正五边形的画法

正五边形的画法 、 [正五边形的画法] 圆内接正五边形的画法如下: 1、任作一圆O 2、任作圆O中互相垂直的两直径AB、CD 3、作OD的垂直平分线交OD于E 4、以E为圆心，EA长为半径作弧，交CD于F 5、在圆O上顺序作弦AG=GH=HM=MN=NA=AF 则得正五边形AGHMN 已知边长作正五边形的近似画法如下: ?作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K. ?以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CK=2/3AB ?以 C为圆心,已知边长 AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N. ?顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形. 正多边形的尺规作图是大家感兴趣的.正三边形很好做;正四边形稍难一点;正六边形也很好做;正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法.确实，有的困难一些，有的容易一些.正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢?人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易;一直未找到这种作法，也使人怀疑:究竟用尺规能否作出正七边形来?数学不容许有这样的判断:至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的. 人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了:究竟能作不能作，得不出结论来.这个悬案一直悬而未决两千余年. 17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如 Fi (i为右下角标)=22i(底数2指数2的i次幂)+1 的数. 费马的一个著名猜想是，当 n?3时，不定方程xn+yn=zn没有正整数解.现在他又猜测Fi都是素数，对于i=0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi: F0=3，F1=5，F2=17， F3=257，F4=65 537 验证一下，这五个数的确是素数.F5=225+1是否素数呢?仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了!F5是两素数之积: F5=641×6 700 417. 当然，这一事例多少也说明:判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年?何以需要欧拉这样的人来解决问题? 更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道.至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数.由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i+1的素数只有有限个.但对此也未能加以. 当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数.由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事. 更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论:正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是 n=2k(2的k次幂)或 2k×p1×p2×…×ps，(1，2…s为右下角标) 其中，p1，p2，…，ps是费马素数. 正7边形可否尺规作图呢?否!因为7是素数，但不是费马素数. 倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形.根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形. 就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连. 正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看.高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案. 高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5=F1);对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正 13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数;对 于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的;此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢?因为4=22，因为 6= 2? 3而 3=F0. 费马数 费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式: 其中 n 为非负整数。若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。(若 n = ab，其中 1 < a, b < n 且 b 为奇数，则 2n + 1 ? (2a)b + 1 ? (?1)b + 1 ? 0 (mod 2a + 1)。)也就是说，所有具有形式 2n + 1 的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。 费马猜想 法国数学家费马于1640年提出了以下猜想: 揭示了十进制和二进制的关系 可以发现 F0=2^(2^0)+1=3 F1=2^(2^1)+1=5 F2=2^(2^2)+1=17 F3=2^(2^3)+1=257 F4=2^(2^4)+1=65537 F5=2^(2^5)+1=4294967297 前5个是质数，因为第6个数实在太大了，费马认为这个数 是质数。 由此提出(费马没给出证明)，形如Fn=2^(2^n)+1 的数都是质数的猜想。后来人们就把形如2^(2^n)+1的数叫费马数。 猜想结论 1732年，欧拉算出F5=641×6700417，也就是说F5不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式。以后，人们又陆续找到了不少反例，如n=6 时，F6=2^(2^6)+1=274177×67280421310721不是质数。至今这样的反例共找到了243个，却还没有找到第6个正面的例子，也就是说目前只有n=0，1，2，3，4这5个情况下，Fn才是质数。甚至有人猜想:费马数N?4时，费马数全是合数～ 接下来的几个费马数的分解情况是: F6 = 274177 × 67280421310721 F7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721 F9 = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 × 74164006262753080152 47871419019374740599407810975190239058213 161444157 59504705008092818711693940737 F10 = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778192897 × P252 F11 = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P564 F12 = 114689 × 26017793 × 63766529 × 190274191361 × 12561 32134125569 × 568630647535356955169033410940867804839360742060818433 × C1133 F13 = 2710954639361 × 2663848877152141313 × 3603109844542291969 × 319546020820551643220672513 × C2391 早已经有人证明，费马数的因数必然是2^(n+2)*k+1 形，注:(n+2)是右上标。