高一数学必修一函数知识点总结

高一数学必修一函数 高一数学函数习题 数学必修一 高中函数知识点总结 高中数学函数讲解 篇一:高一数学必修一函数知识点总结 二、函数的有关概念 1(函数的概念:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x)，x?A(其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x?A }叫做函数的值域( 注意: 1(定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? ;?定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2(值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x?A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ?A)的图象(C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数 对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4(区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示( 5(映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)?B(象)” 对于映射f:A?B来说，则应满足: (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况( (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集( 补充:复合函数 如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x?A) 称为f、g的复合函数。 二(函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1),f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取x，x?D，且x<x; ? 2 作差f(x),f(x); ? 3 变形(通常是因式分解和配方); ? 4 定号(即判断差f(x),f(x)的正负); ? 5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)( ? 1 2 1 2 1 2 1 2 (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8(函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数( (2)(奇函数 一般地， 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数( (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称( 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称; ? 2确定f(,x)与f(x)的关系; ? 3作出相应结论:若f(,x) = f(x) 或 f(,x),f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(,x) =,? f(x) 或 f(,x)，f(x) = 0，则f(x)是奇函数( 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)?f(x)=0或f(x),f(-x)=?1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10(函数最大(小)值(定义见课本p36页) 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ? 2 利用图象求函数的最大(小)值 ? 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ? 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: ?y? ? y?2.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _ 3.若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是 ?x?2(x??1) ?4.函数 ，若f(x)?3，则x= f(x)??x2(?1?x?2) ?2x(x?2)? 5.求下列函数的值域: ?y?x2?2x?3 (x?R) ?y?x2?2x?3 x?[1,2] (3) y?x y6.已知函数f(x?1)?x2?4x，求函数7.已知函数 f(x)，f(2x?1)的解析式 f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4，则f(x)= 。 8.设f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时 ,f(x)?x(1,则当x?(??,0)时 f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: ? y?x2?2x?3 ?yf(x)= ? y?x2?6x?1 10.判断函数y??x3?1的单调性并你的结论( 11.设函数f(x)? 1?x2判断它的奇偶性并且求证:1 f()??f(x)( 2 1?xx 第三章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1(根式的概念:一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方 根，其中n>1，且n?N( * n ? 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作0?0。 当n是奇数时，an?a，当n是偶数时，an?|a|??2(分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定: ?a(a?0) ??a(a?0) a?a(a?0,m,n?N,n?1)，a mn m* ? mn ? 1a mn ? 1 am (a?0,m,n?N*,n?1) ? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数 幂没有意义 3(实数指数幂的运算性质 (1)a〃a?a r r r?s (a?0,r,s?R); rsrs(a)?a(2) r r s (a?0,r,s?R); (3)(ab)?aa (二)指数函数及其性质 (a?0,r,s?R)( x 1、指数函数的概念:一般地，函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R( 注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1( 2 注意:利用函数的单调性，结合图象还可以看出: (1)在[a，b]上，f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]; (2)若x?0，则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R; (3)对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1)，总有f(1)?a; 二、对数函数 (一)对数 x 1(对数的概念:一般地，如果a?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以(a为底((N的对数，记作: x?logaN(a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式) 说明:?1 注意底数的限制a?0，且a?1; 2 ax?N?logaN?x; ? 3 注意对数的书写格式( ? 两个重要对数: 1 常用对数:以10为底的对数lgN; ? 2 自然对数:以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN( ?? 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ab, N? (二)对数的运算性质 如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么: 1 loga(M〃N)?logaM ，logaN; ? M ?logaM,logaN; N 3 logaMn?nlogaM (n?R)( ? 2 loga? 注意:换底公式 篇二:高一数学必修1函数知识点总结 函数 ?映射定义:设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，? 在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:?B为从集合A到集合B的一个映射 ?传统定义:如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，? ?定义 按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作y?f(x).? 