浙教版初中数学九年级上知识点及典型例题

浙教版初中数学九上知识点及典型例题 浙教版初中数学九年级上知识点及典型例题 第一章:反比例函数 1、反比例函数的概念 k一般地，形如y, (k为常数，k?0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是xx 的函数，k是比例系数. 注意:(1)常数 k 称为比例系数，k 是非零常数; (2)解析式有三种常见的表达形式: k-1 (A)y = (k ? 0)(B)xy = k(k ? 0)(C)y=kx(k?0) x 同步训练: 2m,21、已知函数y,(m，1)x是反比例函数，则m的值为 . 2、已知变量y与x-5成反比例，且当x=2时 y=9,写出y与x之间的函数解析式. 2、反比例函数的图像和性质 kk,0反比例函数(k?0)的图象是由两个分支组成的曲线。当时，图象在一、y,x k,0三象限:当时，图象在二、四象限。 k反比例函数(k?0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。 y,x k,0k,0 yy ()xy，11()xy，A11A ()xy，22()xy，22BBOOxxDC()xy，44()xy，33D()xy，()xy，C3344 每个象限每个象限当时，在内，当时，在内，k,0k,0 yxy减少增大随的增大而(随的增大而(x 3、反比例函数解析式的确定 ky,确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，x因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 4、反比例函数中反比例系数的几何意义 1 k过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩y,(k,0)x ky,x,xy形PMON的面积S=PMPN=。 。 ？y,,？xy,k,S,k,x 同步训练: k1(反比例函数的图象与正比例函数Y=3X的图象，交于点A(1，m)，则m,________，y,x 反比例函数的解析式为__________，这两个图象的另一个交点坐标是_________. ,2xy，xy，xy，2(已知()，()，()是反比例函数的图象上的三个点，并且y,112233x yyy,,,0xxx，，，则的大小关系是( ) 123123 xxx,,;xxx,,; (A) (B) 123312 xxx,,;xxx,,. (C) (D) 123132 5、比较正比例函数和反比例函数的性质 正比例函数 反比例函数 解析式 kykxk,,(0)yk,,(0) x 图像 直线 双曲线 k,0，一、三象限; k,0，一、三象限 位置 k,0，二、四象限 k,0，二、四象限 k,0，在每个象限y随x的增 k,0，y随x的增大而增大 大而减小 增减性 k,0，y随x的增大而减小 k,0，在每个象限y随x的增 大而增大 同步训练: ky,k(x,1)y,,1、已知关于x的函数和(k?0)，它们在同一坐标系内的图象大致是( ) x y y y y x x x x O O O O A B C D ky,kx，m(2,1)y,2、已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点. x 2 (1)分别求这两个函数的解析式. P(,1,,5)y,kx，m(2)试判断点关于x轴的对称点是否在一次函数的图象上. P' 第二章:二次函数 2a,0)y,ax，bx，c(a,b,c1、二次函数定义:一般地，如果是常数，，那么叫 y 做的二次函数. x 2、二次函数的解析式有三种形式: 2y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)(1)一般式: 2y,a(x,h)，k(a,h,k是常数，a,0)(2)顶点式: 22y,ax，bx，cax，bx，c,0(3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程 2xxax，bx，c,a(x,x)(x,x)有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次1212 2y,ax，bx，cy,a(x,x)(x,x)函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样12 表示。 2y,ax，bx，c3、二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴 y 的抛物线. 22，，y,ax，bx，cy,ax,h，k4、二次函数用配方法可化成:的形式，其中 2b4acb,hk. ,,，,2a4a 22y,axy,ax，k5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:?;?;? 222，，，，y,ax，bx，cy,ax,hy,ax,h，k;?;?. 6、抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ?的符号决定抛物线的开口方向: a 当时，开口向上; a,0 当时，开口向下; a,0 a相等，抛物线的开口大小、形状相同. ?平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线 yyx,h 3 . x,0 7、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开a口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8、求抛物线的顶点、对称轴的方法 222b4acbb4acb,,,,2 (1)公式法:，?顶点是，yaxbxcax(，),,，，,，，,,2a4a2a4a,, b对称轴是直线x,,. 2a 2，，y,ax,h，k (2)配方法:运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶 点为(,)，对称轴是直线. hkx,h (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线 的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 2a,b,cy,ax，bx，c9、抛物线中，的作用 2y,ax (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. aa 2y,ax，bx，c (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 ab bx,, 的对称轴是直线，故: 2a ?时，对称轴为轴; yb,0 b ?,0(即、同号)时，对称轴在轴左侧; ayba b,0 ?(即、异号)时，对称轴在轴右侧. ayba 2y,ax，bx，c (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. cy 2y,ax，bx，c 当时，，?抛物线与轴有且只有一个交点(0，): ycy,cx,0 ?，抛物线经过原点; ?,与轴交于正半轴;?,与轴交于负半轴. yyc,0c,0c,0 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 y b,0. a 4 10、几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 (0,0) (轴) yx,0y,ax 当时 a,02) (0, k(轴) yx,0y,ax，k 开口向上 2 (,0) hx,h，，y,ax,h 当时 a,0 2开口向下 (,) hkx,h，，y,ax,h，k b22x,, y,ax，bx，c b4acb,() ,，2a2a4a 11、用待定系数法求二次函数的解析式 2y,ax，bx，c (1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值，通 yx 常选择一般式. 