例如n=5时，4294967297=(128×5+1)×(128×52347+1)，其中128就是2的7次方。 素数的普遍公式 实际上几千年来,数学家们一直在寻找这样的一个公式,一个能求出所有质数的公式;但直到现在,谁也未能找到这样一个公式,而且谁也未能找到证据,说这样的公式就一定不存在;这样的公式存不存在,也就成了一个著名的数学难题.。 虽然费马数作为一个关于指数公式的尝试失败了,但有意思的是,1801年数学家高斯证明:如果费马数K为质数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形. 费马数猜想:大师的失误 1640年，在数论领域留下不可磨灭足迹的费马思考了一个问题:式子2^(2^n)+1 的值是否一定为素数。当 n取0、1、2、3、4时，这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537，费马发现这五个数都是素数。由此，费马提出一个猜想:形如2^(2^n)+1 的数一定为素数。在给朋友的一封信中，费马写道: “我已经发现形如2^(2^n)+1的数永远为素数。很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的。”费马同时坦白承认，他自己未能找到一个完全的证明。 费马所研究的2^(2^n)+1 这种具有美妙形式的数，后人称之为费马数，并用Fn 表示。费马当时的猜想相当于说:所有费马数都一定是素数。费马是正确的吗, 进一步验证费马的猜想并不容易。因为随着n的增大， Fn 迅速增大。比如对后人来说第一个需要检验的F5 ,4294967297已经是一个十位数了。非常可能的是，由于这一数太大，所以费马在得出自己的猜想时并没有对它进行验证。那么，它到底是否如同费马所相信的那样是一个素数呢, 1729年12月1日，哥德巴赫(哥德巴赫猜想的提出者)在写给欧拉的一封信中问道:“费马认为所有形如 2^(2^n)+1 的数都是素数，你知道这个问题吗,他说他没能作出证明。据我所知，也没有其他任何人对这个问题作出过证明。” 这个问题吸引了欧拉。 1732年，年仅25岁的欧拉在费马死后67年得出F5 , 641×6700417，其中641=5×27+1 这一结果意味着 是一个合数，因此费马的猜想是错的。 在对费马数的研究上，费马这位伟大的数论天才过分看重自己的直觉，轻率地做出了他一生唯一一次错误猜测。更为不幸的是，研究的进展表明费马不但是错的，而且非常可能是大错特错了。 此后人们对更多的费马数进行了研究。随着电子计算机的发展，计算机成为数学家研究费马数的有力工具。但即使如此，在所知的费马数中竟然没有再添加一个费马素数。迄今为止，费马素数除了被费马本人所证实的那五个外竟然没有再发现一个～因此人们开始猜想:在所有的费马数中，除了前五个是素数外，其他的都是合数。如果这一结论被证实，那么对于费马的草率猜想来说，恐怕不会。 费马合数都是可以用佩尔方程表示，费马素数不能用佩尔方程表示， 变形费马.3^2^n+2 变形费马数是改变了数值，采用同样性质的费马数，例如:3^2^n+2。 n=0时，3^2^0+2=5，素数; n=1时，3^2^1+2=11，素数; n=2时，3^2^2+2=83，素数; n=3时，3^2^3+2=6563，素数; n=4时，3^2^4+2=43046727=19×2265617。 是否有无穷多个变形费马素数,是否有无穷多个变形费马合数,还是一个未知问题。 1.费马 费马在古典数论领域中的成果很多，比如提出了不定方程无解证明的无穷递降法， 引入了费马数等等。 与费马相关的著名结论如下: 费马小定理:a^p-a?0(modp)，其中p是一个素数，a是正整数。 事实上它是欧拉定理的一个特殊情况，Euler定理是说:a^φ(n)-1?0(mod n),a，n都是正整数，φ(n)是Euler函数，表示和n互素的小于n的正整数的个数。 费马大定理(当时是猜想):n>2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz?0的整数解。这个是不定方程，它已经由美国数学家外尔斯证明了(1995年)，证明的过程相当艰深。 2.欧拉 引入欧拉函数， 得到著名的欧拉定理——费马小定理推广; 研究了连分数展开问题;用解析方法证明了素数无限;讨论平方和问题及哥德巴赫猜想——加性数论内容。 3.高斯 被誉为“数学王子”。解决了正多边形尺规作图问题， 将它和费马数联系起来。高斯的著作《算术研究》提出了同余理论， 讨论了平方剩余问题，发现了二次互反律。 高斯提出了著名的素数定理(当时是猜想)，研究了指标和估计问题——表示论的雏形。 素数定理 定理 定理描述素数素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x)?x/lnx其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近?，π(x)和x/ln x的比趋 近1(注:该结果为高斯所发现)。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对π(x)更好的估计: π(x)=Li(x)+O(x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近?。 其中 Li(x)=?(dt/lnx2,x)，而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。 下表比较了π(x)，x/ln x和Li(x): xπ(x)π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x)x/π(x) 佩尔方程 由费尔马提出，但后来欧拉误记为佩尔提出，并写入他的著作中。后人多称佩尔方程。沿续至今 设d是正整数，且d不含平方因子。 下面的不定方程称为佩尔(Pell)方程: x^2-dy^2=1 求正整数解(x,y). 这是初等数论中最经典的内容之一。 假设(x_0,y_0)是一个最小解， 那么所有的解可写为 x_n+y_n*(d)^0.5=(x_0+y_0*(d)^0.5)^(n+1) 佩尔方程与连分数，二次型，代数数域等等都有密切联系。 在一般的函数域上，我们也有类似的佩尔方程， 它和向量丛的稳定性有着微妙的关系。 以上的公式就是Pell方程的一般形态. 对于 当n为完全平方数时无解; 1. 首先构造一个系数矩阵,显然为了构造这个矩阵，我们需要先得到 下面方程的一个最小特解(x,y>0) 利用Euler的算法 1:p[?1] ? 1; p[?2] ? 0 2:q[?1] ? 0; q[?2] ? 1 3: a[0] ?sqrt(n) 4:g[?1] ? 0; h[?1] ? 1 5:fori=0??do { 6: g[i] ? ?g[i?1] + a[i]h[i?1] 7: h[i] ? (n?g[i]*g[i]) / h[i-1] 8: a[i+1] ? floor( (g[i]+a[0]) / h[i] 9: p[i] ? a[i]p[i?1] + p[i?2] 10: q[i] ? a[i]q[i?1] + q[i?2] if( p[i]*p[i]-n*q[i]*q[i]=1 ) return (p[i],q[i]); }假设我们得到了以上方程的最小特解: x0 y0 (x0,y0>0,并是最小的满足条件的 解) C++程序求解佩尔方程: