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Jthgcv高考数学难点突破难点07 奇偶性与单调性(一)秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。难点7 奇偶性与单调性(一) 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. ●难点磁场 (★★★★)设a>0,f(x)= 是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数. ●案例探究［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f( )=－1,当且仅当00,1－x1x2>0，∴ >0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1...

秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。难点7 奇偶性与单调性(一) 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. ●难点磁场 (★★★★)设a>0,f(x)= 是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数. ●案例探究［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f( )=－1,当且仅当00,1－x1x2>0，∴ >0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴0< <1,由题意知f( )<0，即f(x2)3a2－2a+1.解之，得01). (1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根. 6.(★★★★★)求证函数f(x)= 在区间(1，+∞)上是减函数. 7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)= ； (ii)存在正常数a使f(a)=1.求证： (1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a. 8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且 f(－ )=0,当x>－时，f(x)>0. (1)求证：f(x)是单调递增函数； (2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 参考答案难点磁场 (1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即 +aex.整理，得(a－ ) (ex－ )=0.因此，有a－ =0,即a2=1,又a>0,∴a=1 (2)证法一：设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)= 由x1>0,x2>0,x2>x1,∴ >0,1－e ＜0, ∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数证法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).当x∈(0,+∞)时，e－x>0,e2x－1>0. 此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数. 歼灭难点训练一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)为奇函数. 答案：C 2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称. 答案：C 二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1 上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1 上递减. 答案：(－∞,－1 4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x， ∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞ 单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0, ∴b=－a(x1+x2)＜0. 答案：(－∞,0）三、5.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, >1且 >0, ∴ >0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴ >0, 于是f(x2)－f(x1)= + >0 ∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数. (2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根. 证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则＜－2, ＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则 >0, >0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根. 6.证明：∵x≠0,∴f(x)= , 设1＜x1＜x2＜+∞,则 . ∴f(x1)>f(x2), 故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决） 7.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)= =－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数. (2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a). ∵f(x+a)=f［x－(－a)］= . ∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］= =f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数. 8.(1）证明：设x1＜x2,则x2－x1－ >－ ,由题意f(x2－x1－ )>0, ∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－ )－1=f［(x2－x1)－］>0, ∴f(x)是单调递增函数. (2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.

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