Tsvelik_Reizer唯象模型中的非费米液体行为

Tsvelik_Reizer唯象模型中的非费米液体行为 V o l. 19, N o. 3 低温物 理学报第19卷 第3期 CH IN E SE JOU RN A L O F L OW T EM P ERA TU R E PH YS IC S 1997年6月 J u n e, 1997 2唯象模型中的 T sve lik R e ize rΞ 非费米液体行为 韩福祥宋淑梅 曲阜师范大学物理系, 曲阜, 山东 273165 1996年9月5日收到 我们研究了电子比热、直流电阻率、电子磁化率在非费米液体重费米子体系的 2 T sve lik 唯象模型中表现出的非费米液体行为. 考虑到电子与集体激发的相互作用, 在低频和 R e ize r 长波长极限下, 在单圈图近似内我们首先计算了电子自能, 得到与边缘费米液体理论中的电 子自能非常相似的结果. 利用电子自能的结果, 我们计算了电子比热, 发现从 2T sve lik R e ize r 模型得到的电子比热与非费米液体重费米子体系上的实验结果是一致的. 对直流电阻率的 讨论表明 2模型仅能部分成功地解释非费米液体重费米子体系在直流电阻率 T sve lik R e ize r 上表现出的非费米液体行为. 从 2模型得到的电子磁化率与温度的依赖关系 T sve lik R e ize r 与非费米液体重费米子体系上的实验结果不符合. 一、引言 1 23 在凝聚态物理中, 的费米液体唯象理论起着非常重要的作用. 这个理论的核 L an dau 心是假设相互作用费米子组成的体系的状态与自由费米子气体的状态一一对应. 这个理论 () 预言的费米液体的低温性质是: 电子比热与温度成正比 = ; 电子磁化率是一个与温C v ΧT 2 () 度无关的常数 = 常数; 电阻率与温度的关系是 Θ= Θ+ A T . 普通金属的低温性质都可 ς 0 以在这个理论的框架内得到解释. 可是近几年发现的、称为强关联电子体系的两类体系, 高 4 5温超导体和具有非费米液体行为的重费米子体系 , 表现出无法用 的费米液体理L an dau 论来理解的性质. 目前, 对这些非费米液体性质的理解是非常活跃的研究领域. 在高温超导 4 体的正常态反常性质的理论研究中, 等提出了边缘费米液体理论, 这是描写凝聚 V a rm a 态材料性质的一个非费米液体理论. 在非费米液体重费米子体系的理论研究中, 和T sve lik 6 为这类体系建立了一个唯象模型. 在本文中, 我们将讨论电子比热、直流电阻率、电 R e ize r 子磁化率在 2唯象模型中表现出的非费米液体行为并把从这个模型中得到的T sve lik R e ize r 结果与非费米液体重费米子体系上的实验结果作比较. 重费米子体系是包含稀土或锕系元素的中间金属化合物, 它们最显著的特征是传导电 子具有非常高的有效质量, 这表现在低温下的比热和磁化率的值非常大. 现在我们知道重费 米子行为的根源在于部分填充的 壳层中的非常强的关联以及传导电子与局域 电子磁f f Ξ 国家教委留学回国人员基金资助项目. 矩涨落之间的强耦合. 根据在低温下所表现的性质, 可把重费米子体系化分为两类. 一类重 () 费米子体系的低温性质 电子比热、磁化率、电阻率可用费米液体理论来描写, 我们把这类7, 8重费米子体系称为费米液体重费米子体系, 典型的体系有 : 、、、C eA l3C eC u 2 S i2C eR u 2 S i2 、、、、、等; 另一类重费米子体系的低温性质不同于 C eC u 6U B e13U P t3U 2 Zn 17U C d11N pB e13 L an2 费米液体理论所预言的费米液体的性质, 我们把这类重费米子体系称为非费米液体重dau 9, 10 11 12等. 在低温下, 非费3 x 费米子体系, 典型的体系有: 、、0. 1 U 0. 2 Y 0. 8 P d U C u 5- x P d C eC u 5. 9A u () 米液体重费米子体系表现出下列性质: 电子比热系数是温度的对数函数 ΧT ? C v T = - ƒ 1ƒ2 () () () () A ln T T , 电子磁化率与温度的关系是 ς T = ς 01 - B T , 电阻率与温度成线性 ƒx () () () 关系 ΘT = Θ01 + C T . 这里 、、是与温度无关的常数, 对所有体系 、总是大A B C A B 于零, 而 在不同体系中的符号可以不同. 对于电子磁化率, 我们给出的是消除杂质磁化率 C 13 后的内禀电子磁化率. 非费米液体重费米子体系的这些低温性质显然不同于前面提到的 费米液体的低温性质, 并且许多不同的非费米液体重费米子体系表现出完全类似的低温性 质说明费米液体理论有可能不能描写这些体系. 为了解释非费米液体重费米子体系所表象的这些性质, 在磁化强度和电子比热实验结 果的标度无关性的基础上, 和 为非费米液体重费米子体系提出了一个T sve lik R e ize r 6 ( 唯象模型. 这个唯象模型由对非费米液体重费米子体系中存在的集体激发传播子 推迟格 ) ( ) 林函数的假设所构成. 和 所假设的集体激发传播子 推迟格林函数的形式 T sve lik R e ize r 为 bq () ()D , Ξ 1 R q=iΞ + Ξ q 3 ()其中 是一个大于零的实常数, Ξ= a q是集体激发的能谱 为大于零的实常数. 在这里, b q a 为了使集体激发的格林函数具有能量倒数的量纲, 我们引进了常数 , 它具有长度的量纲. b 6 2唯象模型中的集体激发起源于绝对零度磁性相变序参量的涨落.T sve lik R e ize r 和 在利用这个唯象模型讨论电子比热系数与温度的关系时, 他们所计 T sve lik R e ize r 6 算的实际上是集体激发对比热的贡献. 在没有给出比热的具体表达式的情况下, 他们指出 6 比热系数是温度的对数函数. 可是, 我们的详细计算表明情况并不是这样的, 我们得到的 4 14 结果是集体激发对比热的贡献与温度的 次幂成正比. 讨论集体激发对电子比热影响的3 恰当做法是考虑电子与集体激发之间的相互作用. 这个相互作用将改变电子的行为, 因此电 子比热系数与温度的关系也将随之改变. 电子比热的计算是本文主要内容之一, 这个计算的 15 初步结果在山东物理学会1996年会上过. 在本文中我们还将讨论 2唯T sve lik R e ize r 象模型中的电阻率以及电子磁化率. 本文的安排如下. 在第二节中, 我们将首先计算 2唯象模型中的电子自 T sve lik R e ize r 能. 然后, 利用得到的电子自能结果, 在第三、第四、第五节中分别讨论电阻率、计算电子比 热、计算电子磁化率. 最后, 在第五节中给出我们的. 在本文中, 我们将采用 kB = h = 1的单位制. 二、电子自能 现在我们考虑集体激发与电子之间的相互作用, 设相互作用常数为 . 我们将在单圈图g 低温物理学报19卷188 近似内, 计算电子在与集体激发相互作用过程中获得的自能. 在单圈图近似内, 电子与集体 激发之间的相互作用过程可以形象地看作电子在某一时刻发射一个集体激发, 在稍后的一 个时刻同一个电子重新吸收这个集体激发的过程. 这个过程可用图1中的 图来表F eynm an 示. 图1 在单圈图近似内电子自能的 F eynm an 图. 实线表示电子的格林函数, 波浪线表示集体激发的 格林函数, 实心圆表示电子2集体激发相互作用顶角. 在图1所示的相互作用过程中, 电子获得一定的自能. 在虚频率轴上, 电子所获得的自 能可通过下式计算得到 2 ()() ()()2 p , iΞ= - g T G p ′, iΞD p - p ′, iΞ- iΞn n′n n′? ? p ′, iΞ n′ () 其中 和 分别是电子和集体激发在虚频率轴上的格林函数, iΞ= i 2n + 1ΠT 是费米 G D n () 子的虚频率, 为整数. 在 2式中利用 和 的谱表示, 我们有M a t su b a ra n G D ? ? 