三角形的中心及其性质性质

三角形的中心及其性质性质 KS3-MS9-3-f2 /p.1 of 15 三角形的中心及其性質 學習階段 , 三 學習範疇 , 度量、圖形與空間範疇 學習單位 , 以演繹法學習幾何 基本能力 , KS3-MS9-3 識別三角形的中線、垂直平分線、高線及角平分線 簡介, 1. 教師派發「三角形的中心及其性質」工作紙。 2. 學生利用Java檔案 “ABC2.html”及“Centres.html”去完成工作 紙。 ,此檔案需與其他所有檔案放於同一folder內才可執行,電腦亦 需安裝了Java軟體。, 3. 學生利用檔案 “ABC2.html”,在Java的互動幾何的環境中,透 過特別設計的工具簡便地分別作出三角形的中線、角平分線、高 線及垂直平分線,從而認識這些線的共點性質。 4. 學生再利用檔案 “Centres.html”,透過拖拉頂點到不同的位置, 認識形心將以2,1這個比將各中線分成兩份。 5. 學生再使用「圓」工具::及特別設計的 工具,在各個 中心點嘗試構作外接圓及內切圓,從而認識外心和內心分別是外 接圓及內切圓的中心。 KS3-MS9-3-f2 /p.2 of 15 學習單位,以演繹法學習幾何– 「三角形的中心及其性質」工作紙 三角形的中心及其性質 開啟檔案“ABC2.html”,可看到以下畫面: 畫面顯示的ABC,它的三個頂點A、B、C可被隨意拖拉到不同的位置。 題一:三角形的三條中線 1. 點選「中線」工具::,再依次點選A、B、C三點, 構作中線AD:圖1:。 2. 再依次點選B、C、A及C、A、B,構作中線BE及CF。 圖1 3. 拖拉三個頂點A、B、C,觀察三條中線的變化,回答以下問題: (a) 三條中線是否相交於同一點, 是 否 (b) 若三條中線相交於同一點,這交點是否一定會在三角形 之內, 是 否 (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外, KS3-MS9-3-f2 /p.3 of 15 題二:三角形的三條角平分線 1. 點選「重新整理」按鈕::。 2. 點選「角平分線」工具::,再依次點選A、B、C 三點,構作角平分線AD:圖2:。 3. 再依次點選B、C、A及C、A、B,構作角平分線BE 圖2 及CF。 4. 拖拉三個頂點A、B、C,觀察三條角平分線的變化,回答以下問題: (a) 三條角平分線是否相交於同一點, 是 否 (b) 若三條角平分線相交於同一點,這交點是否一定會在 三角形之內, 是 否 (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外, 題三:三角形的三條高線 1. 點選「重新整理」按鈕::。 2. 點選「高線」工具::,再依次點選A、B、C三點, 構作高線AD:圖3:。 3. 再依次點選B、C、A及C、A、B,構作角高線BE及 圖3 CF。 4. 拖拉三個頂點A、B、C,觀察三條高線的變化,回答以下問題: (a) 三條高線是否相交於同一點, 是 否 (b) 若三條高線相交於同一點,這交點是否一定會在三角形 之內, 是 否 (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外, KS3-MS9-3-f2 /p.4 of 15 題四:三角形的三條垂直平分線 1. 點選「重新整理」按鈕::。 2. 點選「垂直平分線」工具::,再點選線段BC, 構作它的垂直平分線:圖4:。 3. 再依次點選線段CA及AB,構作它們的垂直平分線。 圖4 4. 拖拉三個頂點A、B、C,觀察三條垂直平分的變化,回答以下問題: (a) 三條垂直平分線是否相交於同一點, 是 否 (b) 若三條垂直平分線相交於同一點,這交點是否一定會在 三角形之內, 是 否 (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外, 題五:三角形的中心及其性質 從題一至題四,我們發現三角形的三條中線、三條角平分線、三條高線及三條垂直平分線都分別相於一點,這些交點都稱為三角形的中心。 