列昂哈德·欧拉

列昂哈德·欧拉 列昂哈德?欧拉 开除回家 列昂哈德?欧拉是18世纪数学界的中心人物。他在几何、微积分、力学、天文学、数论， 甚至在生物学等方面都有着重要建树。特别是在天灾人祸的打击面前，欧拉仍然顽强不屈、 进击不止，为后人留下了宝贵的财富，充分现了这位数学家对数学信念的执著追求。他堪 称我们大家的楷模，是我们所有人的老师。 欧拉降生在一个乡村牧师的家庭，也因此，他才能在邻居同年龄孩子羡慕和妒忌的目光 下，进入那座令人瞩目、神往的学校。对于老欧拉来说，这是理所当然的，凭着自己的家传 祖教，凭着小欧拉的聪明伶俐，儿子将来肯定是一名出类拔苹的教门后起之秀，或许能进入 罗马教廷去供职妮？每当想起儿子的锦绣前程，以及因此而来的荣誉，老欧拉总是乐不可支。 自从欧拉在课堂上汲取了许多高远深奥的学问之后，对自然界的了解就更加充满信心， 但与此同时又对一些问疑惑不解，如：天上的星星有多少颗？他百思不得其解，只好求教 于父亲和老师。老欧拉对这类稀奇古怪的问题膛目结舌，无言以答；老师也只是温和地摸着 小欧拉的头顶，漫不经心地说：“这是无关紧要的。我们只需知道，天空上的星星都是上帝亲 手镶上去的。”这真的无关紧要吗？既然上帝亲手制作了星星，为什么记不住它们的数目呢？ 小欧拉开始对信仰上帝的绝对权威产生了动摇的念头，他不止一次地问道：上帝到底在哪里？ 他果真无时不在、无所不能吗？ 神学校里出了“叛逆”的学生，这还了得？小欧拉由于整天在思考这些问题，因而听课 不专心，考试答非所问„„终于有一天，老欧拉被叫到神学校，领回了被学校开除的儿子。 不满10岁的小欧拉对神学本来就不感兴趣，因此，他对于被神学校除名这件事无丝毫伤 心，反而更加轻松活跃。从此，他可以无拘无束地思考他感兴趣的问题。 小欧拉立志要数清天上的星星。为此，他开始学习数学。一踏入这块领域，小欧拉不禁 呆住了：天地之中无所不寓的数学，正像风光迷人的山水景色，何等引人入胜啊！小欧拉抱 着厚厚的数学书籍，写呀，算呀，读得是那样的津津有味。 父亲对儿子在神学校的表现很有些伤心，但当他看到小欧拉是那样的无忧无虑，又痴迷 于数学时，也只有听之任之了。 老欧拉在传教布道之余，还要放牧羊群以贴补家用。这天，为扩大羊圈，父子俩正在丈 量土地：小欧拉拉住测绳的一端，父亲拉直测绳后从另一端读出数值，根据量得的长度计算 场地面积和所用的篱笆材料。父亲刚把四根转角桩打入地下，小欧拉的“”也出来了： “羊圈长40尺、宽15尺，面积600平方尺，需用110尺篱笆材料。”“可我们只有100尺材料啊！按长40尺，宽10尺计算，只得400平方尺的羊圈，怎么办？”父亲给儿子出了一个 难题。 “如果把这四根木桩适当地挪一挪位置，也许用同样多的篱笆，还能使羊圈面积扩大。 但什么情况下面积最大呢？”小欧拉启动脑筋，为自己的家庭解决问题。 次日天刚亮，小欧拉晃醒了睡梦中的父亲：“只要把羊圈的长、宽都定为25尺，那么，用100尺材料就可围成625平方尺的羊圈了！”老欧拉喷喷称赞：这虽然是数学上一个简单的 极质问题，但小欧拉才十几岁啊！这消息不胫而走，也传进当地数学名流伯努利的耳朵里。 伯努利的惜才、爱才是著名的。这次，他专门来到欧拉家中。小欧拉放下手中的书本， 双眼盯着这位德高望重的教授，质询似地问道： “您知道天上的星星有多少颗吗？” 伯努利第一次经历这种面对面的“挑战”场面，他呆住了，问道：“那么，你知道了？” 小欧拉摇摇头，同时对这位不作正面回答的教授投去失望的目光。 “你还知道些什么妮？”教授又问道。 “我知道：6可分解成1，2，3，6，把1，2，3加起来等于6；28可分解成1，2，4，7， 14，28，把1，2，4，7，14加起来等于28。是不是还有类似的数呢？”小欧拉比比划划， 十分活跃。显然，他希望对方给予满意的解答。 这是“完全数”，一个古老的数学之谜，迄今尚无人知晓其全部奥秘。