2 g T 1 1 () () ()p , iΞ= -dΞ′ dvn Im G R p ′, Ξ′ImD R p - p ′, v 2 ? ? ??iΞn′- Ξ′iΞn - iΞn′- v Π p ′, iΞn′- ? - ? () 3其中 和 分别是电子和集体激发在实频率轴上的推迟格林函数. 完成上式中对 的 G R D R iΞn′求和, 得 () p , iΞ=n ? ? ? 2 ) () (tan h Ξ′2T + co th v 2T ƒƒg ( ) ( )()- d Ξ′ dv Im Gp ′, Ξ′ImD4 R R p - p ′, v 2? ? ?v + Ξ′- iΞn 2Π p ′ - ?- ? () 在不考虑自洽性的情况下, 作为近似我们把自由电子的格林函数代入 4式, 得 ? 2 ( ) ()tan h 2T o th 2T ƒƒΕp ′+ cv g ()()() 5 p , iΞ=dv ImD R p - p ′, v n ? ? ?Ε- iΞ 2Πv + p ′n p ′- ? 为了完成上式中对 ′的求和, 我们先把它转换为对 ′的积分, 然后作变量代换p p 2 () Ε= p ′2m - Ε6 ƒp ′F 2 2 1ƒ2) (()q = p - p ′ = p + p ′- 2p p ′co sΗ||7 () 这里 是费米能量. 这样可把 5式写成ΕF q ()cΝp + q ? 2 ) ()( m g V tan h Εp ′ƒ2T + co th v ƒ2T () ()()p , iΞ=qdq dΕdv 8 n p ′ImD R q, v 4 ? () ???2Πpv + Ε - iΞ n p ′ () 0 Νp - q- ? 2 () () () 其中 Νp ? q= p ? qƒ2m - Ε, q是集体激发的截止动量. 8式中 2积分的积分限是 F c Εp ′ () 这样确定的: 从 7式可以看出 | p - p ′| ? q ? p ′+ q ; 若把 ′、、看作为一个三角形的三 p pq () () 条边的长度, 我们也应有 | p - q| ? p ′? p + q , 即 Νp - q? e? Νp + q. 在得到p ′ () () 8式时, 我们利用了 R - ′, 与 - ′的方向无关的事实. D p p v p p ( ) 我们将考虑在未重整化费米面附近的电子行为, 因此可取 8式右边 的值为费米动p 量 p F , 从而电子的自能与其动量无关. 由于 Εp ′2积分的主要贡献来自于在费米面附近的区 域, 因此可取 2积分的积分限为??. 这样我们有Εp ′ q c? ? 2 ) ()( m g V tan h 2T o th 2T ƒƒΕp ′+ cv ()() 9 dv dΕImD R q, v p ′? ?v + Ε- iΞ F p ′n 0 - ? - ? 为了计算上的方便, 我们设 ?0. 考虑到 是 的奇函数, 可把 2积分的积分限从- ? n ImD R v v ) (完成到?化为从0 到?. 利用 tan h x 的简单分式展开式, tan h 项的 Εp ′2积分很容易完成. 2积分, 我们有Εp ′q c? n 2 1 v2m g V T ()() 10 dv + ImD R q, v 2 2 ? ?)(v F v + 2 lΠT l= 1 0 0 () 把 1式中的集体激发推迟格林函数代入上式并完成对 的积分, 得 v Ξ n 2 1 1 m g bV T ()( ) + 211 iΞ= -i dΞn q2 ? ? Ξ?Ξ+ 2 lΠT 24Πa p qq F l= 1 0 3 a q为集体激发的截止频率. 容易看出上式括号中第一项的积分在下限处是发散 c 其中 Ξc = 的, 这是红外发散. 为在形式上避免积分的发散, 我们引进一个低频截止频率 .完成对 Ξr Ξq 的积分, 得n Ξ Ξ+ 2 lΠT cc 2 ()( ) 12 iΞ= - iΚΠTln n + 2ln? ? Ξ r2 lΠT l= 1 其中 是无量纲有效相互作用常数Κ 2 2 ( ) m g bV N 0g bV 2 ()= 13 Κ= 2 224Πa p 12Πa p F F () 这里 N 0是在费米面上、一个自旋方向上、单位体积内的电子态密度. 