開啟檔案“Centres.html”,可看到以下畫面: 畫面顯示四個全等的ABC,拖拉任何一點紅色點可一起改變四個三個形的形狀,拖拉 KS3-MS9-3-f2 /p.5 of 15 綠點可改變三角形的位置。 KS3-MS9-3-f2 /p.6 of 15 1. 分別點選「形心」、「內心」、「垂心」及「外心」鈕,可看到三角形的四個中心如下: 形心:三角形的三條中線的交點G; 內心:三角形的三條角平分線的交點I; 垂心:三角形的三條高線的交點H; 外心:三角形的三條垂直平分線的交點O。 2. 圖中,三角形的形心、內心及垂心分別將各中線、角平分線及高線分成兩份。 點選「長度及比」鈕,顯示各線段的長度及它們之間的比。 拖拉紅色點改變三角形的形狀。觀察各線段的長度及它們之間的比的變化。 那一個中心點會以一個固定的比將每條線分成兩份,在以下空位寫下你的發現,並 將相關的圖畫出。 三角形的 心會以 : 這個比將每條 線分成兩份, 即A : = B : = C : = : 。 KS3-MS9-3-f2 /p.7 of 15 3. 再點選「長度及比」鈕,隱藏各線段的長度及它們之間的比。 點選「圓」工具::,再分別點選三角形的形心G點 及A點,畫一個以G為圓心、通過A的圓,如圖所示。 這個圓是否也通過B及C, 是 否 一個通過三角形三個頂點的圓稱為三角形的外接圓。 用「圓」工具,分別以內心、垂心及外心為圓心,畫一個通過A的圓。拖拉紅點改 變三形的形狀,觀察圓形的變化。 以那一點為圓心,可以畫出ABC的外接圓, 形心 內心 垂心 外心 4. 點選「重新整理」按鈕::。 分別點選「形心」、「內心」、「垂心」及「外心」鈕,顯示三角形的四個中心。 點選 工具,再分別點選三角形的形心G點及線段AB, 畫一個以G為圓心、與AB只相交於一點的圓,如圖所示。 這個圓是否也與BC及CA只相交於一點, 是 否 一個與三角形三條邊只相交於一點的圓稱為三角形的內切圓。 用 工具,分別以內心、垂心及外心為圓心,畫一個與AB只相交於一點的圓。 拖拉紅點改變三形的形狀,觀察圓形的變化。 以那一點為圓心,可以畫出ABC的內切圓, 形心 內心 垂心 外心 總結 三角形的外接圓的圓心是三角形的 心。 三角形的內切圓的圓心是三角形的 心。 KS3-MS9-3-f2 /p.8 of 15 完 KS3-MS9-3-f2 /p.9 of 15 學習單位,以演繹法學習幾何– 「三角形的中心及其性質」工作紙 三角形的中心及其性質,, 開啟檔案“ABC2.html”,可看到以下畫面: 畫面顯示的ABC,它的三個頂點A、B、C可被隨意拖拉到不同的位置。 題一:三角形的三條中線 1. 點選「中線」工具::,再依次點選A、B、C三點, 構作中線AD:圖1:。 2. 再依次點選B、C、A及C、A、B,構作中線BE及CF。 圖1 3. 拖拉三個頂點A、B、C,觀察三條中線的變化,回答以下問題: (a) 三條中線是否相交於同一點, 是 否 (b) 若三條中線相交於同一點,這交點是否一定會在三角形 之內, 是 否 (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外, KS3-MS9-3-f2 /p.10 of 15 題二:三角形的三條角平分線 1. 點選「重新整理」按鈕::。 2. 點選「角平分線」工具::,再依次點選A、B、C 三點,構作角平分線AD:圖2:。 3. 再依次點選B、C、A及C、A、B,構作角平分線BE 圖2 及CF。 4. 拖拉三個頂點A、B、C,觀察三條角平分線的變化,回答以下問題: (a) 三條角平分線是否相交於同一點, 是 否 (b) 若三條角平分線相交於同一點,這交點是否一定會在 三角形之內, 是 否 (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外, 題三:三角形的三條高線 1. 