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[鉴赏]弥补7[鉴赏]弥补7 11 例1(华东师大2003)设，讨论数列abaaaba>>===++0,0,,,2122n+22aann+1 的敛散性。{}an 5n?5 解显然，所以当时，有，又 2n32 aa+1111nn+-11 aaaa-=+--=-nnnn+++-2111222222aaaaaannnnnn+-+-1111 5轾， aaaa?+-nnnn+-11臌16 为方便，记，则有 baa=-nnn-1 5 bbb?， ()nnn++2116 从而 5(),bbb?32116 5(),bbb?43216 5 (),bb...

[鉴赏]弥补7 11 例1(华东师大2003)设，讨论数列abaaaba>>===++0,0,,,2122n+22aann+1 的敛散性。{}an 5n?5 解显然，所以当时，有，又 <2n32 aa+1111nn+-11 aaaa-=+--=-nnnn+++-2111222222aaaaaannnnnn+-+-1111 5轾， aaaa?+-nnnn+-11臌16 为方便，记，则有 baa=-nnn-1 5 bbb?， ()nnn++2116 从而 5(),bbb?32116 5(),bbb?43216 5 (),bbb?54316 LL 5(),bbb?21nnn++16各式相加，得 11bbbbbbbbbbb+++?+-?++L(2)(2)，34212121212nnnnn+++++22 55baaaa=-?<+=5b<5bbb+++L而，同理，于是有nnnnn+++111342n+n+222 ?ゥ? 上界，从而级数收敛，因此收敛，由此知收敛，bbaa=-()aa-å邋ånnnn2nn1++n3n1nn31==== {}a所以收敛。 n 1-+x骣1y2?çlimxe+ 例2 求极限。 ç2?x? ç?çy桫+y?0 1-+x骣11y-+xt222?çlimlimxexte+?+ 解令，则， t=()ç2?xx?ギ+ ç?çy桫y+t? y?0 22224xtu+=xtxtu++()-+xt22因为，由迫敛性定0()0()<+=<=xteu + uxtxt++eee 1-+x骣1y2?çlimxe+ 理，得=0 。 ç2?x? ç?çy桫+y?0 1? 例3 设在内可导，且任意，有。令，xfn=>fx()1<(),1fx()(0,1)xÎ(0,1)nn讨论数列的敛散性。 x{}n 解方法一因为 11xÎ(,)nnn+111111 ， xxfff-=-=-1x1<0 证明由于为区间上的正值连续函数，所以必有最大值，由fx()[,]ab Cauchy-Schwarz不等式， 2nn2骣bbbb+1骣++nnn212?ç22?ç?afxdxfxfxdxfxdxfxdxaa()()()()()gg==?ç?++nnn12?蝌蝌ç?ç桫aaaa?ç桫，禳镲aaan+1镲nn++12?于是有，即数列单调递增，再由睚镲aaan镲nn+1铪 bbb+1nnnfxdxfxfxdxMfxdx()()()()a蝌 +1naaa ， ==?Mbbbnnnanfxdxfxdxfxdx()()()蝌 aaa 禳禳镲镲aan+1n+1镲镲知有上界，由单调有界定理，知收敛。睚睚镲镲aann镲镲铪铪 0,1 例8(武汉大学04) 设函数fx()在上连续，在(0,1)可导，且ff(1)2(0)=，[] ?(1)()()xxx+=ffxÎ(0,1)求证存在，使得。 1??? 证明分析由，即，的系数为1，(1)()()xxx+=fff()xff()()0xx-=x+1 11-+ln(1)xFxefxfx==()()()前面乘，于是应该构造函数。-f()xx+1x+1 1Fxfx()()= 令，则在上连续，在可导，且，0,1Fx()(0,1)FFf(0)(1)(0)==[]x+1 ??由Rolle中值定理,存在，使得，从而有。F()0x=(1)()()xxx+=ffxÎ(0,1) 例9 已知随机变量X的分布函数为 ì0,1x<ïïïï1ï,12?xïï6ïïï1ïï,23?xï4ïïFx()= ， íï1ï,34?xïï3ïïï1ïï,45?xï2ïïï1,5x?