多元偏态ttype型分布性质研究及矩阵正态性的刻划道

多元偏态ttype型分布性质研究及矩阵正态性的刻划道 东南大学 硕士学位论文多元偏态t-type型分布性质研究及矩阵正态性的刻划 姓名:储慧琴 申请学位级别:硕士 专业:概率统计 指导教师:朱道元 20081208 摘要 本文讨论了偏态分布及矩阵论的某些专题，在两个部分中分别进行讨论( 在第一部分中，我们提出了一种多元偏态,—,,,,分布并对其性质进行了研究(首先，我们定义了偏态,,,,—,,,,分布，它以偏态正态分布为特例(偏态,,,,—,,,,分布是通过,,,,—,,,,分布的密度函数建立起来的，它增加了一个参数以控制偏度(一些概率属性在文中得到了讨论(其次，我们利用偏态,,,,—,,,,分布通过随机示的方法定义了多元偏态,—,,,,分布。最后，我们对多元偏态,—,,,,分布的特例进行了研究，讨论了它的等价表示，线性变换及封闭性( 在第二部分中，我们研究了椭球等高分布的一种，它是正态分布的推广(本文在假定样本模型误差服从向量椭球等高分布情况下，进一步完善样本来自正态分布的等价性刻划(关键词:,,,,(,,,,分布;多元,—,,,,分布;偏态正态分布;偏态,,,,—,,,,分布;二次型;随机表示;多元偏态,—,,,,分布;向量椭球等高分布;特征函数;多元,一函数 ,,,,,,;, ,,,, ,,,,, ;,,,,,,, ,, ,,, ,,,,,,;, ,,,,, ;,,;,,,,,, ,,,, ,,,;,,, ,,,,,, ,, ,,,, ,,,,,,(,,,,,, ,,, ,,,,,, ,,,,,,( ，, ,,,, ,,,，, ,,, ,,,,, ,, ,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,, ,,,,,,,,, ,,,, ,,(,,,,,(,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,, ,,,,,,,,，,,,;, ;,,,,,,, ,,, ,,,,(,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,, , ,,,,;,,, ;,,,(,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,, ;,,,,,,;,,, ,, ,,, ,,,,,,, ,,,;,,,, ,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, ,, ,,,,, ,,,,,,,,, ,, ,,,,,,,, ,,,,,,,,(,,,, ,,,,,,,,,,,,; ,,,,,,,, ,,,,,,;,,,,,(,,;,,,，,, ,,, ,,,, ,,,,—,,,, ,,,,,,,,,,,, ,, ,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,, ,,,,,, ,,,,,,(,,,,,, ,,,,,,, ,,,;,,,,,; ,,,,,,,,,,,,,,,(,,,,,,,，, ,,,;,,, ;,,, ,, ,,,,,,,,,,,, ,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,, ,,,,,,,(,,,, ,,,, ,,,,,,,,,, ,, ,,, ,,,,;,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,, ,？,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,，;,,,,,,，,,,,,, ,,,,,,,,, ,,, ;,,,,,,,,,( ，, ,,,, ,,,，,,, ,, ,,, ,,,,,,,;,, ;,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, ,, ,,,,,,,,,(,,,;, ,, , ,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,(,,, ,,,,, ,,,,,,,, ,,,, ,？