點選「重新整理」按鈕::。 2. 點選「高線」工具::,再依次點選A、B、C三點, 構作高線AD:圖3:。 3. 再依次點選B、C、A及C、A、B,構作角高線BE及 圖3 CF。 4. 拖拉三個頂點A、B、C,觀察三條高線的變化,回答以下問題: (a) 三條高線是否相交於同一點, 是 否 (b) 若三條高線相交於同一點,這交點是否一定會在三角形 之內, 是 否 (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外, ABC為鈍角三角形時。 KS3-MS9-3-f2 /p.11 of 15 題四:三角形的三條垂直平分線 1. 點選「重新整理」按鈕::。 2. 點選「垂直平分線」工具::,再點選線段BC, 構作它的垂直平分線:圖4:。 3. 再依次點選線段CA及AB,構作它們的垂直平分線。 圖4 4. 拖拉三個頂點A、B、C,觀察三條垂直平分的變化,回答以下問題: (a) 三條垂直平分線是否相交於同一點, 是 否 (b) 若三條垂直平分線相交於同一點,這交點是否一定會在 三角形之內, 是 否 (c) 若否,在甚麼情況下這交點會在三角形之外, ABC為鈍角三角形時。 題五:三角形的中心及其性質 從題一至題四,我們發現三角形的三條中線、三條角平分線、三條高線及三條垂直平分線都分別相於一點,這些交點都稱為三角形的中心。 開啟檔案“Centres.html”,可看到以下畫面: KS3-MS9-3-f2 /p.12 of 15 畫面顯示四個全等的ABC,拖拉任何一點紅色點可一起改變四個三個形的形狀,拖拉 綠點可改變三角形的位置。 KS3-MS9-3-f2 /p.13 of 15 1. 分別點選「形心」、「內心」、「垂心」及「外心」鈕,可看到三角形的四個中心如下: 形心:三角形的三條中線的交點G; 內心:三角形的三條角平分線的交點I; 垂心:三角形的三條高線的交點H; 外心:三角形的三條垂直平分線的交點O。 2. 圖中,三角形的形心、內心及垂心分別將各中線、角平分線及高線分成兩份。 點選「長度及比」鈕,顯示各線段的長度及它們之間的比。 拖拉紅色點改變三角形的形狀。觀察各線段的長度及它們之間的比的變化。 那一個中心點會以一個固定的比將每條線分成兩份,在以下空位寫下你的發現,並 將相關的圖畫出。 三角形的 形 心會以 2 : 1 這個比將每條 中 線分成兩份, 即A G : GD = B G : GE = C G : GF = 2 : 1 。 KS3-MS9-3-f2 /p.14 of 15 3. 再點選「長度及比」鈕,隱藏各線段的長度及它們之間的比。 點選「圓」工具::,再分別點選三角形的形心G點 及A點,畫一個以G為圓心、通過A的圓,如圖所示。 這個圓是否也通過B及C, 是 否 一個通過三角形三個頂點的圓稱為三角形的外接圓。 用「圓」工具,分別以內心、垂心及外心為圓心,畫一個通過A的圓。拖拉紅點改 變三形的形狀,觀察圓形的變化。 以那一點為圓心,可以畫出ABC的外接圓, 形心 內心 垂心 外心 5. 點選「重新整理」按鈕::。 分別點選「形心」、「內心」、「垂心」及「外心」鈕,顯示三角形的四個中心。 點選 工具,再分別點選三角形的形心G點及線段AB, 畫一個以G為圓心、與AB只相交於一點的圓,如圖所示。 這個圓是否也與BC及CA只相交於一點, 是 否 一個與三角形三條邊只相交於一點的圓稱為三角形的內切圓。 用 工具,分別以內心、垂心及外心為圓心,畫一個與AB只相交於一點的圓。 拖拉紅點改變三形的形狀,觀察圓形的變化。 以那一點為圓心,可以畫出ABC的內切圓, 形心 內心 垂心 外心 總結 三角形的外接圓的圓心是三角形的 外 心。 三角形的內切圓的圓心是三角形的 內 心。 KS3-MS9-3-f2 /p.15 of 15 完