由于 Ξc 远大于我们 () () 所关心的温度 和频率 的值, 因此可以略去 12式中与 相加的项2 . 完成 12式中 T Ξn Ξc lΠT 对 的求和, 得l Ξ Ξ cc2 ()()( ) - 2 ln n ! 14 iΞ= - iΚΠTln + 2n ln n ? Ξ r2ΠT () 把上式中 n 的阶乘写成 # n + 1, 把 n 用 Ξn 表示, 然后作解析开拓 iΞn ?Ξ+ , 得实频率轴i? 上电子推迟自能的表达式 Ξ Ξ c iΞ c iΞ 1 2 () ()15 Ξ= - iΚΠTln - + 1 ln - 2 ln # - + ?R Ξr ΠT 2ΠT 2ΠT 2 () 当 Ξ < T 时, 利用 # 函数的对数的展开式, 可以看出 15式中 # 函数的对数项给出的实部 || 和虚部与前两项的贡献相比较小, 可以略去. 当| | > 时, 可利用 函数的对数的渐近表 ΞT # 达式把 函数的对数项展开. 在| | < 和| | > 两种情形下, 分别只保留给出主要贡献# ΞT ΞT 的项, 我们得电子推迟自能的近似表达式 ) ) (( | Ξ| < T Ξln T Ξc - iΠT ln T Ξr ,ƒƒ2 () ()Ξ? Κ16 ?R ) (Ξln Ξ Ξ - ||ƒc iΠ| Ξ| ƒ2, | Ξ| > T 低温物理 学报19卷190 ( ) (16式中的电子自能是一个非常令 人 兴 奋 的 结 果, 它 与 边 缘 费 米 液 体 M a rg in a l F e rm i ) ( ) 唯象理论中的电子自能几乎完全一样. 下面我们把 16式中的电子自能与边缘费米 L iqu id 4 液体理论中的电子自能作对比并加以讨论. 在边缘费米液体理论中, 电子自能由下式给出 2 () ) (()17 Ξ= Κ [ Ξln x Ξ- iΠx 2ƒƒc ?R ) (其中 x = m ax Ξ , T , Ξc 为紫外截止频率. 边缘费米液体理论假设体系中存在的自旋和电 || 4 () () ( ) ( ) () 荷激发的极化率 , 为: 如果| | < , , = - 0ƒ; 如果| | > , , P qΞΞT P qΞN ΞT ΞT P qΞ ( )( ) ( )= - 这个极化率也可看作是自旋和电荷激发的传播子 格林函数. 看上去, N 0sgn Ξ. ( ) 2所假设的非费米液体重费米子体系中存在的集体激发传播子 [ 1式 ] 与边 T sve lik R e ize r 缘费米液体理论中对自旋和电荷激发传播子的假设在形式上完全不同, 但它们却给出如此 类似的电子自能, 因此我们可以说这两种类型的激发对电子行为产生类似的影响. 另外, 在 16 中子散射实验中, 也发现了类似于边缘费米液体理论所描写的磁性响应. 这说明非费米液体重费米子体系中的非费米液体行为与高温超导体正常态的非费米液体行为有相似之 处, 这个问题有待作进一步的研究. ( ) ( ) 把 16式与 17式作比较, 可以看出电子自能的实部完全相同. 当 > 时, 虚部也 ||ΞT ( ) 完全相同. 但当| | < 时, 虚部不尽相同. 当| | < 时, 16式中的虚部与低频截止频率ΞT ΞT 有关, 而低频截止频率是为了避免积分在下限处发散而引进的, 这带有人为的色彩, 这是由 模型中所假设的集体激发传播子的特殊形式所造成的. 尽管带有更大的人为性和任意性, 但 () 如果我们选择低频截止频率为 T e , 当 Ξ < T 时 16式给出与边缘费米液体理论完全 ƒ || 相同的电子自能. 尽管不能让人感到特别满意, 但这种做法可从集体激发的热激发性质得到 () 一定程度的旁证. 从 16式可以看出, 集体激发的特征能量为温度, 因此选择比温度低的低 频截止频率是有一定合理性的. 在计算电子比热的过程中 [ 请见第四节 , 我们发现只要低频下电子自能的虚部与频率无关, 电子比热的最后结果就与电子自能的虚部无关. 但电子磁化 率的结果却与电子自能的虚部有关, 不过这种依赖关系只体现在类似于相干长度的量与温 度的关系上 [ 请见第五节 . 