数学数列公式数学数列公式
公式 Sn=(a1+an)n/2
Sn=na1+n(n-1)d/2; (d为公差)
Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)
和为 Sn
首项 a1
末项 an
公差d
项数n
通项
首项=2×和?项数-末项
末项=2×和?项数-首项
末项=首项+(项数-1)×公差
项数=(末项-首项)(除以)/ 公差+1
公差=如:1+3+5+7+„„99 公差就是3-1
d=an-a
性质:
若 m、n、p、q?N
?若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
?若m+n=...
数学数列公式
公式 Sn=(a1+an)n/2
Sn=na1+n(n-1)d/2; (d为公差)
Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)
和为 Sn
首项 a1
末项 an
公差d
项数n
通项
首项=2×和?项数-末项
末项=2×和?项数-首项
末项=首项+(项数-1)×公差
项数=(末项-首项)(除以)/ 公差+1
公差=如:1+3+5+7+„„99 公差就是3-1
d=an-a
性质:
若 m、n、p、q?N
?若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
?若m+n=2q,则am+an=2aq
注意:上述公式中an示等差数列的第n项。
扇形面积公式
R是扇形半径,n是弧所对圆心角度数,π是圆周率
也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n
S=nπR^2/360
S=1/2LR
(L为弧长,R为半径)
S=1/2|α|r平方
一(方差的概念与计算公式
例1 两人的5次测验成绩如下:
X: 50,100,100,60,50 E(X )=72;
Y: 73, 70, 75,72,70 E(Y )=72。
平均成绩相同,但X 不稳定,对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是
消除符号影响
方差即偏离平方的均值,记为D(X ):
直接计算公式分离散型和连续型,具体为:
这里 是一个数。推导另一种计算公式
得到:“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
其中,分别为离散型和连续型计算公式。 称为差或均方差,方差描述波动
二(方差的性质
1(设C为常数,则D(C) = 0(常数无波动);
2( D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);
证:
特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)
3(若X 、Y 相互独立,则
证:记
则
前面两项恰为 D(X )和D(Y ),第三项展开后为
当X、Y 相互独立时,
,
故第三项为零。
特别地
独立前提的逐项求和,可推广到有限项。
方差公式:
平均数:M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示这组数据个数,x1、x2、x3……xn表示这组
数据具体数值)
方差公式:S²=〈(M,x1)²+(M,x2)²+(M,x3)²+…+(M,
xn)²〉?n
三(常用分布的方差
1(两点分布
2(二项分布
X ~ B ( n, p )
引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数,服从两点分布)
,
3(泊松分布(推导略)
4(均匀分布
另一计算过程为
5(指数分布(推导略)
6(正态分布(推导略)
7.t分布 :其中X~T(n),E(X)=0;D(X)=n/(n-2);
8.F分布:其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);
~
正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度,即波动程度(随机波动),这与图形的特征是相符的。
例2 求上节例2的方差。
解 根据上节例2给出的分布律,计算得到
工人乙废品数少,波动也小,稳定性好。
方差的定义:
设一组数据x1,x2,x3??????xn中,各组数据与它们的平均数x(拔)的差的平方分别是(x1-x拔)²,(x2-x拔)²??????(xn-x拔)²,那么我们用他们的平均数s2=1/n【(x1-x拔)²+(x2-x拔)²+?????(xn-x拔)²】来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差。
1(排列及计算公式
从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个
个元素的不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m?n)所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)„„(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).