,,, ,,,;,,,,,,,, ,,,, ,,, ,,,,,,, ,,,,,,,,,, ,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,，,, ,,, ,,,,, ,, ,,, ,, ,,,, ,,,,,,, ,,,,,, ,,,, ,,, ,,;,,,,,,,,,,;,, ;,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,(,,,,,,,,:,,,,—,,,, ,,,,,,,,,,,,;,,,,,, ,,,,,,,,,,,,;,,,,(,,,,,, ,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,?,,,, ,,,,,,,,,,,,;？,,,,,,,; ,,,,,;,,,;,,,,,; ,,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,;,,;,,, ,,,,,,,;,, ;,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,;;,,,,;,,, ,,,;,,,,;,,,,,,,,,,;,,,, ,, 东南大学学位论文 独创性及使用授权的说明一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文足我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果(尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证而使用过的材料(与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意( 签名獬嗍平„莎二、关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文(本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致(除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布(包括刊登)论文的全部或部分内容(论文的公布(包括刊登)授权东南大学研究生院办理( 日期珥世 第一章绪论 ?,(,背景和现状 参数族的发展及其性质的研究一直以来都是统计学的一个重要主题(在过去的二十年中，在这个领域出现了一个新的生机勃勃的分支，大量的成果随之出现(这个分支的坚实根基与所谓的偏态正态分布关系密切，而偏态正态分布以正态分布为特例(在过去的统计学研究中，通常假定数据服从正态分布或具有独立性，而这些标准的假设往往是不现实的(在经济学，海洋学，气象学，环境科学，图象处理，天文学以及生物医学等学科中，常常发现数据的分布呈现出一些偏态性，这时对称性就得不到满足，故一种新的非对称分布呼之欲出(在这样的背景下，,,,,,,,,于,,,,年提出了偏态正态分布【,，,】。偏态正态分布可以以正态分布生成，前者只是在后者的基础上加入了一个参数来控制偏度(这样，偏态正态分布既具有高度的适应性同时还具有数学计算的便利性和与正态分布相关的一些性质，如:偏态正态分布是单峰的，它的支撑是全空间，且它的二次型服从卡方分布(随后，,,,,,,,,和,,,, ,,,,,(,,,,)提出了偏态正态分布的多元形式【,】,记随机向量玩×,—,,,(,知×,，,，,)，其分布密度为 ,矽,(,;,)圣(,,,)， ,?,七， (,(,)其中，九(,;,)为均值为,，方差为,的,维正态分布,,(,，,)的密度函数，圣(()是一元标准正态分布,(,，,)的累积分布函数，,?