基于前面的讨论, 在下面, 我们将使用与边缘费米液体理论相同 3 2 () () a q. 形式的电子自能, 即 17式, 但这里 由 13式给出, Ξ= c Κc 三、电阻率 利用前面得到的电子自能结果, 非常容易看出在 2唯象模型中电阻率与 T sve lik R e ize r 温度成线性关系. 我们知道电子自能虚部的绝对值的倒数是电子与集体激发之间散射的迟 豫时间 , 即Σ 1 ()18 Σ = ″||?R () () () 当 Ξ= 0时, 从 17式或者从 16式 取 Ξr = T e , 我们得 ƒ 2 ()19 Σ = ΠT 3 2 把这个结果代入 电阻率的表达式 Θ= m ƒn eΣ , 再加上残余电阻率 , 我们有 D ru de Θ0 3 Πm ()() 20 T ΘT = Θ0 +22n e 这个结果说明在 2唯象模型中, 电阻率为温度的线性函数, 这是一个非费米液 T sve lik R e ize r 5 体行为. 非费米液体重费米子体系上的实验确实表明这类体系中的电阻率是温度的线性 () 函数, 但温度前面的系数对于不同的体系可以取两种不同的符号. 从 20式中的结果可以看 出, 2唯象模型不能解释温度前面的系数小于零的情形. 因此, 我们说 2T sve lik R e ize r T sve lik 唯象模型仅能部分成功地解释非费米液体重费米子体系在电阻率上表现出的非费米 R e ize r 液体行为. 四、电子比热 在 已 知 电 子 自 能, 因 而 已 知 电 子 格 林 函 数 的 条 件 下, 电 子 比 热 可 从 下 列 熵 的 表 达 17, 18式 计算得到 2 - 1 ()21 S = R ΠT Im [G 5G R ƒ5Ξ ]Ξ= 0 ?3 p 其中 1 () () 22 GR p , Ξ=()Ξ - Ε- p , Ξp ?R ( ) 是电子的推迟格林函数. 在文献 18 中, 作者之一计算了在 17式中电子自能下的电子比 热. 在这里我们只给出最后结果, 然后讨论非费米液体重费米子体系的电子比热. 单位体积 内的电子比热由下式给出 2 2 22 ) (()C= () () ΚT ln T ƒΞ]23 V ΠN 0[ 1 - ΚT -c 3 通过简单的整理, 可把上式的右边写成的形式 2 22 2 2 () ) (C= ΠN T [ 1 - Κ-() V 0ΚƒΚln ƒΞ T c ]3 ())24 (= - A T ln T T ƒx 其中 2 2 2 ()()A = ΠΚN 025 3 2 2() 1- ΚΚ ƒ( ) T = Ξe26 x c () 24式与实验得到的非费米液体重费米子体系的低温比热在函数形式以及与温度的关系上 是完全一样的, 因此 2唯象模型能够解释非费米液体重费米子体系在电子比 T sve lik R e ize r 热上所表现出的非费米液体行为. 下面我们把这个比热式子应用到非费米液体重费米子体 ( )0 系 U 0. 2 Y 0. 8 P d3 和 U C u 3. 5 P d1. 5 上, 确定理论中两个参数的值: 电子在费米面处的态密度 N 2(和有效相互作用常数 . 实验结果是: 对于 , = 84. 7= 289文献 ƒ, ΚU 0. 2 Y 0. 8 P d3 A m J K m o l T x K 2) ( ) 9 和 10 ; 对于 , = 74. 1= 191, 文献 11 . 取截止频率 ƒ, U C u 3. 5 P d1. 5 A m J K m o lT x K Ξc () ( ) () 的 值为10 116 , 把上述 和 的实验结果分别代入 25和 26式, 我们得: 对于m eV K A T x 25 - 1 - 1 ()( ) , 0? 2. 07×10态电子伏摩尔, 0. 72; 对于 , 0? 1. 42? U 0. 2 Y 0. 8 P d3 N ΚU C u 3. 5 P d1. 5 N 低温物理学报19卷192 25 - 1 - 1 ()×10态电子伏摩尔, 0. 82. 