一个小孩子能提出 这种有份量的问题，使得这位蜚声全欧的教授满心欢喜。 于是，在教授的极力推荐下，这位被神学校开除的学生、年方13岁的小欧拉，终于跨进了巴塞尔大学的校门。 辉煌的一生 在巴塞尔大学，欧拉涉猎了数学的大部分领域。老师们很快地发现，课堂上讲授的内容 和进度远远不能满足欧拉的需求。贝努利听说后，更是惊喜万分，他当即决定从自己有限的 宝贵时间中专门挤出一部分为欧拉辅导，于是便有了极不平常的“欧拉学习日”。贝努利以其 丰富的阅历和对数学发展状况的深刻了解，给欧拉重要的指导，使年轻的欧拉很快地进入前 沿领域。欧拉从此走上了献身数学的道路。 欧拉卒于1783年。纵观其一生的研究历程，我们会发现，他虽然没有像笛卡尔、牛顿那 样为数学开辟撼人心灵的新分支，但“没有一个人像他那样多产，像他那样巧妙地把握数学； 也没有人能收集和利用代数、几何、的手段去产生那么多令人钦佩的结果。”欧拉为数学 谱写了一首首精彩的诗篇！ 欧拉关于微积分方面的论述构成了18世纪微积分的主要内容。他澄清了函数的概念及对 各种新函数的认识，对全体初等函数连同它们的微分、积分进行了系统的研究和分类，标志 着微积分从几何学的束缚中彻底解放，从此成为一种形式化的函数理论；给出了多元函数的 定义及偏导数的运算性质，研究了二阶混合偏导数相等、用累次积分计算二重积分等问题， 初步建立起多元函数的微积分理论；考察了微积分的严密性，使微积分脱离几何而建立在代 数的基础上；还有无穷级数的专门研究等。正如贝努利所言，是欧拉将微积分“带大成人。” 欧拉在微分方程、变分法方面也有出色成就。欧拉深入考虑了在常微分方程中占有重要 地位的方程及一般常系数线性微分方程的求解，开创了这类方程的现代解法，极大地丰 富了诞生不久的微分方程理论；欧拉研究了微分方程的幂级数解法，从而解决了一大批不能 用通常积分求解的微分方程；欧拉导出了一维、二维和三维的波动方程，并对平面波、柱面 波和球面波等各类偏微分方程的解作了分类和研究；欧拉在变分法方面的成果，也标志了变 分法作为一个新的数学分支的诞生，为日后的发展奠定了重要的基础。 在数论研究方面，欧拉的工作也具有举足轻重的地位。在费马开辟的道路上，欧拉几乎 走完了它的全程，其中最富于首创精神、并能引出最多成果的发现要数二次互反律了。欧拉 对二次互反律进行了深入的探讨并作出清楚的叙述，这已成为近代数论的重要内容。 欧拉在初等数学领域也花费了不少心血。《无穷小分析引论》是数学史上第一本沟通微积 分与初等数学的杰作，被看作现代意义下的第一本解析几何教程；《对代数的完整介绍》系统 总结了16世纪中期开始发展的代数学理论，它的出版标志了初等代数发展史的基本结束。 欧拉是一个十分注重数学应用的人。他把数学应用于物理领域，在力学、热学、声学、 光学等物理分支中“频奏凯歌”；他把数学应用于天文研究，创立了关于月球运动的第二种理 论；他把数学应用于航海、造船、生物等工程，都卓有成效。 要知道，许多重要成果是在他双目失明、心力交瘁的情况下取得的。这不能不引发我们 更崇高的敬意！ 每一个人都希望度过一个成功的、满载鲜花和荣誉的一生，一个充实的、为后人所赞美 的一生。但应该记住，这是以为之付出的巨大牺牲为代价的。 1727～1741年，欧拉是在俄国彼得堡科学院度过的。这里的研究条件并不很优越，特别 是俄罗斯的严寒气候更使欧拉不适应。冬天来临，室外是白雪皑皑、寒风阵阵，屋内也是冷 冷清清，在欧拉的房内，最显眼的是一长排书籍和一张宽大的写字桌。渴了，喝几口开水； 饿了，啃几口面包。欧拉不知疲倦地读啊，写啊，经常是通宵达旦，昏暗的灯光下，身裹羊 皮袄的欧拉一会儿皱眉思考，一会儿奋笔疾书，并不时地用凉水拂面，刺激一下麻木的神 经„„辛勤的汗水换来了一个个令人鼓舞的成就。但是，过度的劳累和紧张使欧拉染上眼疾， 并导致右眼失明。此时欧拉只有28岁，事业刚刚开始呀！