身高与体重函数关系模型

身高与体重关系模型 摘要 针对问一，根据所给数据，运用数学软件MATLAB绘制离散点图，然后我们分别选择二次函数模型，三次函数模型与指数函数模型，通过MATLAB的CFTOOL工具盒对离散点进行拟合，对各拟合结果Goodness of fit中四组数据进行比较，根据SSE(和方差)越接近于0，R-Square(确定系数)越接近1，Adjusted R-square (校正的决定系数)越接近于1，RMSE(均方根误差)越接近于0则拟合效果越好的比较，我们得出二次函数模型与数据拟合最好，所以确定身高和体重函 2数关系为:，以此作为反映出该地区男性大学y,0.0108x,3.1034x，273.1019 生体重y关于身高x的函数关系。 针对问题二，随机在同学中选取男女各25人，采集了50组有关性别、年龄、身高、体重的数据。运用EXCEL制作统计表。 针对问题三，将问题二中收集到的数据分类统计为男性与女性两组，分别求出不同身高下的体重平均值，通过问题一所得函数求出相同身高的平均体重理论值，对二者进行比较，并求出他们的误差。由于人类个体间的身高体重必然存在不同，我们认为误差不超过7%可认为与函数是符合的，运用EXCEL统计误差结果并作出条形统计图，发现男性符合率为60%，女性符合率为38%，性别间符合率出现较大差异，但通过男性的符合率我们仍可说明模型是有一定准确性的。我们了产生误差的原因:由于函数模型建立所使用的数据的地区未知，且均为男性，而我们采集数据的区域为南方，且既有男性也有女性，原始数据的局限性造成了样本普遍性的降低，从而导致函数模型对于其他特点的样本会有误差，且对于女性的误差远远高于男性。故模型修正需要考虑性别因素。 针对问题四，运用EXCEL根据所给判断条件编写进行判断，并制表汇总。 针对问题五，我们多方参考了现在流行的有关体重的计算公式，并对最为常用的BMI指数方法，成人标准体重计算方法，男(女)性标准体重计算方法，以及适用于我国南北方的标准体重计算方法等的科学性进行了分析评价。 关键字:身高体重 二次函数模型 函数拟合 分类统计 一、问题重述 以下是某地区不同身高的男性大学生的体重平均值表: 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 身高(cm) 51.25 53 54 55.5 57.5 59.25 62.25 65.5 69.25 72.25 体重(kg) (1)根据表中提供的数据，能否从我们已经学过的函数中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区男性大学生体重y关于身高x的函数关系,试求出 1 这个函数解析式。 (2)在你的同学中采集至少50组有关性别、年龄、身高、体重的数据，做一个真实的统计表。 (3)根据采集的数据验证你求出的函数是否适合不同的年龄和性别。给出验证的方法、公式和标准，提出修正的意见。 (4)若体重超过相同身高平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦。根据你的公式，再对你所统计数据中的每个人做出评价。 5)现在流行一些计算标准体重的公式(上网就可查到)，比如根据体重除( 以身高的平方得出的系数来判断一个人是否超重。评价这些公式的科学性，如果可能给出你的修正意见。 二、问题分析 问题一: 根据已给数据，使用matlab分别进行二次函数，三次函数，指数函数进行数据拟合，选取拟合结果最好的函数，作为反映出该地区男性大学生体重y关于身高x的函数关系 问题二: 选择男女各25人，采集50组有关年龄、性别、身高、体重的数据，使用EXCEL制作统计表。 问题三: 将收集到的数据按性别不同分为两组进行处理分析。由于函数所求得的体重为同一身高下的平均体重，所以，应将采集数据中同一身高的所有体重求平均值，再将其与根据问题一中所得函数模型所求得的理论值比较。分析误差的大小及产生原因。 问题四: 根据判断条件，运用EXCEL编写判断公式进行判断，并制作统计表。 问题五: 查询相关的计算标准体重的公式，对其所存在的优缺点进行分析。 三、模型假设 1.假设所调查的人群都是健康的，并且没有任何的生理疾病(如巨人症、侏儒症、肥胖症等等)。 2.只考虑身高与体重的关系，不考虑其他无关因素的影响。 2 四、符号说明 符号 说明 第i个人的身高 xi 第i个人的体重 yi 体重均值 x: 五、模型建立与求解 5.1问题一 使用MATLAB软件中的CFTOOL工具箱对身高和体重之间的关系数据进行 拟合，我们根据离散点的分布情况，分别进行二次拟合(图1)，三次拟合(图2)， 指数拟合(图3)，以选取效果做好的拟合曲线。 