ïïî X求的分布律。 X 解分6段，有5个跳跃间断点，其余均为水平曲线，因此为离散型随机变量，Fx() 其取值为的间断点，即，取值的概率为在该点的右极限减去左极Fx()X=1,2,3,4,5Fx()限，从而骣12345?ç?ç?ç 。 X~?11111ç?ç?ç?桫6121262 例10 设某商场一天内前来的顾客数，而每个顾客购物的概率为，X~()plpÎ(0,1) Y求一天内购物的顾客数的分布律。解 Ykk==L,0,1,2,，有ゥ PYkPXiYkPYkXiPXi()(,)(|)()========邋ikik== iiゥlli!llkkikkik---- =-=-Cppeepp(1)(1)邋i-ikiki!!()!!==ikik ik-kkk?l(1)-p[]()()()lllppp----llll(1)pp ，===eeeegåkikkk!()!!!-ik= 即。 Yp~)pl( 例11 设为连续型随机变量取值的集合上的正值递增函数，且存在，XEgX()gx()[] e>0求证对于任意，有 EgX()[] 。 PX()> eg()e 证明设X的密度函数为，考虑到的正值递增性，则有 fx()gx() +?? gx()1 >=?egPXfxdxfxdxgxfxdx()1()()()()蝌 eeeeegg()() + EgX()[]1 。 ?gxfxdx()()ò- gg()()ee 2?XNhPX~(,),()()mssms=-< 例12 设，求。 h()s 解由于骣X-m?ç hPXP()()1(1)(1)sms=-<=<=F-F-?ç?ç?s桫 ?为不依赖于的常数，于是。 h()0s=s k-1 例13 设独立同分布，，求随机XY,PXkppkp()(1),1,2,,(0,1)==-= L变量的分布律。 x=max(,)XY p 解由于均服从参数为的几何分布，于是 XY, ii1(1)--p-1kiL，PXiPYippppi()()(1)1(1),1,2,??-==--=å1(1)--p=1k 从而 PiPXYiPXYiPXYi()(max(,))(max(,))(max(,)1)x====?? =PXiYiPXiYiPXiPYiPXiPYi(,)(1,1)()()(1)(1),-??=,-?? 22ii-1轾轾。 1(1)1(1),1,2,ppi=-----=L犏犏臌臌例14 设连续型独立同分布，求。XXX,,,LPXXXX(max(,,,))>Lrv..12nnn121- 解由于独立同分布，于是，任何一个随机变量取最大值的概率是相等XXX,,,L12n 的，而即中取最大值的概率，由等可能PXXXX(max(,,,))>LXXX,,,LXnn121-12nn 1性，得PXXXX>=L。 (max(,,,))nn121-n 例15 将一枚均匀硬币连续掷次，以分别表示正面和反面的次数，求的nXY,XY,相关系数。 rXY, 11 解方法一由条件知，，于是XYnXbnYbn+=,~(,),~(,)22 nnDXDYCovXYCovXnXCovXX()(),(,)(,)(,)===-=-=-，44 所以 CovXY(,)r==-1 。 XY,DXDY()()g XYn+=YXn=-+r=-1 方法二由于，即具有线性关系，于是。XY,XY, 例16 设随机变量，求。 XFnn~(,)PX(1)< 1~(,)Fnn 解方法一因为，所以，从而 XFnn~(,)X 1PXPPX(1)(1)(1)<=<=> ， X 考虑到 PXPX(1)(1)1<+>=， 1PX(1)<=于是。 2 x2 方法二因为，设，其中独立且均服从，于是X=XFnn~(,)hx,c()nh 对称x1 。 PXPP(1)(1)()<=<=<=xhh2 2 例17 设为来自总体的简单随机样本，为来自总XXX,,,LYYY,,,LN(,)ms12n12m12体的简单随机样本，两个总体相互独立，设为任意两个不为零的常数，求证N(,)mscd,2 cXdY()()-+-mm12 ， Ttmn=+-~(2)22cds+wnm 22(1)(1)nsms-+-xy222其中s=，分别为两个样本的均值，ss,分别为两个样本的XY,wxymn+-2 样本方差。