【doc】直线加速动态黑洞Dirac场的熵

【doc】直线加速动态黑洞Dirac场的熵 直线加速动态黑洞Dirac场的熵 第5l卷第l0期2002年l0月 1000—3290/2002/51(10)/2399—08 物理 ACTAPHYSICASINICA Vo1.51,No.10,October,2002 ?2002Chin.Phys.Soc. 直线加速动态黑洞Dirac场的熵* 张靖仪??赵峥? (北京师范大学物理系,北京100875) (湛江师范学院物理系,湛江524048) (2001年12月30日收到;2002年3月14日收到修改稿) 采用薄层模型brick—wall方法,计算出了直线加速动态黑洞视界面上Dirac场的熵以及Rindler视界面上Dirac场 的熵密度,通过适当选择时间依赖的截断因子,和薄层厚度艿,仍可得出熵与面积成正比的结论. 关键词:熵,加速动态黑洞,薄层模型,Dirac场,Dirac方程 PACC:9760L,0420 1.引言 自从Bekenstein提出黑洞熵与黑洞视界面积成 正比的建议以来…,有关研究取得了很大的进展. 1985年,?tHoofi提出brick—wall模型,这一方法被 人们用来计算静态球对称黑洞的熵,并取得了令人 满意的结果.然而,使用brick.wall模型必须先假 定黑洞与外界在大尺度范围内存在热平衡,动态黑 洞显然不属于这种情况,因而不能用brick—wall方法 来计算动态黑洞的熵.李翔,高长军,赵峥等人针对 上述不完美之处,把brick—wall模型改进为薄层模 型….在改进的中,只要求在黑洞外薄层范围 内局部存在热平衡,黑洞的熵被认为是来自视界附 近一个薄层的贡献.他们利用这一模型计算了各种 动态黑洞标量场的熵..?j,计算结果获得了预期的 成功.而对于Dirac场的熵,以往的文献只计算了动 态球对称的情况.主要的困难是在非球对称背景 时空中Dirac方程不易退耦和分离变量,因而不能严 格求解.本文考虑直线加速动态黑洞,在小质量近似 下,通过进行适当变换,成功地将Dirac方程退耦.采 用薄层模型和WKB近似,算出了视界面上的熵密度 和熵. 2.视界面上Dirac场的熵密度的计算 直线加速动态黑洞的时空度规用超前Edding. 国家自然科学基金(批准号1~3oo2)资助的课题 ton.Finkelstein坐标表示为??” ds=goodv+2g0ldvdr+2go2dvdO +g22dO+g33d,(1) 其中 ..:l一!一 2a(rcos0一.(r2sin20, g01=一1,go2=nrsin0, g22:一r,g33:一/2sin0. 利用零曲面条件和时空对称性,不难求出局部事件 视界面方程为n 2一(?一一2arcos0) . 2 +2asinOrh, 一 = 0,(2) ,h 式中rh, =,rh,=.显然,rh是和方向角0 的函数,即视界位置随时间和方向角0而变化.此 外,(2)式下标h适用于黑洞视界和Rindler视界. 引入如下坐标变换 R=r一(,0),V=一0, @=0—0.,(3) 则有 dR=dr一. d一d,(4) aaaaa „ , , 未一,5aSr+.(5),.L) 2400物理51卷 变换后的度规形式为 d5:(g00+2rhg.1)dVz+2g.ldVdR +2(rh.~g0l+g02)dVdO +g22d@+g”d. (6)式可以写为 d52:fg00+2r.g.-一(Fh.eg0l+g02). g22 1d (6) +2goldVdR+g22(一OdV+dO)+g33d, (7) 其中 n:一:.i0一掣 g22r (8) 为类似于旋转黑洞而定义的拖曳角速度?.如果令 =n,则(7)式将变为拖曳系中的线元? 下面以变换后的时空度规为背景时空进行讨 论,写成显式则为 ds.=(g00—2r)d一2dVdR +2(0rsin0一rh.)dVdO—F2dO 一 F 2 sind,(9) 其不为零的逆变分量可求出为 Ol gg:一1.:=一l? g”:2rh?+2arh. ~si一(1—2了M一2arcos)一, : 2l :一0sin0g+掣,==一0s+j一? ? =一, ,3 :一 1 gg0.一7?一7? 显然,g”=0即为视界面方程. 取零标架 =(0,1,0,0), : (g”,一n+,0), = (o,oi), (10) 而=(o,o)(11) 由(11)式可求出其协变分量,易验证满足伪正交条 件和坐标条件.