2015年高考浙江理科数学试题及答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年浙江，理1】已知集合 ， ，则 （  ） （A）             （B）         （C）           （D） 【答案】C 【解析】 ， ， ，故选C． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （2）【2015年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（    ） （A）     （B）       （C）         （D） 【答案】C 【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱锥底面边长2，高为2，所以该几何体的体积 ，故选C． 【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力． （3）【2015年浙江，理3】已知 是等差数列，公差 不为零，前 项和是 ，若 成等比数列， 则（  ） （A）   （B）   （C）   （D） 【答案】B 【解析】因为 成等比数列，所以 ，化简得 ， ，故选B． 【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前 项和，是基础题． （4）【2015年浙江，理4】命题“ 且 的否定形式是（  ） （A） 且           （B） 或 （C） 且         （D） 或 【答案】D 【解析】全称命题 ， 的否定是 ， ，所以命题的否定为： ， 或 ，故选D． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． （5）【2015年浙江，理5】如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的 点 ，其中点 在抛物线上，点 在 轴上，则 与 的面积之比是（  ） （A）       （B）       （C）       （D） 【答案】A 【解析】如图所示，抛物线的准线 的方程为 ，又由抛物线定义知 ， ， ， ， ，故选A． 【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键． （6）【2015年浙江，理6】设 是有限集，定义 ，其中 表示有限 集A中的元素个数（  ） 命题①：对任意有限集 ，“ ”是“ ”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集 ， ． （A）命题①和命题②都成立                （B）命题①和命题②都不成立 （C）命题①成立，命题②不成立           （D）命题①不成立，命题②成立 【答案】A 【解析】由题意， ，命题①： ， ，命题①成立． 命题②：由维恩图易知命题②成立，下面给出严格证明： ，因为 且 ，故命题②成立，故选A． 【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题． （7）【2015年浙江，理7】存在函数 满足，对任意 都有（  ） （A）   （B）   （C）   （D） 【答案】D 【解析】选项A：当 时， ；当 时， ； 选项B：当 时， ；当 时， ； 选项C：当 时， ；当 时， ；或 为偶函数，然而 并不是偶函数； 选项D： ，令 得 ， ，再令 ，则 ， ，故函数 可以满足要求，故选D． 【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难． （8）【2015年浙江，理8】如图，已知 ， 是 的中点，沿直线 将 折成 ， 所成二面角 的平面角为 ，则（  ） （A）     （B）     （C）   （D） 【答案】B 【解析】解法一： 考查特殊值，用排除法，若 ，则当 时， ，排除D，当 时， ， ，排除A，C，故选B． 解法二： ①当 时， ； ②当 时，如图，点 投影在 上， ，连接 ，易得 ， ，即 ． 综上所述， ，故选B． 【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． （9）【2015年浙江，理9】双曲线 的焦距是      ，渐近线方程是          ． 【答案】 ； 【解析】 ， ，焦距 ， 焦距为 ，渐近线 ． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． （10）【2015年浙江，理10】已知函数 ，则       ， 的最小值是      ． 【答案】0； 【解析】 ；当 时， （当 时取最小值）当 时取最小值，当 时， ， ， 的最小值为 ． 【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题． （11）【2015年浙江，理11】函数 的最小正周期是      ，单调递减区间是        ． 【答案】 ； 【解析】 ，所以最小正周期 ； 单调递减区间： ，化简得 ， 单调递减区间： ． 【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． （12）【2015年浙江，理12】若 ，则           ． 