与单价理想金属的自由电子模型中的电子态密度 [0 ? ΚN 22 - 1 - 1 = 8. 08×10态电子伏摩尔] 相比, 可以看出在这两个非费米液体重费米子体系中, 电 子在费米面处的态密度非常高, 这明显表现出了这些体系的重电子特征. 五、电子磁化率 在本节中, 我们利用第二节中得到的电子格林函数的结果计算 2唯象模 T sve lik R e ize r 型中的电子磁化率. 电子磁化率是反映电子体系对外加磁场响应的物理量, 在量子场论格林 函数语言中, 它可以用图2中的 图来表示. 利用图2中的 图计算电子磁化F eynm an F eynm an 率类似于在处理 射线吸收和发射谱边缘处的发散问题中计算电子体系对光场响应函数 X 19, 20 () () 的. 在那里, 考虑到深能级上的空穴 射线吸收后或电子 射线发射后与导带 X X 中电子之间的相互作用, 首先计算了深能级的格林函数, 然后利用类似于图2中的 F eynm an ( 图计算 射线吸收或发射谱 注意在这个问题中, 图2中的两条线分别为深能级和自由电子X )( ) 线. 在我们现在的问题中, 图2中的两条都是传导电子线, 它们表示的是 22式中的格林函 数. 在虚频率轴上, 相应于图2中的 图的解析表达式是F eynm an () () ()()ς q, iΞ= - T G p , iΞG p + q , iΞ+ iΞ27 m n n m ? p , iΞ n 其中 iΞm = i2m ΠT 是玻色子的M a t su b a ra 虚频率, m 为整数. 利用格林函数的谱表示, 我们 ) (图2 电子磁化率的 图. 实线表示电子的格林函数; ×号表示磁化率顶角. F eynm an () 可把 27式写成 () ς q, iΞ=m ? ? 1 1 T()) )- 28 d Ξ′ dΞ″(( Im Gp , Ξ′Im G p + q, Ξ″ 2 R R ? ??ΠΞ″iΞn - Ξ′iΞn + iΞm - p , iΞn- ? - ? 完成对 的求和, 我们有iΞn () ς q, iΞ=m ? ? ) ( )( 1 tan h Ξ″2T - tan h Ξ′2T ƒƒ) ) ((()- dΞ′ dΞ″Im G p , Ξ′Im Gp + q, Ξ″29 R R 2? ? ?2Π iΞm + Ξ′- Ξ″ p - ? - ? () 完成了对 iΞn 的求和, 现在我们可以把 ς q, iΞm 解析开拓到实频率轴上. 令 iΞm ? Ξ + i? , 我 们得实频率轴上电子磁化率的实部和虚部分别是 () ς ′q, Ξ= ? ? ) ( )( tan h 2T an h 2T ″ƒ′ƒ1 Ξ- tΞ () ()P d Ξ′ dΞ″Im G R p , Ξ′Im G R p + q, Ξ″ - 2? Ξ + Ξ′- Ξ″? ?2Π p - ? - ? ()30 ? 1 () )(ς ″q, ΞdΞ′t anh + Ξ′2T ƒ= Ξ ? ?2Π p- ? ) )) ((()(- tanh Ξ′ƒ2T I m G p , Ξ′Im G p + q , Ξ + Ξ′ 31 R R ()( ) 下面我们将在低频和长波长极限下计算磁化率 ς q , Ξ. 我们先利用 31式计算得到电 子磁化率的虚部, 然后再利用 2关系得到电子磁化率的实部. 在低频极限下, K ram e rK ro n ig () 即当| | ν 时, 由于 31式中双曲正切函数的存在, 对积分的主要贡献来自于| ′| ” 的 ΞT ΞT 区域. 由于| | ν , 当| ′| ” , 近似地我们也有| + | ” , 因此我们只需要用到低频下′ΞT ΞT ΞΞT 的自能表达式, 即 2 2 ((() ) ) )()(() ′Ξ′= - ΚΞ′ln ΞT ,32 ƒ′Ξ +c Ξ′= - Κ Ξ + Ξ′ln Ξc ƒT ?R ?R 2 () () ″Ξ′= ″Ξ + Ξ′= - ΠΚT ƒ2()33 ?R ?R () () () () 把 32和 33式通过 22式代入 31式, 得 ) ) ( ( 1 tan h [ Ξ + Ξ′2T - t an h Ξ′2T ƒƒ4 2 () ς ″q, Ξ= ΠΚT 2 2 2 2 2 2 ? )()() (() 8 + ΠΚT 2] ƒ[ ΑΞ′- Εp + ΠΚT 2ΑΞ + ΑΞ′- Εp + q ƒp ()34 其中 2 )(()Α= 1 + Κln ΞƒT 35 c () 在长波长 ?0极限下, 可把 近似地写为qΕp + q ()Ε= Ε+ vr q36 p + q p F 这里 是费米速度. 