二次函数与几何综合压轴题题型归纳

二次函数与几何综合压轴题题型归纳 二次函数与几何综合压轴题题型归纳 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 22，，，，AB,y,y，x,x1、两点间的距离公式: ABAB ，，xxyy,,ABABC2、中点坐标:线段AB的中点的坐标为: ，,,22,, 直线()与()的位置关系: y,kx，bk,0y,kx，bk,0111222 (1)两直线平行且 (2)两直线相交k,kb,bk,k,, 121212 (3)两直线重合且 (4)两直线垂直 k,kb,bkk,,1,,1212123、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下: ,? 用和参数的其他确定参数的取值范围; ? 解方程，求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ? 求解:若是分式，分母是分子的因数;若是二次根式，被开方式是完全平方式。 22m,5例:关于的一元二次方程有两个整数根，且为整数，求的值。 xmm，，x,2m，1x，m,0 4、二次函数与轴的交点为整数点问题。(方法同上) x 2 例:若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定，，y,mx，3m，1x，3 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 2xmm 已知关于的方程(为实数)，求证:无论为何值，方程总mxmxm,,，,,3(1)230 有一个固定的根。 m,0x,1解:当时，; 3m,1,,3，，2m,0x2x,,,x,1 当时，，，、; ，，,,m,3,012m2m 1 综上所述:无论为何值，方程总有一个固定的根是1。 m 6、函数过固定点问题，举例如下: 2已知抛物线(是常数)，求证:不论为何值，该抛物线总经过一个固mmy,x,mx，m,2 定的点，并求出固定点的坐标。 2解:把原解析式变形为关于的方程; m，，y,x，2,m1,x 2, y,,1 y,x，2,0,? ，解得:; ,,x 1,,0 x,1,, ? 抛物线总经过一个固定的点(1，,1)。 2(题目要求等价于:关于的方程不论为何值，方程恒成立) mm，，y,x，2,m1,x a,0,ax,b小结:关于的方程有无数解 x,,(( b,0, 7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴) NAM，MN(1)如图，直线AM、，点在上，分别在、上确定两点、，使得之lllll22211和最小。 NABM(2)如图，直线、相交，两个固定点、，分别在、上确定两点、，使得llll2211BM，MN，AN之和最小。 A、BllEFEFa(3)如图，是直线同旁的两个定点，线段，在直线上确定两点、(在的 AEFB左侧 )，使得四边形的周长最小。 2 8、在平面直角坐标系中求面积的方法: 直接用公式、割补法 29、函数的交点问题:二次函数()与一次函数() y,kx，hy,ax，bx，c 2, y,ax，bx，c (1)解方程组可求出两个图象交点的坐标。 , y,kx，h, 2, y,ax，bx，c2, (2)解方程组，即，通过可判断两个图象的交点，，ax，b,kx，c,h,0, y,kx，h, 的个数 ,,0, 有两个交点 ,,0, 仅有一个交点 ,,0, 没有交点 10、方程法 (1)设:设主动点的坐标或基本线段的长度 (2)示:用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 (3)列方程或关系式 11、几何分析法 特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时， 利用几何分析法能给解题带来方便。 几何要求 几何分析 涉及公式 应用图形 平行四边形 y,y跟平行有关的12k,、 l?l,k,k平移 矩形 1212图形 x,x12梯形 勾股定理逆定理 直角三角形 跟直角有关的利用相似、全等、平22直角梯形 ，，，，AB,y,y，x,x ABAB图形 行、对顶角、互余、矩形 互补等 等腰三角形 跟线段有关的利用几何中的全等、22全等 ，，，，AB,y,y，x,x ABAB图形 中垂线的性质等。 等腰梯形 利用相似、全等、平跟角有关的图行、对顶角、互余、 形 互补等 3 【例题精讲】 y 一 基础构图: 2y=(以下几种分类的函数解析式就是这个) x,2x,3 ?和最小，差最大 在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标 B O A x C D y ,ACP?求面积最大 连接AC,在第四象限内的抛物线上找一点P，使得面积最大，求出P坐标 B O A x C D ,ACP? 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为直角三角形， y 求出P坐标或者在抛物线上求点P，使?ACP是以AC为直角边的直角三角形( B x O A C ,ACP? 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为等腰三角形， D 求出P坐标 y ? 讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上， B O A x 且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标 C D 4 二 综合题型 2 例1 (中考变式)如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。y,,x，bx，c 交Y轴于C (1)求该抛物线的解析式与?ABC的面积。 (2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使?MBC是以?BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由 (3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L， 求L关于X的函数关系式,关写出X的取值范围, 当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标, (4)在(5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形, (5)在(5)的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大, 5 例2 考点: 关于面积最值 如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(1，0)、(0，,3)，点B在x轴上(已知某, 二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x,1，点P为直线BC下方的二次函数图 象上的一个动点(点P与B、C不重合)，过点P作y轴的平行线交BC于点F( (1)求该二次函数的解析式; y (2)若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长; (3)求?PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标( x A O B F C P x,1 例3 考点:讨论等腰 21如图，已知抛物线yx ，bx，c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为(2，0)，,2 点C的坐标为(0，,1)( 1)求抛物线的解析式; ( (2)点E是线段AC上一动点，过点E作DE?x轴于点D，连结DC，当?DCE的面积最大时，求 点D的坐标; 3)在直线BC上是否存在一点P，使?ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，( y 说明理由( y x B O A D C x B O A E C 备用图 例4考点:讨论直角三角 ? 如图，已知点A(一1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上 6 确定点P，使得?ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有( )( (A)2个 (B)4个 (C) 6个(D)7个 211? 已知:如图一次函数yx，1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B;二次函数yx，,, 22 1bx，c的图象与一次函数yx，1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，,2 0) (1)求二次函数的解析式; (2)求四边形BDEC的面积S; (3)在x轴上是否存在点P，使得?PBC是以P为直角顶点的直角三角形,若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由( y C 2 B x D E A O :讨论四边形 例5 考点2已知:如图所示，关于x的抛物线yax ，x，c(a?0)与x轴交于点A(2，0)，点B(6，0)，,, 与y轴交于点C( (1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标; (2)在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式; (3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q(是 否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形,如果存在，请直接写出点Q的坐标;如果不 存在，请说明理由( y C x A O B 7 8