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第6章立体几何初步章末复习一、空间几何体的结构特征1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．这三种几何体都是多面体．2．圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问时，常需作它们的轴截面或截面．3．由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．二、空间几何体的画法1．斜二测画法主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：(1)画轴；(2)画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；(3)截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．2．三视图画法它包括正视图、左视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线，可见线用细实线画出．三、几何体的面积和体积的有关计算1．几何体的侧面积和表面积是两个不同的概念，表面积不仅仅包括侧面积，还包括底面面积．2．多面体的展开图是由多个平面图形组成的，计算其表面积需分别计算各个面的面积，之后相加即可．①对于圆柱(侧面展开图是矩形)、圆锥(侧面展开图是扇形)、圆台(侧面展开图是扇环)，要分别弄清展开图中各数据与原几何体相应量之间的关系．②球的表面不能展开为平面图形，其表面积公式为S＝4πR2.3．柱体的体积公式为V＝Sh(S为底面面积，h为高)，锥体的体积公式为V＝四、线线关系空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面三种．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．1．证明线线平行的①线线平行的定义；②公理3：平行于同一条直线的两条直线互相平行；③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b；⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．证明线线垂直的方法①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.五、线面关系直线与平面之间的位置关系有线在面内、相交、平行三种．1．证明直线与平面平行的方法①线面平行的定义；②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.2．证明直线与平面垂直的方法①线面垂直的定义；②判定定理1：③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.六、面面关系两个平面之间的位置关系有平行、相交两种．1．证明平面平行的方法①面面平行的定义；②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β；③线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β；④公理3的推广：平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.2．证明面面垂直的方法面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.七、在处理有关体积问题时应注意的几个问题(1)等体积变换法：当所给三棱锥的体积套用公式时某一量(面积或高)不易求出时，利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面，可以转换为底面面积和高都易求的方式计算体积．(2)在解决锥体与台体的体积比问题时，注意应用以下性质：(3)割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时，经常要用到割补法，割补法是割法与补法的总称．补法是把不熟悉的(或复杂的)几何体延伸或补加成熟悉的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形，如长方体、正方体等．割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体或体积易求的几何体．割与补是对立统一的，是一个问题的两个方面．(4)补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法．由台体的定义知，在某种情况下，我们可以将台体补全成锥体来研究其体积．八、证明空间线面平行或垂直需注意的三点(1)由已知想性质，由求证想判定．(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．九、“升降维”思想用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决．用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法．平面图形的翻折问题的与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程．题型一　三视图与直观图三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．例1　将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为(　　)　B解析　还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．跟踪演练1　若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)答案　B解析　所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的左视图不符合，只有B选项符合．题型二　几何体的表面积与体积几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．例2　如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC－A′B′C′的体积．解　连结A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．设所求体积为V，显然三棱锥A′－ABC的体积是而四棱锥A′－BCC′B′的体积为故有跟踪演练2　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π答案　A解析　将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解．原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2＋题型三　空间中的平行关系在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如下图所示是平行关系相互转化的示意图．例3　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．解　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连结AC和BD交于点O，连结FO，那么PF＝∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綊∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.跟踪演练3　如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.证明　(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)连结OG并延长交AC于点M，连结QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．又Q为PA中点，得QM∥PC，又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.题型四　空间中的垂直关系空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法：①线线垂直的定义；②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)；③线面垂直的性质(若a⊥α，b∥α，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法：①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法：面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．例4　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明　(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.跟踪演练4　如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.证明　(1)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC＝MN，AD⊂平面ADMN，∴AD∥MN.又∵AD∥BC，∴MN∥BC.又∵N为PB的中点，∴M为PC的中点，∴MN＝∵E为AD的中点，DE＝∴DE綊MN，∴四边形DENM为平行四边形，∴EN∥DM.又∵EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EN∥平面PDC.(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PEB.∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥PB.又∵PA＝AB，且N为PB的中点，∴AN⊥PB.∵AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN.1．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决．2．转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为PAGE1