5.1.1二次拟合 图1 拟合结果为: Linear model Poly2: 3 f(x) = p1*x^2 + p2*x + p3 Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 0.01083 (0.008491, 0.01317) p2 = -3.103 (-3.899, -2.307) p3 = 273.1 (205.7, 340.5) Goodness of fit: SSE: 0.9268 R-square: 0.998 Adjusted R-square: 0.9974 RMSE: 0.3639 即所得身高与体重的二次曲线拟合函数为: 2 y,0.0108x,3.1034x，273.1019 5.1.2三次拟合 图2 拟合结果为: Linear model Poly3: f(x) = p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4 4 Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 6.601e-005 (-0.0001962, 0.0003282) p2 = -0.02284 (-0.1566, 0.1109) p3 = 2.605 (-20.08, 25.29) p4 = -48.6 (-1328, 1231) Goodness of fit: SSE: 0.8717 R-square: 0.9981 Adjusted R-square: 0.9972 RMSE: 0.3812 即所得身高与体重的三次曲线拟合函数为: 32 y,0.0001x,0.0228x，2.6046x,48.5978 5.1.3指数拟合 图4 拟合结果: General model Exp1: 5 f(x) = a*exp(b*x) Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 11.7 (9.307, 14.08) b = 0.009582 (0.008401, 0.01076) Goodness of fit: SSE: 9.8 R-square: 0.9787 Adjusted R-square: 0.976 RMSE: 1.107 由 SSE:9.8 与RMSE: 1.107可知，指数拟合与数据拟合结果相差较大，故舍弃。 5.1.4拟合结果比较 由以上各拟合结果Goodness of fit中四组数据比较，根据SSE越接近于0，R-Square越接近1，Adjusted R-square越接近于1，RMSE越接近于0的比较标准，我们可以看出二次函数与数据拟合最好，所以确定身高和体重函数关系为: 2 y,0.0108x,3.1034x，273.1019 5.2问题二 各收集男性数据25份，女性数据25份，见表1. 表1 性别 年龄 身高 体重 性别 年龄 身高 体重 男 21 163 60 女 20 153 42 男 22 164 56 女 20 156 44 男 21 165 60 女 21 156 38 男 23 168 55 女 21 157 48 男 21 169 60 女 21 158 52 男 21 170 54 女 23 158 45 男 23 170 80 女 22 159 43 男 23 170 64 女 22 160 50 男 22 171 67 女 21 160 45 男 22 172 65 女 21 160 52 男 23 172 60 女 23 160 50 男 21 172 60 女 22 161 50 男 23 173 60 女 21 161 45 男 22 173 62 女 21 162 55 男 21 174 65 女 20 162 60 男 22 175 70 女 20 163 56 男 22 175 65 女 21 163 59 男 23 175 60 女 22 164 55 男 21 175 62 女 23 164 47 男 21 176 58 女 21 165 45 6 男 21 178 70 女 21 165 45 男 23 178 75 女 20 165 60 男 23 180 63 女 20 168 58 男 23 180 71 女 21 168 49 男 23 183 75 女 22 170 54 5.3问题三 5.3.1数据的整理 将采集的数据用EXCEL进行处理，根据性别分为男性(表2)与女性(表3)， 身高按照升序排列。 