贴称为形状参数或偏态参数(,,,,年后，,,,,,,,,等人又发展出了一些偏态正态分布的性质『,(,,〕(以上关于偏态正态分布的研究带动了其他工作的发展(,,,,年，,,,,,,等利用偏态正态分布去拟合一些实际数据【,,】，得到了较好的结果(,,,,，,,,(,,,,)以尺度偏态正态分布为基础在广义线性模型中为二项分布随机变量定义了一个偏态联结函数【,,〕(,,,,,,,,(,,,,)提出了一种封闭偏态正 态分布，这种分布保持条件分布的独立性【,,】(,,,,,,,, ,,,,,,,,,与,,,,,,,,,,(,,,,)以正态分布为核生成偏态正态(拉普拉斯分布，偏态正态(,分布，偏态正态(,,,,,,,;分布，扩展了偏态正态分布【,,，,,】( 我们知道，正态分布属于椭球等高分布族(在一些随机现象中，随机向量的分布呈现出比正态更重的尾部分布，这就需要定义一种更具适应性的分布族来满足这一需要(,,,,;,(,,,,)用偏态正态分布的构造方法定义了偏态椭球分布【,,】，在实际应用中，很多回归问题都可以用这种方式来建模(随后，,,,,,,(,,,,)在理论上又对偏态椭球分布做了推广【,,】，他定义了偏态(对称分布: ,(,),,,(,—,)?,,(,,,)， (,(,)第一章绪论 ,这里，，是,,,,，的对称分布的密度函数，,,是,,,【,，,】的偏态函数，满足不(一,),,一不(写)(此前定义的很多偏态分布都是这种偏态(对称分布的特例，只要选取合适的，和不即可(如:偏态正态分布，偏态柯西分布，偏态,分布等【,,,,,〕( ?,(, 本文的主要工作 —,,,,分布(首先，我们定本文提出了一种新的偏态分布，称之为多元偏态, 义了两种偏态,,,,—,,,,分布(类型，，类型，，)(类型，定义为,,,,—,,,,分布在线性约束下的分布，我们给出了它的密度函数，证明了其边缘分布的封闭性(类型，，是直接从密度函数来定义的:厶(,,,，,，,，,，,;,)?剑病郏耍颍铮ǎ ぃ梗玻耍裕摹玻ǎ兀裕ǎ 宦 保 饫铮茫耍颍铮ǎ 眩 危 恚 穑?拿芏群 鳍簦颍模ǎ ?且晃 耄铮?牵 耍裕模耄ǎ穑 簦 簦 穑逅婊 淞浚 耍裕模欤ǎ铮 保 危 恚 穑?睦刍 植己 颐歉 隽死嘈停桑傻囊恍?灾剩 比〔问 剑笔保 嘈停桑墒抢嘈停傻奶乩 螅 颐怯盟婊 硎镜姆椒ǘㄒ辶硕嘣 簟 簦 穑宸植迹浩 耄铮簦 簦 穑澹ɡ嘈停桑桑?婊 蛄亢陀肫涠懒?墓阋迥妫蛩婊 淞康目 降某嘶 问剑 颐歉 隽硕嘣 簟 簦 穑宸植嫉拿芏群 湫问接肫 植嫉拿芏群 墓乖煨问嚼嗨疲 说玫礁 玫男灾剩 颐橇钇渲胁问 危剑保 恚剑 穑剑保 芯苛硕嘣 簟 簦 穑宸植嫉奶乩 颐歉 隽颂乩 植嫉男碌墓乖旆椒ǎ 认咝员浠弧?咝宰楹稀?咴捣植嫉姆獗招约岸 涡偷拿芏群 燃郾硎荆?第二部分中就实际问题出发，我们提出了模型误差服从椭球等高分布，椭球等高等高分布族有许多类似于多元正态的优美性质(这种分布族包含多种多元分布，诸如多元正态分布;多元,分布;多元柯西分布;多元拉普拉斯分布;多元稳定律和多元均匀分布等(因此进一步挖掘椭球等高矩阵分布与矩阵正态分布之间的关系，将多元分析的方法拓展到椭球等高分布族中去，在更宽泛的空间中加以研究(从而尽可能降低实际问题需要的条件(可以更好的指导实践(最后，提出了一种新的分布，即广义非中心拟,,分布，并类似定义了广义非中心拟,,,,分布，分别给出了它们的分布密度函数，还给出了广义非中心拟,,,,分布的特征函数，以及逆拟,分布的分布密度函数(最后将广义非中,,,拟,,,,分布推广到广义非中心拟,,,,;,,,,分布(为一些检验奠定了基础 第二章预备知识 ?,(,密度生成函数 设,维随机向量讳×,服从参数为,,,,，,,×,,,的椭球等高分布，记为,。,,((,，,;,扫))，它的分布密度函数(,,,)为: ，(, ,弘，,;,,?),,,一尹?