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ?? 定义域???函数及其表示函数的三要素值域 ?? ? ?对应法则? ? ?解析法? ? ?函数的表示方法?列表法 ???图象法 ???传统定义:在区间?a,b?上，若a?x1?x2?b, 如f(x1)?f(x2)，则f(x)在?a,b?上递增,?a,b?是 ? ??? 递增区间;如f(x1)?f(x2)，则f(x)在?a,b?上递减,?a,b?是的递减区间。?单调性?? 导数定义:在区间?a,b?上，若f(x)?0，则f(x)在?a,b?上递增,?a,b?是递增区间;如f(x)?0?? ?a,b?是的递减区间。 ??? 则f(x)在?a,b?上递减,?? ?? ?最大值:设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足:(1)对于任意的x?I，都有f(x)?M;?函数 ?函数的基本性质??最值?? (2)存在x0?I，使得f(x0)?M。则称M是函数y?f(x)的最大值 最小值:设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足:(1)对于任意的x?I，都有f(x)?N;?? ?? (2)存在x0?I，使得f(x0)?N。则称N是函数y?f(x)的最小值? ?(1)f(?x)??f(x),x?定义域D，则f(x)叫做奇函数，其图象关于原点对称。?? ?奇偶性?(2)f(?x)?f(x),x?定义域D，则f(x)叫做偶函数，其图象关于y轴对称。???? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ?周期性:在函数f(x)的定义域上恒有f(x?T)?f(x)(T?0的常数)则f(x)叫做周期函数，T为周期; ?? ? T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，简称周期??(?1)描点连线法:列表、描点、连线???向左平移?个单位:y1?y,x1?a?x?y?f(x?a) ????向右平移a个单位:y?y,x?a?x?y?f(x?a) 11??平移变换? 向上平移b个单位:x?x,y11?b?y?y?b?f(x)???????向下平移b个单位:x1?x,y1?b?y?y?b?f(x) ???横坐标变换:把各点的横坐标x1缩短(当w?1时)或伸长(当0?w?1时) ???? 到原来的1/w倍(纵坐标不变)，即x?wx?y?f(wx) 1??伸缩变换? 纵坐标变换:把各点的纵坐标y伸长(A?1)或缩短(0?A?1)到原来的A倍1????函数图象的画法?? ?? (横坐标不变)， 即y1?y/A?y?f(x)? (?x?x1?2x0x1?2x0?x?2)变换法? 关于点(x,y)对 称:??2y0?y?f(2x0?x)?00????y?y1?2y0?y1?2y0?y??? ?关于直线x?x0对称:x?x1?2x0?x1?2x0?x?y?f(2x0?x)?????y?y1y1?y?对称变换??? x?x1x?x???关于直线y?y0对称:??1?2y0?y?f(x)????y?y?2yy1?2y0?y10? ???x?x1?1???y?f(x)???关于直线y?x对称:y?y1??????? ?? ? 一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数y?tanx中 x?k?? ? 2 (k?Z);余切函数y?cotx中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应 依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论: 1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)?g(x)在这个区间上也为增(减)函数 2、若f(x)为增(减)函数，则?f(x)为减(增)函数 3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则y?f[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单调性不同，则y?f[g(x)]是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在x?0处有定义，则f(0)?0，如果一个函数y?f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)?0(反之不成立) 2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数y?f(u)和u?g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为 f(x)? 12 [f(x)?f(?x)]? 12 [f(x)?f(?x)]，该式的特点是:右端为一个奇函数和 一个偶函数的和。 ???根式n为根指数，a为被开方数??n??a??? ????分数指数幂???? ?aras?ar?s(a?0,r,s?Q)??指数的运算? ????rsrs 指数函数?性质?(a)?a(a?0,r,s?Q) ?? ??rrs??(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)???? ???定义:一般地把函数y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数。??指数函数????性质:见表1? ? ??对数:x?logaN,a为底数，N为真数? ??? ?loga(M?N)?logaM?logaN;???基本初等函 数????M ??log?logaM?logaN;??a?.N??对数的运算? 性质??n??logaM?nlogaM;(a?0,a?1,M?0,N?0) ??对数函数?? ???logcb? logab?(a,c?0且a,c?1,b?0)??换底公式:??loga?c??? ?? ?对数函数?定义:一般地把函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数?????性质:见表1? ???? ? ?幂函数定义:一般地，函数y?x叫做幂函数， x是自变量，?是常数。 ? ??性质:见表2? 篇三:高中数学必修1集合与函数知识点总结 高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N表示自然数集，N?或N?表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是a?M，或者a?M，两者必居其一. (4)集合的表示法 ?自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ?列举法:把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ?描述法:{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ?图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ?含有有限个元素的集合叫做有限集.?含有无限个元素的集合叫做无限集.?不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 n n n (7)已知集合A有n(n?1)个元素，则它有2个子集，它有2?1个真子集，它有2?1个非空子集，它有2?2非空真子集. n 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 (1)含绝对值的不等式的解法 (2)一元二次不等式的解法 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念 ?设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到 B的对应法则f)叫做集合A到B的一个函数，记作f:A?B( ?函数的三要素:定义域、值域和对应法则( ?只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数( (2)区间的概念及表示法 ?设a,b是两个实数，且a?b，满足a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b];满足a?x?b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b);满足a?x?b，或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b];满足x?a,x?a,x?b,x?b的实数x的集合分别记做[a,??),(a,??),(??,b],(??,b)( 注意:对于集合{x|a?x?b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须 a?b( (3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则: ?f(x)是整式时，定义域是全体实数( ?f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数( ?f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合( ?对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1( x?k?? ? 2 ?y?tanx中， (k?Z) ( ?