初二数学难题

初二数学难题 初二数学难题篇一:2012年初二数学经典难题及 初二数学经典题型 1(已知:如图，P是正方形ABCD内点，?PAD,?PDA,150(求证:?PBC是正三角形( 证明如下。 首先，PA=PD，?PAD=?PDA=(180?-150?)?2=15?，?PAB=90?-15?=75?。 在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ， 连接PQ， 则 ?PDQ=60?+15?=75?，同样?PAQ=75?，又AQ=DQ,，PA=PD，所以?PAQ??PDQ， 那么?PQA=?PQD=60??2=30?，在?PQA中， ?APQ=180?-30?-75?=75?=?PAQ=?PAB，于是PQ=AQ=AB， 显然?PAQ??PAB，得?PBA=?PQA=30?， PB=PQ=AB=BC，?PBC=90?-30?=60?，所以?ABC是正三角形。 2.已知:如图，在四边形ABCD中，AD,BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、 F(求证:?DEN,?F( 证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM. 又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN?AD,?GNM=?DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM?BC,?GMN=?CFN;(2) 又AD=BC,则:GN=GM,?GNM=?GMN.故:?DEM=?CFN. C D 3、如图，分别以?ABC的AC和BC为一边，在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点(求证:点P到边AB的距离等于AB的一半( 证明:分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N， 在梯形MEFN中，WE平行NF 因为P为EF中点，PQ平行于两底 所以PQ为梯形MEFN中位线， 所以PQ,(ME，NF)/2 又因为，角0CB，角OBC,90?,角NBF，角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B,角Rt,角BNF CB=BF 所以?OCB全等于?NBF ?MEA全等于?OAC(同理) 所以EM,AO，0B,NF F 所以PQ=AB/2. 4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且?PBA,?PDA(求证:?PAB,?PCB( 过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E;连接 BE 因为DP//AE，AD//PE 所以，四边形AEPD为平行四边形 所以，?PDA=?AEP 已知，?PDA=?PBA 所以，?PBA=?AEP 所以，A、E、B、P四点共 圆 所以，?PAB=?PEB 因为四边形AEPD为平行四边形，所以:PE//AD，且PE=AD 而，四边形ABCD为平行四边形，所以:AD//BC，且AD=BC 所以，PE//BC，且PE=BC 即，四边形EBCP也是平行四边形 所以，?PEB=?PCB 所以，?PAB=?PCB 5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA,a，PB,2a，PC=3a正方形的边长( 解:将?BAP绕B点旋转90?使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ 因为?BAP??BCQ 所以AP,CQ，BP,BQ，?ABP,?CBQ，?BPA,?BQC 因为四边形DCBA是正方形 所以?CBA,90?，所以?ABP，?CBP,90?，所以?CBQ，?CBP,90? 即?PBQ,90?，所以?BPQ是等腰直角三角形 所以PQ,?2*BP，?BQP,45 因为PA=a，PB=2a，PC=3a 所以PQ,2?2a，CQ,a，所以CP ,9a ，PQ ，CQ ,8a ，a ,9a 所以CP ,PQ ，CQ ，所以?CPQ是直角三角形且?CQA,90? 所以?BQC,90?，45?,135?，所以?BPA,?BQC,135? 作BM?PQ 则?BPM是等腰直角三角形 所以PM,BM,PB/?2,2a/?2,?2a 所以根据勾股定理得: AB ,AM ，BM ,(?2a，a) ，(?2a) ,[5，2?2]a 所以AB,[?(5，2?2)]a 6.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管,倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。 解:设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。 由题意得: v2x ? v8x ?t 解之得:x? 5v8t 5v8t 经检验得:x?是原方程解。 5v8t ?小口径水管速度为 ，大口径水管速度为 5v2t 。 7(如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(,2，-1)，且P(-1，,2)为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B( (1) 写出正比例函数和反比例函数的关系式; (2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得?OBQ与?OAP面积相等,如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由; (3)如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值( 1 解:(1)设正比例函数解析式为y?kx，将点M(?2，?1)坐标代入得k=，所以正比例函数解 2 图 析式为y= 12 x 2x 同样可得，反比例函数解析式为y=(2)当点Q在直线DO上运动时， 设点Q的坐标为Q(mm)， 21 于是S?OBQ=而S?OAP=所以有， 1412 2 12 OB?BQ 1 1 创m22 m= 14 m， 2 (-1)?