证明由条件知 2222cdsscXNdYN()~(0,),()~(0,)--mm ， 12nm 22(1)ms-(1)ns-y22x ， ~(1),~(1)ccnm--22ss 22ss,由两总体的独立性及总体的正态性，知，相互独立，于是有 XY,xy 2222骣cdss?ç?cXdYN()()~0,-+-+mm ， ç12?ç?çnm桫 22(1)ms-(1)ns-y2x ， ++-~(2)cmn22ss 由定义 2222cdss轾cXdY()()/-+-+mm12臌cXdY()()-+-mmnm12。Ttmn~(2)==+-222cdmns(2)+-wsmn/(2)++-w2nms (,)XY 例18 设二维随机变量的密度函数为 ì3,01,0xxyx<<<<ïï ， fxy(,)=íï0，其他ïî 求的密度函数。 ZXY=- 解，于是 FzPZzfxydxdy()()(，)=?Z蝌- xyz <0(1) 当时，; Fz()0=zZ 01,z(2) 当时， 3xz-13z轾，FzPXYzPXYzxdydxz()()1()13=-?-->=-=-犏Z蝌z0犏22臌 z>1 (3) 当时， Fz()1=Z 于是 ì0,0z<ïïï3ï3zzïïFzz(),01=-, ， íZï22ïïï1,1z>ïïî ZXY=-因此的密度函数为 ì33ï2ï-zz,01,ïfz()= 。 22íZïï0,其它ïî 例19 设二维随机变量的密度函数为 (,)XY --xyìïexy,0,0吵ïfxy(,)= ， íï0,其它ïî ZXY=-求随机变量的密度函数。 FzPZzfxydxdy()()(,)=? 解， Z蝌- xyz z<0Fz()0=(1) 当时，; Z z?0(2) 当时， zxzxz++?------xyxyxy-zFzedxdydxedydxedy()==+1-e=，Z蝌蝌蝌00zxz-xyz- 0x? 0y? 于是 -zìï1,0- ezï ， Fz()=íZï0,0z<ïî 从而 -zìïez,0?ï 。 fz()=íZï0,0z<ïî 例20 设独立，均服从上的均匀分布，求的密度函数。0,1ZXY=-XY,[] 解， FzPZzfxydxdy()()(,)=?Z蝌- xyz z?0(1) 当时，; Fz()0=Z z?1(2) 当时，; Fz()1=Z 01<1当时，; Fz()1=x 01,z当时， 3，FzPXYzPXzYzxydxdyz()(max(,))(,)()=?,=+=x蝌xz,0 yz,0 于是的分布函数为 x ì0,0z<ïïï3ïFzzz(),01=, ， íxïï1,1z>ïïî 从而得的密度函数 x 2ìï3,01zz,ï 。 fz()=íxï0,其它ïî (2) FzPzPXYz()()(min(,))=? h，于是 h z<0 当时，Fz()0=; h z>1Fz()1= 当时，; h 01,z 当时， FzPXYzPXYzPXzYz()(min(,))1(min(,))1(,)=?->=->> h 23=-+=+-1()xydxdyzzz ，蝌zx,1 zy,1 h于是的分布函数为 ì0,0z<ïïï23ïFzzzzz(),01=+-, ， íhïï1,1z>ïïî h从而得的密度函数 2ìï123,01+-zzz,ïfz()= 。 íhï0,其它ïî ??? vn>=L0,1,2, 例22 设与均收敛，且讨论的敛散()uu-vuvååånnnnnn1+n1n1n1=== 性。 ?? limuaR= 解因为收敛，所以数列收敛，设，，u()uu-Sv={}nåånninn1+ ni1n1== A>0则存在，使得任意，有，于是对任意，有 uA0X 方法一因为为连续型随机变量且fx()为偶函数，所以存在常数，使得 0()1,()0<<<-<<>PXcPcXc，从而 22，PXcXcPXccXcPcXcPXcPXc(,)(,)()()()<<=<-<<=-<

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