零(负)指数幂的底数不能为零( ?若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数 时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集( ?对于求复合函数定义域问题，一般步骤是:若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数 f[g(x)] 的定义域应由不等式a?g(x)?b解出( ?对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论( ?由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义( (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的(事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值(因此求函数的最值与值域，其实 质是相同的，只是提问的角度不同(求函数值域与最值的常用方法: ?观察法:对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值( ?配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值?判别式法:若函数 y?f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 ，则在 a(y)x? 2 2 b(y)?x(c?)y0a(y)? x,y0时，由于为实数，故必须有 ??b(y)?4a(y)?c(y)?0，从而确定函数的值域或 最值( ?不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值( ?换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题( ?反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值( ?数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值( ?函数的单调性法( 【1.2.2】函数的表示法 (5)函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种( 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系(列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系(图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系( (6)映射的概念 f?设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一f的元素和它对应， 那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则)叫做集合A到B的映 射，记作 f:A?B( a?A,b?B(如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫 ?给定一个集合A到集合B的映射，且 做元素a的象，元素a叫做元素b的原象( 〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性 ?定义及判定方法 ?在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数( ?对于复合函数y?f[g(x)]，令u?g(x)，若y?f(u)为增，则y?f[g(x)]u?g(x)为增，为增;若y?f(u)为减，u?g(x)为减，则y ?f[g(x)]为增;若y?f(u)为增，u?g(x)为减，则y?f[g(x)]为减;若y?f(u)为减，u?g(x)(2)打“?”函数f(x)?x? ax (a?0)的图象与性质 f(x)分别在(??,、??)上为增函数，分别在[为减函数( (3)最大(小)值定义 ?一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足:(x?I，都有f(x)?M; (2)存在x0?I，使得f(x0)?M(那么，我们称M是函数f(x)作fmax(x)?M( 【1.3.2】奇偶性 (4)函数的奇偶性 ?定义及判定方法 篇四:高一数学必修一知识点总结 高一数学必修1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内 表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x=,5, 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同 一集合。 ?B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A??A 或B? 2(?相等?关系:A=B (5?5，且5?5，则5=5) 2 实例:设 A={x|x-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即:? 任何一个集合是它本身的子集。A?A ?真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记 作AB(或BA) ?如果 A?B, B?C ,那么 A?C ? 如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 nn-1 ? 有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集 三、集合的运算 例题: 1.下列四组对象，能构成集合的是 ( ) A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a，b，c }的真子集共有 个 3.若集合M={y|y=x-2x+1,x?R},N={x|x?0}，则M与N的关系是 . 2 4.设集合A=x?x?2，B=xx?a，若A?B，则a的取值范围是?? ? ? 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人， 两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= . 7.已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若B?C?Φ，A?C=Φ，求m的值 2 2 2 2 二、函数的有关概念 1(函数的概念:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x)，x?A(其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x?A }叫做函数的值域( 注意: 1(定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 值的字母无关);?定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2(值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x?A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ?A)的图象(C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4(区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示( 5(映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯 一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作?f(对应关系):A(原象)?B(象)? 对于映射f:A?B来说，则应满足: (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况( (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集( 补充:复合函数 如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x?A) 称为f、g的复合函数。 二(函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1),f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取x，x?D，且x<x; ? 2 作差f(x),f(x); ? 3 变形(通常是因式分解和配方); ? 4 定号(即判断差f(x),f(x)的正负); ? 5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)( ? 1 2 1 2 1 2 1 2 (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律:?同增异减? 