由度规和零标架的表示式,并利用 (5)式,可求得不为零的旋系数为 rh,0 1 一 42了?JD一?r. = cotO ,a=一 h.cotO 一? cotO 一 ? = 1(一2arcos臼+半 cotOri,81 +_?一2一J? 1,1a1a 一I十一2丽一 一 asinOrh. ?+arsinOr~. 一 acosOr~, + 等甜一一),+7呻一_一J? 式中:.一,=一2 了 M 一 2arcos0.对应的四个方向导数为 D=, ?:一+g”一(n一),?一+一l?一7/? = (+i蓦), = 去(未一i). 对应的Dirac方程的形式为 (+?)F.+(1丽一iD+2cosO,/7F=iG, [-+g一asinO一)+去(一2….s+半+_cotO一)一?】F: r1aia +【十=iG2, (+?)G:一(1D+iD+2cotO,/tG.=iF2, (13a) (13b) (13c) 血 一堕 ? 一4 = y ,, 一 = F 1O期张靖仪等:直线加速动态黑洞Dirac场的熵2401 [一+丢g”一(n一)未+(一2arcos+半+一)一萼]G. 一 f一—L+—+1:i,u一【一~—/2rs—in0++. Gz.,-? 在上面的方程组中,变量不出现在求导算符的系 数中,因而可以把此变量分离成exp(irn~/h)的形 式.对于动态黑洞,变量出现在g”中,一般不能分 离为exp(一iEV/矗),但我们采用薄层模型求黑洞的 熵,考虑的是视界附近的渐近行为,对于不是剧烈演 化的黑洞,这种处理在精度上是足够的n.因此可 以作如下变换 F1=exp(i,一iEV)/h, F2=exp(i,一iEV)/矗, Gl=giexp(i,孔一iEV)/矗, G2=2exp(i,一iEV)/h.(14) 在上式中,我们有意保留矗,这是为了后面采用 WKB近似时,保留方程中的主要项.此外,在求熵 时,一般都要作小质量近似,为了简便起见,令(13) 式中=0. 将(14)式代人(13)式,并令(13)式中:0,可 得 羔++A+:0, 羔+每一(nr,h,o,la~f@z+一Im,/a@ 志 则方程组(15)可以对角化为 (13d) +C一 +=0, 一 号n一)一丽一删一J一 +%l—C+g2=0, R一,一g.:0.aa@,6.一 (15b) ag2 a@ (15c) (15d) 其中 .mcot0A th—q~—sin0土? c=?(箍)+, B=?+(一2acos0+ +一 手一萼).+————一一——一:-J.1lO)r|厶U|{ 因为我们仅考虑视界面附近的量子行为,对于薄层 模型有 r—,<r<r—,+.(17) 其中,为截断因子,为薄层厚度.因此,在薄层中 g”?0,方程组(15)的各项系数是充分光滑的,对应 的方程组为双曲型方程组n.采用文献[17]中的方 法对波函数的四个分量(,,g.,g)作如下变换: 00 00 1—1 一. +dlll+dl22=0, +d2ll+d222=0, +d3]3+d344=0, +d433+d”4=0. (18) (19a) (19b) (19c) (19d) ?00 1 ),?@@a,aa—a ++ 一R一Ra—aa—a @@ a,aa,a l2 ++ 一R—Ra—aa—a 2402物理 5l卷 其中 一 ()+ 一 ()一~f(asin0一一rh?O)+I_gll as — in0-+g 2 :一— g\ 1f 一【力+ X/~7gn_),.r, ), 为双曲型方程组(15)中对@求偏导数的系数矩阵的特征值 . (19)式中的具体形式为 d--i11242l2m rg”sin0 一 笋(啷+rh,00+ ,, 11 i而2?2m rg”sin0 一 m — i )+[421it2..cot0一【, 一 手一萼)+,+(,h,)】? +?=—一 42sin0 + 笋(-2aeos0+丁rh,oo+cot0一r一萼)枷川】? dz-i11 d22 d33 一:2~/222E\1一 q , ~sin0 , g (-2acos0+rb,O0+cot0一手一荨),1cot0J 1 …1(2ff22~)t2m+,/?/Z+i学)+42122ff2sin0)一.,+,”J+【{l一) + (-2acos0+丁rh,00+丁cot0一手一萼)一,一(,h,: ,1, : ?(糟+m—i学)+f(... cot . 0 一 g(-2acos0++丁cot0一手一荨)]? ?