((,一弘), ,一,(,—,))，,?,, (,(,) 夕(,)(札),:丐,了苫‰?,(乱;,)，, ,。其中，,,)(?)是一个,，到,，的非增函数，且满足 ,砂 ？?,(,;,) ,?,(札;,)表示,，到,，，且使得积分旷,?一,,(,;,),,存在的非增函数，通常我们称,(札;,)为,维随机向量坼×,的密度生成函数(,,,,劬,,,,,,,,,)(见〔,,,,,,，(,(,(,,)式，,,,，(,(,(,,)式)( 例,(,(, 多元正态分布令 ,;力,,,,(一兰)，则 , ,(,)(,正) 詈一涩尸 ，,, ,肛，,;夕(,), , , 一 一 , — ,?,,( , , 一一不,陬一,不一谔， 一旦 注释,(,(,密度生成函数,(札;,)中，,,,表示,维随机向量,,,生成的二次型，即“,(,一卢)?,,,(,—,)，这里，,只是一个中间变量( 例,(,(, ,,,,—,,,,分布令 ,(,;,),,,,,,, ,,,(,,,,)， ,第二章预备知识 ,则 ,(,) ,(,)(,), , ?,(,;,) ,,, ,詈一,,(,;,),, ,(,) ‖(, ,,,(,,,,) 不暑?铲,暑一,，?一?,,,(一,,,),, 壁:～塑竺垒:二,,， ?,?,,,,(一,札, ?,(易，等)? ，(,, ,,,，,属,(,?), 壁:～塑竺墨二二,,, 不 , 【(,—,), ,一,(,—,)】?一, ，,，—,, 不?,(芳，等)? ,,,,一,【(,—,), ,一,(,—,)】,)， ,??, ?,(, 椭球等高分布的有关性质 引理,(,(,倔【,,〕,,,,)设,,,一,,(肛，,;,(,))， ,,×,为常数矩阵，则 ,,—,,,(舡，,,冗,;,„”)( 设,×,一,,(,，,;,扣))，将,，,，,分块为 ,,(羔)一,;,,((::)，,,(,::曼: ,)其中，,,:,,×,， 拖:,,×,，,,,,，,,,( 引理,(,(,倔,,圳设讳×,一,？(,，,;夕,))，分块同上，则边缘分布 ,,一,;『,。(,,，,,,;雪?,?) ，拖一,,(阮,,,;蚕(,,?)，即,,的分布密度为 ，(,?,,,，,,,;蚕?,?),,,,,〔一(,,?,(,,?((? 币桓兀保 贰 玻保保ǎ 币唬穑保 ?盟 不, :，,,,，—,, ,?警一,夕(,?,，(,,—,,), ,寸,,—,,)),, ,(譬) (,(,)托的分布密度为 ，(,,，,,，,,,;齑„,,?),，,,,，一,雪„,,?(,,,,,), ,,,(,,一,,)) , 厂,。,等一,,五(,，(,,一肛,)，,丢(,,,,,)),, ,, , ,，,,,，一, , ,, (,(,)第二章预备知识 ,其中，互,,)与雪(,,)同,(,式( 引理,(,(,设昂×,一,？(，(,，,;,(,))，分块同上(则条件分布 ,,。(肌,，,,。;夕嬲)) (,(,)这里 , , ,,(, ,,，,,,,暑(,,一肛,)， ， ,,。 ,,,一,,,,暑,,,， , 口(,,) (,,一,,), ,丢(,,一,,)， (,(,) ，出,)(仳) ,,(?;,,)为,,维密度生成函数(见,(,式)( 证明:由,,,〕,,,，推论,可知，条件分布,, ， ,,,,,仍然足椭球等高分布，参数为,,(,和,,,,,，所以我们只需证明(,(,)式中最后一个等式(由引理,(,(,知，拖的边缘分布为,,(,,，,,,;雪?。))，所以 ，(,,，,,,,，,，夕,?) ，(,,，,,,,,) ,(,,〕,,，,,,;季溉)) ，,，一,夕(,)((,—,),,一,(,一肛)) (,(,) ,,,,,一,雪白,)((,,一肛,)，,丢(,,一肛,))其中，雪(,,)同,(,式(又因为 ,一,: , (一,薹乏,矗, ,署，:??妻妻:喜妻。。,暑)垒(,,::,,兰) , ,、一,丢,,,,,矗, ,署，,,爿,,,,矗,„,,,,暑,,,,， ,, ,， ,,,(,，?