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8(函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数( (2)(奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数( (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称( 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称; ? 2确定f(,x)与f(x)的关系; ? 3作出相应结论:若f(,x) = f(x) 或 f(,x),f(x) = 0，? 则f(x)是偶函数;若f(,x) =,f(x) 或 f(,x)，f(x) = 0，则f(x)是奇函数( 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)?f(x)=0或f(x),f(-x)=?1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10(函数最大(小)值(定义见课本p36页) 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ? 2 利用图象求函数的最大(小)值 ? 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ? 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: ?y? ? y 篇五:高一数学必修一第一章集合与函数知识点总结精华版 高一数学必修1第一章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=,5, 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A??B或B??A 2(?相等?关系:A=B (5?5，且5?5，则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即:? 任何一个集合是它本身的子集。A?A ?真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ?如果 A?B, B?C ,那么 A?C ? 如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 例题: 1.下列四组对象，能构成集合的是 ( ) A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a，b，c }的真子集共有 个 3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x?R},N={x|x?0}，则M与N的关系是 . 4.设集合A=?x?x?2?，B=xx?a?，若A?B，则a的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化正确得有31人， 两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的 集合M= . 7.已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若?C=Φ，求m的值 2 2 2 2 ? 学实验做得 B?C?Φ，A 二、函数的有关概念 1(函数的概念:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定 的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x)，x?A(其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x?A }叫做函数的值域( 注意: 1(定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各 部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:?表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关); ?定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2(值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x?A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的(转载于:www.smhaida.com 海 达 范 文网:高一数学必修一函数知识点总结)集合C，叫做函数 y=f(x),(x ?A)的图象(C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4(区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2) 无穷区间 (3)区间的数轴表示( 5(映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作?f(对应关系):A(原象)?B(象)? 对于映射f:A?B来说，则应满足: (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况( (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集( 补充:复合函数 如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x?A) 称为f、g的复合函数。 二(函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1),f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函 数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降 的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: ? 1 任取x1，x2?D，且x1<x2; ? 2 作差f(x1 ),f(x2 ); ? 3 变形(通常是因式分解和配方); ? 4 定号(即判断差f(x1 ),f(x2 )的正负); ? 5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)( (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律:?同增异减? 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8(函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数( (2)(奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数( (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称( 利用定义判断函数奇偶性的步骤: ? 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称; ? 2确定f(,x)与f(x)的关系; ? 3作出相应结论:若f(,x) = f(x) 或 f(,x),f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(,x) =,f(x) 或 f(,x)，f(x) = 0，则f(x)是奇函数( 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)?f(x)=0或f(x),f(-x)=?1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10(函数最大(小)值(定义见课本p36页) ? 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ? 2 利用图象求函数的最大(小)值 ? 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: ?y? ? y? 2.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _ 3.若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是 ?x?2(x??1)4.函数 f(x)???x2(?1?x?2) ，若f(x)?3，则x= ?? 2x(x?2)5.求下列函数的值域: ?y?x2?2x?3 (x?R) ?y?x2?2x?3 x?[1,2] (3)y?x? y?6.已知函数f(x?1)?x2?4x，求函数f(x)，f(2x?1)的解析式 7.已知函数f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4，则f(x)= 。 8.设f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时 ,f(x)?x(1?,则当x?(??,0)时 f(x)= f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: ? y?x2?2x?3 ?y? ? y?x2 ?6x?1 10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论( 211.设函数f(x)? 1?x判断它的奇偶性并且求证: f(1 1?x 2 )??f(x)( x