*0.0451+0.0090*0.0330+0.0640*0.0380=0.1144 =0.1260*0.2883+0.2020*0.1840+0.3291*0.2727+0.2697*0.1324+0.0090*0.1840+0.0640*0.3678=0.2241 数学模型考试论文综合评定表 论文名称 　空调的选购问题 学生姓名 学号 学生姓名 学号 学生姓名 学号 序号 评审项目 分值 评  分 1 摘要（包含关键词）的合理性 10 2 文字表达的清晰程度 10 3 论文结构的合理性 10 4 假设的合理性 10 5 模型的可行性 10　 6 算法及程序的正确性 10　 7 结果的正确性 10 8 创新性 10　 9 模型的改进、推广及应用 10 10 论文格式的

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