(2)=1， m=1，解得m??2 所以点Q的坐标为Q1(2，1)和Q2(-2，-1) (3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP,CQ，OQ,PC， 而点P(?1，?2)是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值( 因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q(n)， n2 由勾股定理可得OQ2=n2+所以当(n-2n )=0即n-2 4n 2 =(n- 2n )+4， 2 2 2n =0时，OQ有最小值4， 又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值， 所以OQ有最小值2( 由勾股定理得OP OPCQ周长的最小值是 8.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合)，点E在射线BC上，且 PE=PB. (1)求证:? PE=PD ; ? PE?PD; (2)设AP=x, ?PBE的面积为y. ? 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围; ? 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.解:(1)证法一: ? ? 四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ? BC=DC, ?BCP=?DCP=45?. ? PC=PC， ? ?PBC??PDC (SAS).? PB= PD， ?PBC=?PDC.又? PB= PE ， ? PE=PD. ? (i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， ? PB=PE， ? ?PBE=?PEB， ? ?PEB=?PDC， ? ?PEB+?PEC=?PDC+?PEC=180?， ? ?DPE=360?-(?BCD+?PDC+?PEC)=90?， ? PE?PD. ) (ii)当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE?PD. (iii)当点E在BC的延长线上时，如图. ? ?PEC=?PDC，?1=?2， ? ?DPE=?DCE=90?， D B C E ? PE?PD. 综合(i)(ii)(iii), PE?PD. (2)? 过点P作PF?BC，垂足为F，则BF=FE. ? AP=x，AC=2， ? PC=2- x，PF=FC=BF=FE=1-FC=1-(1?? S?PBE=BF?PF=即 y??? y??? a??? 当x? (1)证法二:? 过点P作GF?AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示. ? 四边形ABCD是正方形， ? 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形， ?AGP和?PFC都是等腰直角三角形. ? GD=FC=FP，GP=AG=BF，?PGD=?PFE=90?. 又? PB=PE，? BF=FE，? GP=FE， ? ?EFP??PGD (SAS).? PE=PD.? ? ?1=?2. ? ?1+?3=?2+?3=90?. ? ?DPE=90?. ? PE?PD.(2)?? AP=x，? BF=PG=? S?PBE=BF?PF=即 y?? ? y?? 1212x?x? 22 2222 (2?x)?1?x)=22 22x. 12x? 2 D 22 x. 222 x(1?x)?? 22 x. B F E 121212 x?x? 2 2 222 x(0,x,x?? 12(x? 22 2). 2 )? 14 . ,0， 22 时，y最大值? 14 . D B F E C 22 x，PF=1-22 22 x. 12x? 2 222 x(1?x)?? 22 x. 222 x(0,x,x?? 12(x? 22 2). 2 )? 14 . 初二数学难题篇二:初中数学经典难题(含答案) 经典难题(一) 1、已知:如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD?AB， EF?AB，EG?CO( 求证:CD,GF((初二) E A B D O F 2、已知:如图，P是正方形ABCD内点，?PAD,?PDA,150( A D 求证:?PBC是正三角形((初二) C B 3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、 C2、D2分别是AA1、BB1、 CC1、DD1的中点( A D 求证:四边形A2B2C2D2是正方形((初二) DAA1 1 C B2 2 C 4、已知:如图，在四边形ABCD中，AD,BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC 的延长线交MN于E、F( 求证:?DEN,?F( B 1、已知:?ABC中，H为垂心(各边高线的交点)，O (1)求证:AH,2OM; (2)若?BAC,600，求证:AH,AO((初二) 2、设MN是圆O外一直线，过O作OA?MN于A，自A及D、E，直线EB 及CD分别交MN于P、Q( 求证:AP,AQ((初二) 3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题: 设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、 EB分别交MN 于P、Q( 求证:AP,AQ((初二) 4、如图，分别以?ABC的AC和BC为一边，在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形 CBFG，点P是EF的中点( 求证:点P到边AB的距离等于AB的一半( F 1、如图，四边形ABCD为正方形，DE?AC，AE,AC，AE与CD相交于F( 求证:CE,CF((初二) 2、如图，四边形ABCD为正方形，DE?AC，且CE,CA，直线EC交DA延长线于F( 求证:AE,AF((初二) E 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF?AP，CF平分?DCE( 求证:PA,PF((初二) 4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于 B、D(求证:AB,DC，BC,AD((初三) 1、已知:?ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA,3，PB ,4，PC,5( 求:?APB的度数((初二) 2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且?PBA,?PDA( 求证:?PAB,?PCB((初二) 3、Ptolemy(托勒密)定理:设ABCD为圆内接凸四边形，求证:AB?CD，AD?BC,AC?BD( (初三) 4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE,CF(求证:?DPA,?DPC((初二) 1、设P是边长为1的正?ABC内任一点，l,PA，PB，PC，求证:3?L,2( 2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA，PB，PC的最小值( 3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA,a，PB,2a，PC,3a，求正方形的边长( 4、如图，?ABC中，?ABC,?ACB,800，D、E分别是AB、AC上的点，?DCA,300，?EBA,200，求?BED的度数( 初二数学难题篇三:数学八年级易错题难题整理含答案 2009—2010学年度第一学期期终检测 八年级数学试题(120分钟 120分) 一、选择题(把正确答案的代号填在下面对应的格中，每小题3分，共30分) 3、下列说法中，?一组数据的中位数只有一个?一组数据的中 位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数 ?一组数据的众数可能有多个 ?一组数据的众数是这组数据中出现次数最多的数据的次数?一组数据的众数一定是这组数据中的数 正确说法的个数有( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 5、下列说法正确的有() (1)数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数;(2)实数a的倒数是1 ;a (3)带根号的数都是无理数;(4)两个绝对值不相等的无理数，其和、差、积、商仍是无理数。 ,、1个 ,、2个 ,、3个 ,、4个 内容补充 一个数的平方=它本身这个数0，1 一个数的平方根=它本身这个数是0，1 一个数的算术平方根=它本身这个数是0， 一个数的立方等于它(来自:WWw.HnnscY.com 博文 学习 网:初二数学难题)本身，这个数是,1，0，1 一个数的立方根=它本身这个数是,1，0，1 6、一个自然数的算术平方根为m，则与这个自然数相邻的下一个自然数是( ) ,、m?1 ,、 m2?1,、m2?1 ,、m? :此题注意审题 二、填空题 11、某市对全市3万名初中学生的视力进行了一次抽样调查，得到如图所示的统计图。在这次调查中，所选取样本的容量是;如果视力在4.9到5.1之间(含4.9与5.1)为正常，那么全市大约有 名初中生视力是正常的。 12、设的整数部分为a，小数部分为b，则代数式b(+a)的值等于。 根号9根号10根号16，所以3根号104，所以，a=3 b=【根号10-3】 所以，b(+a)=【根号10-3】【根号10+3】 所以利用因式分解的结果为1 13、比较大小:- 15、如图所示，AD,4，CD,3，?ADC,90?，AB,13，BC,12，该图形的面 积等于 . 16、已知x满足(x-1)=- 38,则 x= ; 27 ?x?a17、若不等式组?的解集为x，a，则a与b的关系是 。 ?x?b 注意等号 18、一个水池有甲、乙两个进水管。单独开甲管，6小时注满全池，两管同时开，3小时注满全池。如果设单独开乙管x小时注满全池，由此得到方程 。 二、填空题 11、240，7500; 12、113、，，， 14、4+7或4-7 15、24 16、-21111 3，y?2 17、a?b 18、6+x=3 三、解答题 20、(每小题4分，共16分)计算: (1)因式分解 题略【注意区别计算，结果要逐步考察】 (2)已知?a?b?2=9,?a?b?2=49,求a2+b2和ab的值。 解:(2) 由 ?a?b?2=9得:a2+b2+2ab=9? 由?a?b?2=49得:a2+b2-2ab=49 ? ?+?得:2(a2+b2)=58 ?a2+b2=29 ?-?得:4ab=-40?ab=-10 (3)已知1xy2x?3xy?2y=-，求的值。 3x?yx?2xy?y 由1xy=-得:x-y=-3xy 3x?y ?2x?3xy?2y2(x?y)?3xy= x?y?2xyx?2xy?y =?6xy?3xy?3xy3== ?3xy?2xy?5xy5 x?14=无解，求a的值。 x?aa?x(4)已知分式方程 去分母得:x+1=-4 解得:x=-5 ?方程无解 ?x-a=0即:-5-a=0 解得:a=-5 22、(本题6分)一商场将一种进价是800元的商品以标价1200元出售，后由于商品积压，商场决定打折出售，但必须保证这种商品的利润率不低于5%。问最多可打几折出售, 解:设最多可以打x折。根据题意得: 1200x?800?5%800 7解得:x?10 ?最多可以打7折。 23、(本题12分)如图?，PB和PC分别是?ABC的两条内角平分线;如图?，PB和PC分别是?ABC的内角平分线和外角平分线;如图?，PB和PC分别是?ABC的两条外角平分线。 (1)已知?A=500，在图?中分别求?BPC的度数。 如图?:?PB和PC分别是?ABC的两条外角平分线 ??PBC+?PCB=11(?DBC+?ECB)=(?A+?ABC+?A+?ACB) 22 1=(1800+?A)=1150 2 ??BPC=1800-(?PBC+?PCB)=650 (2)在图?中探求?BPC与?BAC的数量关系，并加以说明。 如图?:?BPC=1?A 2 证明:?PB和PC分别是?ABC的内角平分线和外角平分线 且?ACD=?A+? ABC