，,,,，所以 ,,,)(,,,,,:) ,,, ;,—,，,,一, ;,—,，,(,,,,,， ,,—,,, , (,,—,,(,),,矗,(,,—,,,(,)，(,,一,,),,爿(,,一,,)第二章预备知识 ,代入(,(,)式，得 他“耻蚴,堕繁游,鬻旨掣 ,(等), 一旷,”叫… :，,,,(,,一,掣 ,,”, ,(,)(,,,,,) ,蛩一,,(,)(,(，,),, ,(,，,;,,) (,(,) ,謦一,,(,?，,;,,),,其中，,„,(,:,一,,(,),,矗,(,,—,,,(,)， ,,(,,一,,),,丢(,,一,,)(所以 ,(,，,;,,) ,謦一,,(,，,;,,),,。? 第三章两种偏态,,,,—,,,,分布?,(, ,,,,—,,,,随机向量在线性约束线性变换下的分布(偏态,,,,—,,,, ，型) ,,,,—,,,,分布的定义 定义,(,(,倔胆刚若随机向量,,×,有如下分布密度: ,,(,,，,，,，,，,),口?【(,—,),,一,(,—,)】 ,一,【(,—,),,一,(,—,)】口)( (,(,) 忙焉(,?一, ,,, „,, ,蚓,，其中， 不言,(刍，学)?一?,(?)是,,,,,函数，,,,，,,,，,,譬是一维参数(则称,服从,,,,—,,,,分布(,,,分布)，记为,—,,,,(,，,，,，,，,)( 注释,(,(,当,,,，,,;，,,,时，,服从正态分布( 当,,,，,,,时，,服从多元幂指数分布( 若—,,,,(,，,，,，,，,)，记,,,,(,,，,，,,，,，,，, ,)为,的密度函数，西,丁,(引,，,，,，,，,)为,的累积分布函数(特别地，记圣,,,(,)为一维,,,,—,,,,随机变量,—,,,,(,，,，,，”。，,)的累积分布函数( 定义,(,(,若随机向量,—,,,,(,，,，,，,，,)，并满足以下的线性约束条件: ,,，,?, (,(,)这里,是一个给定的,×,(,耋,)的矩阵，,是一个,维向量(对,，肛进行分块,,,(,,，,,)，,,,(肛:，,?)，,,,(,，砭)(其中，,，砼的维数分别为,, ,,(,,，肛,的维数分别为,,，,,，,,是七×,,的，,,是, , ,,的，且满足,,是行满秩的(则,(,式等价于 ,,,，,,碱，,?, (,(,)假设,和碱具有不同的维数，即,,?,,，设岛是,?, , ,,,的满秩矩阵，我们称岛碱的分布为,,,,—,,,,随机向量在线性约束线性变换下的分布，简称为偏态,,,,—,,,, ，型分布，记为, ,蚝,,,,,(,，,，,，,，,，,，,，,) (,(,) ,第三章两种偏态,,,,—,,,,分布 ,对,—,,,,(,，,，,，,，,)，我们来考虑仍虼的分布，这里,仅仅是产生蚝的偏度的辅助向量(定义: ,;,,(兄,，,圣,),,(,,—,,三,,一舭)(由引理,(,(,可得，: ,(,一肛)一,,,,(,，,,,,，,，,，,) (。(,;,,,,,,(,,,—,,,,，,,,,,，,，,，,)下面给出,碱的密度函数 定理,(,(,在上述的分块形式下，给定一个,, , ,,的满秩矩阵,，在约束条件,(,下，,,,,场的密度函数是: ,(,),酝,,,,,石(,,,,,,瓦,，,丽,,,丽,,,丽,，,丽，,，,,) ?,(,,—,，(,，—,,,,丢,,)一(,,，,,,,,,署)何,,,,，,,，谬?) (,(,)这里,是,的行数， ,,,,，(,,,—,,,咖,,),,,， 轷),,藩，叫。舯嘉(呀,州:)(证 明:在约束条件,(,下，,与蚝的联合分布密度为: ,,,,(,,，,, ,,，,，,，,，,) 厶(耖,，,,) ,(,,—,,耋一,—,“) ,,,,(,,，,,,,，,，,，,，,) 中,,,(一,—,,,,，,,,,，,，,，,)对,积分，我们得到在约束条件,(,下蚝的密度函数为:，;(,,) „, ,,,,(,,，,,,,，,，,，,，,),,, (，只,,?,,,,碱一, 厂 ,,,,(,,，,,,,，,,,，,，,) .