并且在费米面附近可把电子的色散关系线性化v F 1 p 2 F 2 () ((()Ε= | p | -) ) p 37 p ? p - p F = v F p - p || F F 2m m ( ) 为 了计算 34式中的对 的求和, 我们先把对 的求和转换为对 的积分, 然后再利用 p p p () () 36和 37式把对 的积分转换为 的积分, 这样我们有p Εp ? ? 4 2 2 ΚT p FV() d8 d Εp dΞ′ ς ″q, Ξ= 2 ?? ?64Πv F - ? - ? ) ) ( ( tan h [ Ξ + Ξ′2T - t an h Ξ′2T ƒƒ ()382 2 2 2 2 2 () () () () [ ΑΞ′- Ε+ ΠΚT ƒ2ΑΞ + ΑΞ′- Ε- vr q+ ΠΚT ƒ2] p p F 完成对 和对立体角的积分, 有Εp ? 2 2 ΚT p V FΞ + Ξ′Ξ′1 () dΞ′tanhς ″q, Ξ- tanh = 2 2 2 2() () ) ?(2T 8Πv ΠΚT - v q+ ΑΞT FF - ? ()39 对 ′的积分可完成如下Ξ 低温物理 学报19卷194 L ? Ξ + Ξ′Ξ + Ξ′Ξ′Ξ′ tanh = lim dΞ′tanh-dΞ′tanh- tanh T 2T ?L ??? 2T T - L - ? ) )((L + Ξ] co sh L 2T co sh [ ƒƒ2T = 2T limln -ln L ??() )( co sh [ - L + Ξƒ2T ] co sh - L ƒ2T () L + Ξƒ2T eΞƒT = 2T lim ln = 2T ln e= 2Ξ ()40 () L - Ξ2T ƒL ?? e () () 把 40式代入 39式, 最后我们得到的磁化率虚部表达式为 2 2 ΚT p V FΞ () ς ″q, Ξ= 22 2 2 4Πv ) (() ) (FΑΞ ΠΚT - v q+F ()N 0V Ξ ()41 = 2 2 2 2 22ΠΚT 1 - Νq+ ΞΞ ƒx 其中 为相干长度Ν v F()Ν= 42 2 ΠΚT 为集体激发的特征频率Ξx 2 TΠΚ ()Ξ= 43 x 2 )(1 + Κln ΞƒT c 2 ( ) () ( ) 在得到 41式时, 我们利用了 N 0= m p 2Π. 从 41式中的磁化率虚部, 利用 2 ƒF K ram e r 关系, 我们很容易得到磁化率的实部K ro n ig ? () 1 ς ″q , Ξ () ς ′q, Ξ= PdΞ′ ? Π Ξ′- Ξ - ? 2 2 1ƒ2 ( ) ( ) N 0V 1 - Νq ()= 44 2 2 2 () 2Α 1 - Νq+ ΞƒΞx () 在得到 44式中的结果时, 我们假设了 Νq < 1. 在长波长极限下, 这个关系总是成立的. 从 () () 41和 44式我们可以写下电子磁化率的最后结果 ()N 0V 1 ()() 45 ς q , Ξ= 2 2 12 ƒ () 1 - 2Α Νq-i΃Πx 21, 22 () 45式中的磁化率表达式与高温超导体的唯象理论, 近反铁磁费米液体唯象理论, 中 的反铁磁磁化率的形式有相似之处: ?它们的函数形式是相似的; ?它们有完全相同形式的 ()频率依赖关系 但特征频率与温度的关系在这两种情况下是不同的. 可是它们之间也有一 () 些根本的差别: ?前者在长波长 ?0极限下成立, 描写铁磁自旋涨落, 而后者在有限的反 q 铁磁波矢 附近成立, 描写反铁磁自旋涨落; ?它们中的相干长度、特征频率与温度的关系Q 是不同的. 尽管如此, 可是它们的相似性说明了边缘费米液体理论与近反铁磁费米液体理论 之间的联系, 有关这方面的一些讨论, 请参见文献 23 . ((() ) ) 现 在我们考虑静态 = 0均匀 = 0电子磁化率. 从 45式得单位体积静态均匀电子 Ξq 磁化率为 ( )( ) ς ′0, 0 N 0 ()ς = 46 = 0 2 () Κln ΞT ]ƒV 2 1 + c 2 如果我们把 看作一个小量, 当比值 ƒ不是太大时, 我们可以把 近似地写为 ΚΞc T ς 0 2 Κ 1 c Ξ 2 1 Ξc ()1 - Κln ()()N0 47 ς 0 ? ? N 0 1 - 2 T 2 T 在得到最后一个约等号右边的结果时, 我们利用了 2 2 Κ()) () 48 (1 + Κln ΞƒT ? ΞƒT c c 24, 25 这种近似方法在临界现象重整化群理论的 2展开方法中常用到. Ε2 - Κ() 从 47式可以看出, 电子磁化率与温度的依赖关系为 ? 1- . 尽管这是一个非费 ςB T 不一T 米液体行为, 但它与非费米液体重费米子体系上的电子磁化率实验结果 ς? 1- B 致, 这说明 2唯象模型不能解释非费米液体重费米子体系在电子磁化率上表 T sve lik R e ize r 现出的非费米液体行为. 六、结论 考虑到电子与 2唯象模型中假定的集体激发之间的相互作用, 在单圈图 T sve lik R e ize r 近似下, 我们计算得到了电子自能, 得到的电子自能表达式与边缘费米液体理论中的电子自 能表达式非常相似. 为避免对集体激发动量积分在下限处发散, 我们不得不引进了一个低频 截止频率, 因此在 < 情形下电子自能虚部依赖于这个低频截止频率, 但从其计算得到 ||ΞT 的电子比热却不依赖于这个低频截止频率. 考虑到集体激发的热激发性, 我们为低频截止频 率选择了一个比温度小的值 ƒe . T 使用低频截止频率的这个特殊值, 从 2 T sve lik R e ize r唯象模型计算得到的电子自能与边缘费米液体理论中的电子自能在形式上完全相同. 这说 ( 明了尽管激发性质不同 在边缘费米液体理论中, 激发为自旋和电荷激发; 在 2T sve lik R e ize r ) 唯象模型中, 激发为绝对零度磁性相变序参量的涨落所产生的集体激发, 但电子在与激发 相互作用过程中所获得的自能却具有相同的形式. 这反映出为什么 强调了边缘费米V a rm a 液体理论是建立在对自旋和电荷激发极化率的假设基础之上, 而不是建立在对电子自能的 26 假设基础之上. 在这里, 我们清楚地看到不同的激发可以产生相同形式的电子自能. 从 2唯象模型得到的电子比热的温度依赖关系与实验结果完全符号, 因 T sve lik R e ize r 此 2唯象模型能够解释非费米液体重费米子体系在电子比热上表现出的非费 T sve lik R e ize r 米液体行为. 在 电阻率基础上, 2唯象模型也能够解释斜率为正的D ru de T sve lik R e ize r 电阻率与温度的线性关系, 但不能解释斜率为负的情形, 因此对于在电阻率上表现出的非费 米液体行为, 2唯象模型只能解释其一半. 对于非费米液体重费米子体系在电 T sve lik R e ize r 子磁化率上表现出的非费米液体行为, 我们的计算表明 2唯象模型给出的结 T sve lik R e ize r 果与实验结果不符, 因此 2唯象模型不能解释非费米液体重费米子体系在电T sve lik R e ize r 子磁化率上表现出的非费米液体行为. 最后总结一下, 在解释非费米液体重费米子体系所表现出的非费米液体行为上, T sve22唯象模型既有成功的地方也有不足之处; 它在电子比热上是成功的, 在电阻率上 lik R e ize r 是半成功的, 在电子磁化率上是完全失败的. 低温物 理学 报19卷196 ( ) 1 ] S ov. . , 3 1956, 920. L. D. 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