根据5.1.4中所得公式可计算出标准体重; n1xx,根据公式:，计算出相同身高下实际的体重均值; ,ini,1 根据公式:K=|实际体重-标准体重|/标准体重，计算出两者间的相对误差。 整理结果如下: 表2 性别 年龄 身高 体重 标准体重 体重均值 相对误差(%) 男 21 163 60 54.19 60 10.72 男 22 164 56 51.53 56 8.67 男 21 165 60 52.56 60 14.16 男 23 168 55 55.77 55 1.38 男 21 169 60 56.89 60 5.47 男 21 170 54 男 23 170 80 58.03 66 13.73 男 23 170 64 男 22 171 67 59.19 67 13.19 男 22 172 65 男 23 172 60 60.37 61.67 2.15 男 21 172 60 男 23 173 60 61.58 61 0.94 男 22 173 62 男 21 174 65 62.81 65 3.49 男 22 175 70 男 22 175 65 64.07 64.25 0.28 男 23 175 60 男 21 175 62 男 21 176 58 65.35 58 11.25 男 21 178 70 67.99 72.5 6.63 男 23 178 75 男 23 180 62 70.73 66.5 5.98 男 23 180 71 男 23 183 75 75.06 75 0.08 7 表3 性别 年龄 身高 体重 标准体重 体重均值 相对误差(%) 女 20 153 42 51.1 42 17.81 女 20 156 44 51.8 41 20.85 女 21 156 38 女 21 157 48 52.09 48 7.85 女 21 158 52 52.38 48.5 7.41 女 23 158 45 女 22 159 43 52.7 43 18.41 女 22 160 50 女 21 160 45 53.04 49.25 7.15 女 21 160 52 女 23 160 50 女 22 161 50 53.4 47.5 11.05 女 21 161 45 女 21 162 55 53.79 57.5 6.9 女 20 162 60 女 20 163 56 54.2 57.5 6.09 女 21 163 59 女 22 164 55 54.62 51 6.63 女 23 164 47 女 21 165 45 女 21 165 45 55.07 50 9.21 女 20 165 60 女 20 168 58 56.55 53.5 5.39 女 21 168 49 女 22 170 54 57.64 54 6.32 5.3.2分析结果 我们认为，体重误差不大于7%就可以认为是符合公式的结果，根据表1(15 组数据)与表2(13组数据)，我们得到统计结果(图4)。 图4 8 由图可知采集的数据中，男性相比女性更加符合拟合结果，男性符合率为60%，因此我认为男性是符合该函数的。而女性的符合率只有38%，因此我们认为女性不符合该函数。 我们认为，该造成这种现象的原因可能有以下几点: 1.函数拟合时所用的数据为某地未成年男性的身高和体重，带有一定特殊性; 2.检验函数所用的数据均在南方采集，且男女都有，这与这与拟合函数时所采用的数据特点有所不同; 5.3.3修正意见 函数式由男性大学生平均身高体重数据拟合而来，故需要从性别方面考虑对所求模型进行优化处理，、由数据分析得，女性拟合体重与真实值间相差一个常数。 2优化后的拟合函数为，这里为的系数，为y,0.011x,3.103x，273.102，rsrss性别参数，当时，则为男性;当时则为女性。先取一半采集到的女性样本数据(一s,0s,1 共23个，取13个)进行拟合，利用MATLAB编写程序(程序1)对已知函数进行拟合，得: 得到，置信区间为(-12.94,-6.991) r,,9.966 2故优化后的函数表达式为: y,0.011x,3.103x，273.102,9.966s 5.4问题四 根据公式及判断条件，运用EXCEL计算结果如表4 表4 标准体比例系性别 年龄 身高 体重 评价结果 重 数 男 21 163 60 54.19 0.90 正常 男 22 164 56 51.53 0.92 正常 男 21 165 60 52.56 0.88 正常 男 23 168 55 55.77 1.01 正常 男 21 169 60 56.89 0.95 正常 男 21 170 54 