【答案】 【解析】由 可知 ，即 ，所以 ． 【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题． （13）【2015年浙江，理13】如图，三棱锥 中， ， ，点 分别是 的中点，则异面直线 所成的角的余弦值是        __． 【答案】 【解析】取 的中点 ，因为 ，则 为异面直线 ， 所成的角． ， ， ，又 ， ， ． 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （14）【2015年浙江，理14】若实数 满足 ，则 的最小值是          ． 【答案】 【解析】 ， ，即 ， 如图，直线 将直线 分成了两部分： ①在阴影区域内的 满足 ，即 ， 此时 ， 利用线性规划可知在 处取得最小值3； ②在阴影区域外的 满足 ，即 ， 此时 ， 利用线性规划可知在 处取得最小值3． 综上，当 ， 时， 的最小值为3． 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题． （15）【2015年浙江，理15】已知 是空间单位向量， ，若空间向量 满足 ，且对于任意 ， ，则       ，       ，       ． 【答案】 ， ， ． 【解析】 ， ，不妨设 ， ， ，则由题意知 ， ，解得 ， ， ， ， ，由题意，当 ， 时， 取到最小值1，此时 ，故 ． 【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题． 三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）【2015年浙江，理16】（本小题满分14分）在 中，内角 所对边分别为 ．已知 ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 的面积为7，求 的值． 解：（Ⅰ）由 及正弦定理得 ，故 ．又由 ，即 ， 得 ，解得 ． （Ⅱ）由 得 ， ，又 ，故 ，由正弦定理得 ，又 ， ，故 ，故 ． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （17）【2015年浙江，理17】（本小题满分15分）如图，在三棱柱 中， ， ， ， 在底面 的射影为 的中点， 为 的中点． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值． 解：解法一： （Ⅰ）设 为 的中点，连 ．由题 平面 ，故 ．因 ，故 ， 从而 平面 ．由 分别 的中点，得 且 ， 从而 ，且 ，所以 为平行四边形，故 ．又 平面 ， 故 平面 ． （Ⅱ）作 于 ，连 ，由题 ， ，得 ． 由 ， ，得 ．由 ，得 ，因此 为二面角 的平面角．由 ， ， ，得 ， ，由余弦定理得 ． 解法二： （Ⅰ）如图，以 中点为原点 ， 方向为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方 向，建立空间直角坐标系． ， ， ，易知 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，又 ， ，又 ， 平面 ． （Ⅱ）设平面 的法向量为 ，知 ， ，则 取 ，设平面 的法向量为 ，则 ， ，则取 ， ， 又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为 ． 【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题． （18）【2015年浙江，理18】（本小题满分15分）已知函数 ，记 是 在区间 上的最大值． （Ⅰ）证明：当 时， ； （Ⅱ）当 满足 ，求 的最大值． 解：（Ⅰ）由 ，得对称轴为直线 ，由 ，得 ， 故 在 上单调，因此 ． 当 时， ，故 ， ，即 ；当 时， ，故 ， ，即 ．综上，当 时， ．                              （Ⅱ）由 得 ， ，故 ， ， 由 ，得 ．当 ， 时， ，且 在 的最大值为2，即 ，故 的最大值为3． 【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解 是 在区间 上的最大值，以及利用三角不等式变形． （19）【2015年浙江，理19】（本小题满分15分）已知椭圆 上两个不同的点 关于直线 对称． （Ⅰ）求实数 的取值范围； （Ⅱ）求 面积的最大值（ 为坐标原点）． 解：（Ⅰ）由题知 ，可设直线 ： ，代入椭圆方程并整理得 ． 因直线 与椭圆 有两个不同的交点，故 ①．将 中点 代入直线方程 得 ②．由①②得 或 ． （Ⅱ）令 ，则 ，且 到 的距离为 ，故 的面积 ，当且仅当 时，等号成立，故 面积的最大值为 ． 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． （20）【2015年浙江，理20】（本小题满分15分）已知数列 满足 且 ，数列 的前 项和为 ，证明： （Ⅰ） ； （Ⅱ） ． 解：（Ⅰ）由题 ，即 ，故 ． 由 得 ， 故 ，从而 ，即 ． （Ⅱ）由题 ，故 ①．由 和 得， ， 故 ，因此 ②， 由①②得 ． 【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．