医生和朋友一致劝说，为了保住左 眼，欧拉应该少用眼睛，甚至应该停止数学研究。但欧拉婉言拒绝了，他知道，数学上还有 那么多“堡垒”有待于自己去攻克，他不能放弃自己的事业和追求！欧拉用一只眼睛“审视” 了数学的大部分领域，并给出许多最重要的结果。正当欧拉的思想日趋成熟、准备著书立说 时，厄运又向他袭来：左眼完全失明。这样，欧拉只能在双目失明中生活、工作。 欧拉是坚强的，他没有因为双目失明而失去进取的勇气。繁琐的计算、大量的推演，对 一个耳聪目明的人来说，也是一件艰难的工作。欧拉的困难是可想而知的，他必须付出双倍 的努力和心血来完成他的事业。《积分学原理》（1～3卷）、《代数指南》等专著终于相继出版了，欧拉捧着散发着油墨味的新书激动不已，是啊，这不仅系统总结了过去的成就，而且也 充分证明，自己战胜了双目失明的劫难！ 祸不单行。正当欧拉在黑暗中跨出了他的研究步伐时，又一个沉重的打击向他袭来。1771 年，彼得堡一场大火，把欧拉的住地团团围住。欧拉的生命受到威胁，千钧一发之际，家人 冲进火海把他背出，使欧拉幸免一死。然而，欧拉的书屋及大批研究资料被毁于一旦。年愈 花甲、双目失明的老人再次面临严重的打击和考验！ 欧拉能经得住这样的打击吗？能！他要与命运拼搏，为事业做出毕生的努力，一切从头 开始，因此欧拉也没有时间去伤心、落泪了。凭着坚强的意志和惊人的毅力，欧拉不断回忆 着记忆中的公式和定理，大火后的 10余年间，他仍著述了400篇左右的论文和10余部著作， 而且还进行着难度很高的研究。其中的辛苦，谁人知晓？付出的心血，又如何计量？ 事倍功半犹进取，以勤补劣方显荣。朋友们，开拓者之路崎岖不平，随时随处都会有天 灾人祸的打击，但只要加倍努力，勇敢进取，成功一定是我们的！ 高尚的人 作为数学家，欧拉的身影是高大的，然而，作为一个人，一个普通的人，欧拉的形象更 高大。拉普拉斯撰文说：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们一切人的老师！” 欧拉品德高尚。他曾与欧洲的300多名学者通信，在信中，经常毫不保留地把自己的发 现和推导告诉别人，为别人的成功创造条件；用自己的闪光思想，照耀他人深入探索的道路。 欧拉曾苦心思索过“等周问题”的解法，对此已经取得较成熟的结果，正当欧拉付梓成文、 即将发表之际，收到法国青年拉格朗日的来信。信中也恰好讨论了“等周问题”，虽然这位法 国青年的思路颇具特色，但其结论远未达到欧拉的研究深度。为了鼓励年轻人可贵的探索精 神，欧拉毅然抽掉自己即将面世的文稿，并给拉格朗日写了一封热情洋溢的回信，充分肯定 了拉格朗日的思路和方法，提出许多宝贵的建议。拉格朗日的这篇文章终于产生较大影响， 使这位法国青年在数学界崭露头角。 欧拉以为人谦逊、待人真诚著称。兰伯特是一个难与人相处的人，他“过于自信地估价 自己”，显然不是与欧拉意气相投的人。但由于欧拉谦虚的品格和与人为善的真诚态度，使他 能正确地估价和对待兰伯特。 兰伯特发表了不少文章和专著。但这些课题大多是由于受到欧拉的启发，或者直接在欧 拉已有成果的基础上展开的。对此，欧拉都以开阔的胸襟，予以关心和支持。他不仅多次主 动地提醒兰伯特留心科学发展中值得注意的事情，而且还不顾眼疾痛疼亲自审阅、修改兰伯 特的文稿，为之补遗堵漏，付出了很大的心血。 欧拉还是位热心的教育家。他不仅亲自动手为青少年编写数学课本，撰写通俗科学读物， 还常常抽空到大学、中学讲课。即使是在双目失明后，仍不遗余力地编写《关于代数学的全 面指南》。天灾人祸，动摇不了这位数学巨人献身数学的决心，也改变不了他乐于助人、甘为 人梯的品格。酿得百花成蜜后，甘付辛苦为人甜，这正是欧拉品德的真实写照！ 1783年9月18日，欧拉“停止了生命，也停止了计算”。渊博的知识、高尚的品德、顽 强拼搏的精神斗志，连同他的伟大成就永载史册！