2(组合及计算公式
从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m?n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号
c(n,m) 表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);
3(其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数,p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列(Pnm(n为下标,m为上标))
Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n~/(n-m)~(注:~是阶乘符号);Pnn
(两个n分别为上标和下标) =n~;0~=1;Pn1(n为下标1为上标)=n
组合(Cnm(n为下标,m为上标))
Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n~/m~(n-m)~;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;
Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m
1. y=c(c为常数) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/?1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/?1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
等差数列公式an=a1+(n-1)d
a1为首项,an为第n项的通项公式,d为公差
前n项和公式为:Sn=na1+n(n-1)d/2
Sn=(a1+an)n/2
若m+n=p+q则:存在am+an=ap+aq
若m+n=2p则:am+an=2ap
以上n.m.p.q均为正整数
文字翻译
第n项的值an=首项+(项数-1)×公差
前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2
公差d=(an-a1)?(n-1)
项数=(末项-首项)?公差+1
数列为奇数项时,前n项的和=中间项×项数
数列为偶数项,求首尾项相加,用它的和除以2
等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列
通项公式
公差×项数+首项-公差
椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
c1c2clone依据某定理,
定理内容如下
:
如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k,那么甲面积是乙面积的k倍。
那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的面积为π * a^2 * b/a=πab
c1c2clone在此倡议网友编辑公式的其他推导
因为两轴焦点在0点,所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分,分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域,所以只要求出一个象限间所夹的面积,然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。拣最简单的来吧,先求第一象限所夹部分的面积。 根据定积分的定义及图形的性质,我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形,整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。现在应用元素法,在图 形中任找取一点,然后再取距这点距离无限近的另一个点,这两点间的距离记做dx,然后取以dx为底边,两点分别对应的y为高,与曲线相交够成的封闭的小矩 形的面积s,显然,s=y*dx 现在求s的定积分,即大图形的面积S,S=?[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分 步骤:(第一象限全取正,后面不做说明) S=?[0:a]ydx=?[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 设 x^2/a^2=sin^2t 则 ?[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=?[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圆周率 ?[0:pi/2]b*cost
d(a*sint)=?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt
=[a*b*t](0:pi/2)-?[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 这里需要用到一个公式:
?[0:pi/2]f(sinx)dx=?[0:pi/2]f(cosx)dx 证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则 ?[0:pi/2]f(sinx)dx=?[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)=
-?[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=?[0:pi/2]f(sinu)du=?[0:pi/2]f(sinx)dx 则?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt
=[a*b*t](0:pi/2)-?[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*(pi/2)-?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么
2*?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*(pi/2) 则S=a*b*(pi/4) 椭圆面积S_c=a*b*pi 可见椭圆面积与
坐标无关,所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置,其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以
圆周
所谓三角函数诱导公式,就是将角n?(π/2)?α的三角函数转化为角α的三角函数。
公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα k?z
cos(2kπ+α)=cosα k?z
tan(2kπ+α)=tanα k?z
cot(2kπ+α)=cotα k?z
公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=,sinα
cos(π+α)=,cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(,α)=,sinα
cos(,α)=cosα
tan(,α)=,tanα
cot(,α)=,cotα
公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π,α)=sinα
cos(π,α)=,cosα
tan(π,α)=,tanα
cot(π,α)=,cotα
公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π,α)=,sinα
cos(2π,α)=cosα
tan(2π,α)=,tanα
cot(2π,α)=,cotα
公式六: π/2?α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=,sinα
tan(π/2+α)=,cotα
cot(π/2+α)=,tanα
sin(π/2,α)=cosα
cos(π/2,α)=sinα
tan(π/2,α)=cotα
cot(π/2,α)=tanα
推算公式:3π/2?α与α的三角函数值之间的关系:
sin(3π/2+α)=,cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=,cotα
cot(3π/2+α)=,tanα
sin(3π/2,α)=,cosα
cos(3π/2,α)=,sinα
tan(3π/2,α)=cotα
cot(3π/2,α)=tanα
诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。
“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n?(π/2)?α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。
符号判断口诀:
“一全正;二正弦;三两切;四余弦”。这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“,”; 第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“,”; 第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“,”。
“ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。
韦达定理公式:
一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中
设两个根为x和y
则x+y=-b/a
xy=c/a
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个n次方程?AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
?Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
?XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
?Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中?是求和,?是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是,那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
定理的证明
设,是一元二次方程的两个解,且不妨令。根据求根公式,有
,
所以
,
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。
(1)等比数列的通项公式是:An=A1×q^(n,1)
若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n?N*),当q,0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
(2) 任意两项am,an的关系为an=am?q^(n-m)
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1?an=a2?an-1=a3?an-2=„=ak?an-k+1,k?{1,2,„,n}
(4)等比中项:aq?ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
(5) 等比求和:Sn=a1+a2+a3+.......+an
?当q?1时,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)?(1-q)
?当q=1时, Sn=n×a1(q=1)
记πn=a1?a2„an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
积化和差,指初等数学三角函数部分的一组恒等式。
公式
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
证明
法1
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明:
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
其他的3个式子也是相同的证明方法。
(该证明法逆向推导可用于和差化积的计算,参见和差化积)
法2
根据欧拉公式,e^ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
记忆方法
积化和差公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了特点各自的简单记忆方法。
【1】这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1],其和差的值域应该 是
[-2,2],而积的值域确是[-1,1],因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数
2,如:
cos(α-β)-cos(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。
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