1.07 正常 男 23 170 80 58.03 0.73 瘦 男 23 170 64 0.91 正常 男 22 171 67 59.19 0.88 正常 9 男 22 172 65 0.93 正常 男 23 172 60 60.37 1.01 正常 男 21 172 60 1.01 正常 男 23 173 60 1.03 正常 61.58 男 22 173 62 0.99 正常 男 21 174 65 62.81 0.97 正常 男 22 175 70 0.92 正常 男 22 175 65 0.99 正常 64.07 男 23 175 60 1.07 正常 男 21 175 62 1.03 正常 男 21 176 58 65.35 1.13 正常 男 21 178 70 0.97 正常 67.99 男 23 178 75 0.91 正常 男 23 180 63 1.12 正常 70.73 男 23 180 71 1.00 正常 男 23 183 75 75.06 1.00 正常 女 20 153 42 51.10 1.22 胖 女 20 156 44 1.18 正常 51.80 女 21 156 38 1.36 胖 女 21 157 48 52.09 1.09 正常 女 21 158 52 1.01 正常 52.38 女 23 158 45 1.16 正常 女 22 159 43 52.7 1.23 胖 女 22 160 50 1.06 正常 女 21 160 45 1.18 正常 53.04 女 21 160 52 1.02 正常 女 23 160 50 1.06 正常 女 22 161 50 1.07 正常 53.4 女 21 161 45 1.19 正常 女 21 162 55 0.98 正常 53.79 女 20 162 60 0.90 正常 女 20 163 56 0.97 正常 54.2 女 21 163 59 0.92 正常 女 22 164 55 0.99 正常 54.62 女 23 164 47 1.16 正常 女 21 165 45 1.22 胖 女 21 165 45 55.07 1.22 胖 女 20 165 60 0.92 正常 女 20 168 58 0.98 正常 56.55 女 21 168 49 1.15 正常 女 22 170 54 57.64 1.07 正常 10 5.5问题五 5.5.1.BMI指数 BMI为Body Mass Index(身体质量指数)的缩写，简称体重指数，又称体质指数，是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准。当我们需要比较及分析一个人的体重对于不同高度的人所带来的健康影响时，BMI值是一个中立而可靠的指标。计算的方法是:BMI=体重(kg)/身高(m)平方。 世界隆重组织拟定的世界标准是，BMI在18.5-24.9时属正常范围，BMI大于25 为超重，BMI大于30为肥胖。(判断结果见附录一) 分析:制定BMI公式的数据是以欧美白人为基准，因此该标准对亚洲人不一定适用。如:日本人当BMI为24.9时，高血压危险已经增加3倍;在美国的日本人，BMI大于23时心血管病危险就开始明显增加;中国香港地区的人，BMI在23.7时死亡率最低，再高时便开始上升，这说明，体重指数正常上限24.9的世界标准，对亚洲人来说显然过高。 一般而言，亚洲人的正常体重指数上限比欧美人要低2个指数。 然而，中国人虽属亚洲人种，但体重指数的正常范围上限却应比亚洲标准低些，在具体运用体重指数判断胖与不胖时应区别对待。一项针对中国人的调查表明，BMI大于22.6的中国人，其平均血压、血糖、甘油三酯水平都较BMI小于22.6的人的高，而有益于人体的高密度脂蛋白胆固醇水平却低。因此，中国人正常体重指数上限不应大于22.6应比欧美的24.9和亚洲的22.9还低。 同时，以下几类人员也不适合该公式:1. 未满18岁;2. 是运动员;3. 正在做重量训练;4. 怀孕或哺乳中;5. 身体虚弱或久坐不动的老人。 总之，BMI指数作为目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，还应考虑不同地区人的身体状况制定不同的标准。 5.5.2较普遍采用的计算方法 男性:身高(cm)-105=标准体重(kg) 女性:身高(cm)-100=标准体重(kg) 所得标准体重与实际体重相比误差不超过15%即为正常。 分析:该公式计算简单，同时针对了男女不同进行考虑，但是没有考虑到南北地区的差异，且计算精度较低，只能对体重进行大致判断，适用于普通人对自身体重进行评价，不适用于精确评价。 