(-箍一志+i学)+1..., 一 筹) + g(-2acos0+丁rh,~0+丁cot0.一手一吉萼)一(,h, 】? 1 万 1 )\, {2z 4 g „2 “ 2 sin ~m + m — i 学)+f(筹..cot0 一 等(-2acos0++丁cot0一手一25a7)++, :)1? d” (20a) (20b) 学 盟 ,,II__\ 砌 2r =2m, J=g掣 一 一)(一—J一一一 ,Il_--,一卜等,?一2r咖一 宫r,+ 一 ,们 . ,一一/?lg1一矗 l0期张靖仪等:直线加速动态黑洞Dirac场的熵2403 式中:=,==. 将方程组(19)用代人法可得退耦后的方程组为 “+ ?”+ + + 其oo +D1310, +D232=0, +D333=0, +D434=0, (21a) (21b) (21c) (21d) =d11+d22一dl2., /dl2一2d12,O/d12, =2d11+1d22+l,一1d12.,Id12+218一l2d12,OIdl2, =d11d22一d12d2l+dI】. 一 d11d12. Id12+2d11.8一2d11d12,OId12, =dIl+d22一d21.,Id21一1d21.o/d21, =2d11+1d22+2,一2d21., Id21+128一l2d21.oId21, =d11d22一d12d21+d22. ,一d22d21. ,Id21+1d22,8一1d22d21.oId21, =d33+d44一d34. ,Id34一2d34. 8/d34, =2d33+ld44+1一ld34., Id34+218一12d34.8Id34, =d33d44一d34d43+d33. 一 d33d34.,Id34+2d33.8一2d33d34.8Id34, =d33+d”一d43., Id43一ld43, o/d43, =2d33+ld44+2,一2d43,, Id43+128一12d43.oId43, =d33d44一d34d43+d44.,一d44d43,~ Id43+1d44. 8一1d44d43, oId43.(22) 式中,=, .=.+_l, 2,3,4;_『=1,2,3). 下面利用WKB近似,求自由能和熵.设波函数 的四个分量 =exp(iS(R,@)/)(_『=,1,2,3,4),(23) 则径向动量和角向动量分别为 : 等, : 誓(_『_?l?2,3?4).(24) 将(23)式代人(21)式,方程组两边同乘,并令 一0,可求得 一g-一 2(E—OK.)+2+:0, rrSln (25a) 一 gR一2(E—OK28)K2+ 一 g砖一2(E—OK3o)+ 一 g-髓一2(E—OK4.)K4++:0. (25d) 显然,四个分量对自由能的贡献相同.下面以第一分 量为例来计算.为了方便,在此去掉,..中的下 标1.求解方程(25a),可得 ;:一 g ? E—n 一 g ?.(26)一 g 根据量子统计理论,波函数第一分量对系统自由能 的贡献可以表示为…m @@@@ a—aa—aa—aa—a 托弛鸵 DDDD ++++ 一R一R一R—Ra—aa—aa—aa—a ? DDDD l23123l23123 0C 5 =2 , 一 一r + 5 :)_2d尺,(32) 式中dA=1.2sin0d0dq~,对于视界面上的观者,dA表 示面元.把(32)式与(31)式L-E较得 : gdRg.(33)r,J? 自由能的面密度为 一 d尺 =一gU(34) 由 fl2(3… F1],(35) 可得波函数第一分量产生的熵的面密度为 :(gUdRg.(36)?o 把g”在rh附近展开成泰勒级数 g”(gl1)I,+()rh(r) : (rh(r).(37) 令 : (OgU)I,,(38) 完成对R的积分得 =页4 … ~2 .. Ii1d尺=47r2O?S1.页….. „ (39) 由参考文献[15]提供的方法,不难求得下面的关 系式 :一1--2/”h, ~-2asinOrh, o+ 2rZ~ , o ).(40) 将(40)式代人(39)式,并考虑到Dirac粒子波函数其 他三个分量的贡献,得总熵密度为 =4as ~ = 1 ×?丽_(41) 3.讨论 在上面的计算中,对能量的积分已换成对E的 积分,实际求出的是热辐射的熵密度.对于直线加速 动态黑洞存在黑洞视界和Rindler视界,且(2)式适 用于二种视界面,因此,熵密度(41)式适用于二 种视界.下面分别进行讨论. 