2，，y,ax,h，k (2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴，通常选择 顶点式. xx (3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式: x12 ，，，，y,ax,xx,x . 12 12.、直线与抛物线的交点 2y,ax，bx，c (1)轴与抛物线得交点为(0, ). cy 2y,ax，bx，c (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点yx,h 2ah，bh，c(,). h (3)抛物线与轴的交点 x 2xxy,ax，bx，c 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元x12 2ax，bx，c,0二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一x 元二次方程的根的判别式判定: ?有两个交点抛物线与轴相交; x,,,,0 ?有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切; xx,,,,0 5 ?没有交点抛物线与轴相离. x,,,,0 (4)平行于轴的直线与抛物线的交点 x 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐 2ax，bx，c,k标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. k 2，，y,kx，nk,0，，y,ax，bx，ca,0 (5)一次函数的图像与二次函数的图像的lG y,kx，n交点，由方程组 的解的数目来确定:?方程组有两组不同的解时2y,ax，bx，c 与有两个交点; ?方程组只有一组解时与只有一个交点;?方程组无,lG,lG 解时与没有交点. ,lG 2y,ax，bx，c (6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为xx 2，，，，xxAx，0，Bx，0ax，bx，c,0，由于、是方程的两个根，故 1212 bcx，x,,x,x,,1212aa 22b4cb,4ac,,,22AB,x,x,x,x,x，x,4xx,,,,,，，，，,,12121212aaaa,, 同步训练: 2y,x，bx,31、已知函数的图像经过点(2，-3) (1)求这个函数解析式。 (2)求图像与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，并画出函数大致的图像。 (3)当x?2时，求y的取值范围。 2y,,ax，b(a,0)y,ax，bx2、已知函数的图像经过一、二、四象限，则函数的图像必不经过第 象限。 2y,ax，bx，cy,ax，c3、抛物线与直线在同一平面直角坐标系中的图像大致是( ) 6 第三章:圆的基本性质 (一)圆的定义 在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆(定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径(以点O为圆心的圆，记作“?O”，读作“圆O”( , , , (二)圆的有关概念 弦 直径 圆弧 半圆 劣弧 优弧 等圆 同心圆 (1)连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图BC(经过圆心的弦是直径，图中的AB。直径等于半径的2倍( (2)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(弧用符号“?”表示(小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以B、C为端点的劣弧记做“ ”;大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的 ( (3)半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆(例如，图中的?O1和?O2是等圆( 圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。 说明:圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长;反讨来，到圆心的距离等于半径长的点必定在圆上(即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。 例 在A地往北80m的B处有一幢房，西100m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有古建筑(因施工需要在A处进行一次爆破，为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内? (三)三点确定一个圆, 7 1:经过一个已知点A能作多少个圆? 结论:经过一个已知点A能作无数个圆! 2:经过两个已知点A,B能作多少个圆, 结论:经过两个已知点A,B能作无数个圆! 讨论1:把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形, 讨论2:这条直线的位置能确定吗,怎样画这条直线, 3:经过三个已知点A、B、C能作多少个圆, 讨论1:怎样找到这个圆的圆心, 讨论2:这个圆的圆心到点A、B、C的距离相等吗, 为什么,即OA=OB=OC 结论:不在同一直线上的三个点确定一个圆 (四)平面上点与圆的位置关系 一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就 有: dr P在圆外( (五)圆的有关概念 定义:经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个 三角形叫做圆的内接三角形. 举例、1:?O是?ABC的外接圆, ?ABC是?O的内接三角形,点O是?ABC的外心即外 接圆的圆心。 2:三角形的外心是?ABC三条边的垂直平分线的交点. 2:练一练 a:下列命题不正确的是 ( ) A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆. C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画圆. b:三角形的外心具有的性质是 ( ) A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等. C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内. 知识小结 8 1:不在同一直线上的三点确定一个圆。 ——你知道是怎样的三点吗, 2:画已知圆或圆弧的圆心是在圆或圆弧上先取三点,连成两条线段,再做两线段的垂直平分线, 则其交点即为所求的圆心。 ——你会画了吗, 3:三角形的外接圆，圆的内接三角形、外心的概念 ——你会辨别吗, (六)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧( 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧. 