5.5.3军事科学院计算中国人理想体重的方法: 北方人理想体重=(身高cm-150)×0.6+50(kg) 南方人理想体重=(身高cm-150)×0.6+48(kg) 所得标准体重与实际体重相比误差不超过10%即为正常。 分析:这一计算方法，比较适合区分南北地区中国人，广泛应用于军校招生与征兵体检过程中的体重判断，且计算简单，精度相比5.5.2更准确，但鉴于是应用于军队，故该项公式是基于男性进行判断，对于女性应该有较大误差。 5.5.4综述 影响身高、体重的因素很多，如性别、遗传、地域、营养、体育运动、环境、生活习惯、种族、内分泌、性成熟早晚、医学进步等。我们可以根据各地区的不同状况进一步改进以上计算方法。 11 六、模型评价 优点: 1. 运用MATLAB中的CFTOOL工具盒对数据进行拟合分析，操作方便，思路明确， 建立的模型结构简单，便于应用，且所得结果与实际较为吻合。 2. 运用EXCEL建立统计表，清晰明了，编写相关公式可方便快捷的得到需要 的统计结果。 缺点: 1.受到原始数据的限制，使得拟合结果不能完全适用于现实生活 七、参考文献 [1]姜启源、谢金星、叶俊，数学建模，北京:高等教育出版社，2011[2]茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计，北京:高等教育出版社，2004 [3]何逢标. 综合评价方法MATLAB实现.北京:中国社会科学出版社，2010 [4]根据BMI和体脂百分比标准判别成人肥胖度效力的评估性研究,北京，协和医 院，2008 附录 附录一.BMI判断结果 性别 年龄 身高 体重 BMI指数 判断结果 男 21 1.63 60 22.58271 正常 男 22 1.64 56 20.82094 正常 男 21 1.65 60 22.03857 正常 男 23 1.68 55 19.48696 正常 男 21 1.69 60 21.00767 正常 男 21 1.7 54 18.68512 正常 男 23 1.7 80 27.68166 超重 男 23 1.7 64 22.14533 正常 男 22 1.71 67 22.91303 正常 男 22 1.72 65 21.97134 正常 男 23 1.72 60 20.28123 正常 男 21 1.72 60 20.28123 正常 男 23 1.73 60 20.04745 正常 男 22 1.73 62 20.71569 正常 男 21 1.74 65 21.46915 正常 男 22 1.75 70 22.85714 正常 12 男 22 1.75 65 21.22449 正常 男 23 1.75 60 19.59184 正常 男 21 1.75 62 20.2449 正常 男 21 1.76 58 18.72417 正常 男 21 1.78 70 22.09317 正常 男 23 1.78 75 23.67125 正常 男 23 1.8 62 19.1358 正常 男 23 1.8 71 21.91358 正常 男 23 1.83 75 22.39541 正常 女 20 1.53 42 17.94182 瘦 女 20 1.56 44 18.08021 瘦 女 21 1.56 38 15.61473 瘦 女 21 1.57 48 19.47341 正常 女 21 1.58 52 20.83 正常 女 23 1.58 45 18.02596 瘦 女 22 1.59 43 17.00882 瘦 女 22 1.6 50 19.53125 正常 女 21 1.6 45 17.57813 瘦 女 21 1.6 52 20.3125 正常 女 23 1.6 50 19.53125 正常 女 22 1.61 50 19.28938 正常 女 21 1.61 45 17.36044 瘦 女 21 1.62 55 20.95717 正常 女 20 1.62 60 22.86237 正常 女 20 1.63 56 21.0772 正常 女 21 1.63 59 22.20633 正常 女 22 1.64 55 20.44914 正常 女 23 1.64 47 17.47472 瘦 女 21 1.65 45 16.52893 瘦 女 21 1.65 45 16.52893 瘦 女 20 1.65 60 22.03857 正常 女 20 1.68 58 20.54989 正常 女 21 1.68 49 17.36111 瘦 女 22 1.7 54 18.68512 正常 13