解析几何中设而不求专题练习(含参考答案)

解析几何中设而不求专练习 设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。许多同学会问：什么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？ 一、利用曲线与方程的关系： 1. 已知两圆 ， ，求两圆的公共弦方程及弦长。  解：两圆方程相减，得 ，两圆的交点坐标均满足此方程，故此方程即为公共弦所在直线方程。又圆 的圆心 到公共弦的距离 ，且 （ 为公共弦长）， ，即公共弦长为 。 注：其中求公共弦的方程时即用到了设而不求思想。 2. 过圆外一点P（a，b）引圆 的两条切线，求经过两个切点的直线方程。 解：设两个切点分别为P1（ ），P2（ ），则切线方程为： ， 。 可见P1（ ），P2（ ）都满足方程 ，由直线方程的定义得： ，即为经过两个切点的直线方程。 二、利用圆锥曲线的定义： 1.   已知椭圆 为焦点，点P为椭圆上一点， ，求 。 1. 解析：由题意知点P为椭圆上一点，根据椭圆的定义 。 再注意到求 的关键是求出 这一整体，则可采用如下设而不求的解法： 设 由椭圆定义得         ① 由余弦定理得     ② ①2－②得， 三、利用点差法： 1. 求过椭圆 内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程。 解析：设动弦PQ的方程为 ，设P（ ），Q（ ），M（ ），则： ① ② ①－②得： 当 时， 由题意知 ，即         ③ ③式与 联立消去k，得         ④ 当 时，k不存在，此时， ，也满足④。 故弦PQ的中点M的轨迹方程为： 。 注：通过将P、Q的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减。这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求的关键。 四、利用韦达定理： 1. 已知椭圆C1的方程为 ，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C2的方程； （Ⅱ）若直线 与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足 （其中O为原点），求k的取值范围. 解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为 ，则 故C2的方程为 （II）将 由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得 即            ① . 由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 解此不等式得 ③ 由①、②、③得 故k的取值范围为 2. 已知平面上一定点C（4，0）和一定直线 为该平面上一动点，作 ，垂足为Q，且 . （1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程； （2）设直线 与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由. 解：（1）设P的坐标为 ，由 得 （2分） ∴（ （4分） 化简得   ∴P点在双曲线上，其方程为 （6分） （2）设A、B点的坐标分别为 、 ， 由   得 （7分） ，（8分） ∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，即 解得 （9分） ∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴ ， 即 ，（10分） ∴ ∴ 解得 ，故满足题意的k值存在，且k值为 . 五、对多元问题，围绕解题目标，通过逐步消元，实现设而不求 1. 抛物线 与过点 的直线 相交于 、 两点， 为坐标原点，若直线 和 斜率之和是 ，求直线 的方程。 解：设点 ，点 ，直线 的方程为 ， 则 ，由已知条件， . ，又 ，则 ，即 ， 于是 是直线 的斜率，直线 的方程为 . 2.已知点P（3，4）为圆C： 内一点，圆周上有两动点A、B，当∠APB=90°时，以AP、BP为邻边，作矩形APBQ，求顶点Q的轨迹方程。 解析：设A（ ），B（ ），Q（x，y） 由题意得： ① ② ③ ④ ，即 。        ⑤ 将①②⑤代入上式并整理得 ，即为点Q的轨迹方程。 注：本题的目标是找到x、y所满足的方程，而逐步消去无关的 则是解答问题的关键。 补充练习： 1、设 、 分别是椭圆 的左、右焦点. （Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知 设P（x，y），则 ， ，即点P为椭圆短轴端点时， 有最小值3； 当 ，即点P为椭圆长轴端点时， 有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k 直线l的方程为 由方程组 依题意 当 时，设交点C ，CD的中点为R ， 则 又|F2C|=|F2D| ∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，  所以不存在直线 ，使得|F2C|=|F2D| 综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 2. 已知圆 上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足 . （I）求点G的轨迹C的方程； （II）过点（2，0）作直线 ，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线 ，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线 的方程；若不存在，试说明理由. 解：（1） Q为PN的中点且GQ⊥PN GQ为PN的中垂线 |PG|=|GN|    ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长 ，半焦距 ，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是 ………5分 （2）因为 ，所以四边形OASB为平行四边形 若存在l使得| |=| |，则四边形OASB为矩形 若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由 矛盾，故l的斜率存在.    ………7分 设l的方程为 ① ②  ……………9分    把①、②代入 ∴存在直线 使得四边形OASB的对角线相等.