例 一条排水管的截面如图所示(排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC ( O C A B 1(已知?0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ( 2(如图，AB是?0的中直径，CD为弦，CD?AB于E，则下列结论中不一定成立的是( ) ? ? A(?COE=?DOE B(CE=DE C(OE=BE D(BD=BC 3(过?O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为( ) A(3 B(6cm C( cm D(9cm 9 4(如图，?O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是( ) C(3ad,bc(a、b、c、d都不为零) bd 重要方法: 1.判断四个数a、b、c、d是否成比例， 13 方法1:计算a:b和c:d的值是否相等; ac 方法2:计算ad和bc的值是否相等，(利用ad,bc推出 = ) bd abac2.“ = <=> = ”的比例式之间的变换是抓住实质ad,bc。 cdbd 3.记住一些常用的结论: ，b，d，cacacaa = => = ， = 。 bdbdbb，d 4.两条线段的长度的比叫做两条线段的比。 ac5.四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 = ，那么这四条bd线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 6.黄金分割:把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB•BC，叫做把线段AB黄金分割， C叫做线段AB的黄金分割点。 2. 相似三角形的判定: ?两角对应相等，两个三角形相似 ?两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ?三边对应成比例，两三角形相似 ?如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ?平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似 ?直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 3. 相似三角形的性质 ?相似三角形的对应角相等 ?相似三角形的对应边成比例 ?相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比 ?相似三角形周长的比等于相似比 ?相似三角形面积的比等于相似比的平方 5、相似多边形 14 1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.. 2、相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 6(位似图形的概念 如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心. 各对应点所在的直线都经过同一点的相似图形是位似图形。其相似比又叫做它们的位似比. 显然，位似图形是相似图形的特殊情形。 位似图形的性质: 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 同步训练: 1. (1)在比例尺是1:8000000的《中国行政区》地图上，量得A、B两城市的距离是7.5厘米，那么A、B两城市的实际距离是__________千米。 (2)小芳的身高是1.6m，在某一时刻，她的影子长2m，此刻测得某建筑物的影长是18米，则此建筑物的高是_________米。 2.已知三角形三条边之比为a:b:c=2:3:4，三角形的周长为18cm，求各边的长。 3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 ※ 学习小结 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 15 ※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 课后作业 一(选择题 a2a，b1.若，则的值等于( ) ,b3b 525 A 、 B、 C、 D、 5 352 k2. 已知点P(-2，3)在反比例函数y=上，则k的值等于 ( ) x A、6 B、-6 C、 5 D、1 23.抛物线y=2(x,1),3的对称轴是直线( ) A、 x=2 B、x=1 C、x=,1 D、x=,3 4(下面给出了相似的一些命题:( ) (1)菱形都相似 (2)等腰直角三角形都相似 (3)正方形都相似 (4)矩形都相似 (5)正六边形都相似 其中正确的有 A. 2 个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5、在行程问题中，路程s(千米)一定时，速度v(千米/时)关于时间t(小时)的函数关 系的大致图像是( ) v v v v t t t t A、 B、 C、 D、 6(下列四条线段不成比例的是( ) 8A. a=3,b=6,c=2,d=4 B. a=,b=8,c=5,d=15 3 32263 C. a=,b=2,c=3,d= D. a=1,b=,c=,d= 17、按如下方法，将?ABC的三边缩小的原来的，如图，任取一点O， 2 连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得?DEF，则下列说法正确的个数是( ) ? ?ABC与?DEF是位似图形 16 ??ABC与?DEF是相似图形 ??ABC与?DEF的周长比为1:2 ??ABC与?DEF的面积比为4:1 A、1 B、2 C、3 D、4 28、二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，对称轴x=1，下列结论中，正确的是( ) A、ac>0 B、b<0 2b-4ac<0 D、2a+b=0 C、 二、填空题 k,11、若反比例函数y=在第一，三象限，则k的取值范围是 __。 x 122、二次函数的顶点坐标是 。 y,(x，3),52 3、如图，在?ABC中，EF?BC，AE=2BE， 则?AEF与梯形BCFE的面积比为___________. 4. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚 (如图)，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 ___________ 三、解答题 1、如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD 的楼顶C的仰角为45?，楼底D的俯角为30?(求楼CD的高(结果保留根号)( kA(13)，ymxb,，Bn(1)，,2、如图，反比例函数的图象与一次函的图象交于，两y,x 点((1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)根据图象回答:当取何值时，反比例函x数的值大于一次函数的值( y A O x B 图(20) 3.某产品每件成本10元，在试销阶段每件产品的日销售价(元)与产品的日销售量(件)yx 17 之间的关系如下表: (元) 20 25 30 35 x (件) y30 25 20 15 (1)在草稿纸上描点，观察点的分布，确定与的函数关系式( yx (2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元,此时每日销售利润是多少元, ( 4. 如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒( (1) 求直线AB的解析式; (2) 当t为何值时，?APQ与?AOB相似, (3) 当t为何值时，?APQ的面积为24/5个平方单位, 18