1)黑洞视界面上的总熵 由(41)式,得黑洞视界面上的总熵为 .s=dA=J ×?瓣? (42) a)若o=0,则黑洞退化为球对称的情况.此时 rh.=0,rh. 与0无关.积分(42)式得 .s=l_,(43) 式中A为黑洞视界面积.若选定 ,:了:90卢h(1—22.),(44)uh一?,L 得 S=Ah,(45) 此时热辐射的熵正比于黑洞视界面积,但显然此时 的截断因子e是时间依赖的. 10期张靖仪等:直线加速动态黑洞Dirac场的熵2405 b)若a?0,选定 E=E(E+)90fl(1—2r. 一 2asinOr+2r. /r:),(46) 则仍可得出5=A,此时的截断因子e显然也是各 点不同,而且是时间依赖的. 2)Rindler视界面上的熵密度 由(41)式,若选截断因子e和薄层厚度,使得 E满足(46)式,则有 s=1 当M=0,.=const.,则因 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] 9] 10 11 12 (47) = 2rt—— ?rh r上 h.=0,h, : a(1+cosO)? sin0 a(1+cos0)?(48) 则此时的截断因子 e==90/3(49)h4 是与和0无关的.与文献[19]结果相同 作者曾与许殿彦教授,杨学军,田桂花二位博士进行过 有益的讨论,朱建阳教授也对本文提出过修改建 议,dZhaoZ2001Chin.P.Lett.18310 HeHandZhaoZ2001J.BeijingNormalUniv.(NaturalScience) 37785(inChinese)[贺晗,赵峥2001北京师范大学 [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] (自然科学版)37785] GaoCJandShenYG2001Chin.Phys.Lett.181167 KinnersleyW1969Phys.Rev.D1861335 ZhaoZ1999ThermalPropertyofBlackHoleandSingularityof Spacetime(Beijing:BeijingNormalUniversityPress)(inChinese) [赵峥1999黑洞的热性质与时空奇异性(北京:北京师范 大学出版社)第265—279页] UZHandZhaoZ1997ActaPhys.Sin.461273(inChinese) [黎忠恒,赵峥1997物理461273] ChenZX1993PartialDifferentialEquations(Hefei:ChineseSci- eneeandTechnologyPress)201(inChinese)[陈祖墀1993偏微 分方程(合肥:中国科学技术出版社第201页j LeeMHandKimJK1996Phys.RevD543904 HeHandZhaoZ2001J.BeijingNormalUnit.(NaturalScience) 37499(inChinese)[贺晗,赵峥2001北京师范大学 越M) (Received30December2001;revisedmanuscriptr~.ceived14March2002) Abstract Usingthethinfilmmodelwhichisbasedonthebrick—wallmethod,wehavec alculatedtheentropyofDiraefieldonevent horizonandonunitareaofRindlerhorizontoastraighflyacceleratingblackhole.Theconclusionthattheblackholeentropyis proportionaltoitsareacanstillbevalidbyregulafingthecut-off,andthefilm?Sthickness,whicharetimedependent. Keys:entropy,acceleratingnon—stationaryblackhole,thinfilmmodel,Diracfield,Diraeequations PACC:9760L,0420 Proj~tsupportedbytheNationalNaturalScienceFoundati0nofChina(GrantN0.10073002)