【doc】平面凸四边形的一个恒等式

【doc】平面凸四边形的一个恒等式 平面凸四边形的一个恒等式 中学数学杂志2011年第5期乏{髫彩g锟 3.4悉心启发,让知识从学生的头脑中流淌出来 南京师范大学涂荣豹教授指出:"数学教学启 发的最主要也是最基本的方法,是运用'元认知揭 示语'发问……从用隐蔽性强的弱暗示提示语进行 启发,到用隐蔽性逐步减弱的强暗示提示语进行启 发,用这样的'分级提问'来达到对不同层次的引 导."笔者的理解是,提问应当从"元认知"提问 出发,"由远及近":让学生思考一段时间,然后教师 提出一个稍接近目标的问,再让学生思考,然后教 师再提出更接近目标的问题……使全体学生都得 到思考与思维的发展,让知识从学生的头脑中自然 流淌出来. 本节课的教学,笔者把对学生启发引导的 提示语作为备课的重要内容之一,尝试设计从"元 认知"提问开始的分级提问.比如,在数列概念的引 入过程中,当给出一组问题情境之后,笔者的提问语 是:"考察这一组问题,你看出什么,想到了什么 —— 这些问题有何共同特点——从数学的角度观 察思考——问题的主要对象是什么,有何共同特点 —— 去掉"依次"会怎样——什么叫一定顺序,交 换其中两个不同的数,是否发生改变……"力求由 暗及明,由远及近,阶梯递进,使全体学生都能够得 到思考与探究的机会. 4结束语 不教而教,学生皆谓"我自然",是教学追求的最 高境界.教学设计要立足学生学习的实际,把准学生 学习的"最近发展区",让学生在知识自然生长的状态 下进行数学学习.学生已有的认知基础怎样,有怎样 的学习倾向,数学知识的生长点在哪……在充分了 解学生的基础上,设计以学生为主体的,满足学生自 我发展需求的活动过程,使教学设计反璞归真,才能 构建和谐"绿色"课堂,教学过程才可能自然而然 参考文献 [1]严士健,张奠宙,王尚志主编.普通数学课程标准 (实验)解读[M].南京:江苏教育出版社,2004. [2]曹才翰,章建跃.数学教育心理学[M京:北京师范 大学出版社,1999. [3][德]菲利克斯?克莱因着,舒湘芹等译.高观点下的 初等数学[M].上海:复旦大学出版社,2010. [4]涂荣豹.谈提高对数学教学的认识[J].中学数学教学 参考,2006,l,2 [5]单蝉主编.普通高中课程标准实验教科书(必修)?数 学5[M].南京:江苏教育出版社,2005. [6]张景中,陈民众主编.普通高中课程标准实验教科书 (必修)?数学第一册[M].长沙:湖南教育出版社, 2005. 作者简介渠东剑(1962一),男,江苏省丰县人,江苏 省南京市秦淮区教学研究室中学数学教研员,中学高级教 师,江苏省特级教师.在省级以上发教育教学论文50余 篇.研究方向:新课程背景下区域教研与教师专业发展. 平面凸四边形的一个恒等式 福建省福州第二十四中学350015杨学枝 下面两个定理是大家所熟悉的: 定理1平面凸四边形ABCD的四边长为AB= 以,BC=b,CD=C,DA=d,面积为,则当此四边形 ABCD内接于圆时,其面积最大,即有 4S?(一口+b+c+d)(?一b+c+d)(?+6一f+州?+6+d)(1), 当且仅当四边形ABCD内接于圆时,式(1)取 等号. 定理2平面凸四边形ABCD的四边长为AB= n,BC=b,CD:c,DA=d,对角线长为AC=,BD :Y,贝0xy?口e+6cf(2), 当且仅当四边形ABCD内接于圆时,式(2)取 等号. (2)式即为托罗密不等式,取等号就是圆内接 四边形的托罗密等式. 有趣的是,这里我们给出的一个恒等式,它将式 (1)和式(2)两式紧密地联系起来了. 定理3设ABCD是平面凸四边形,面积为S, 记AB=,BC=b,CD=c,DA=d, AC:,BD=,,,则16S.+(?2). =4(ab+bc+cd+d口+X2y2)(3). 中学数学杂志2011年第5期 证明我们应用向量的 方法证明.下文中用"×"和 鼍?,,分别表示向量的外积和 内积_如图,记AABC和 全A的面积分别为s,和s,.上J 则 D C 16.s;;2aZb.4-2aX2+2b一a一b一?, 16S;=2c2d+2c+2d一c4一一4(. ————————————— 32Sl?S2=8(ABXAC)?(AC×AD) =8(AB?AC)?(AC?AD)一8(AB?AD)?AC (根据向量混合积计算公式) =2(AB+Ac2一BC).(AC+AD一CD) 一 4(AB+AD一BD).AC (根据向量内积计算公式) =24+4x22—2(口2+b+c.+d.) +2a2d+2bc一2a2c一2bd. 即32S1?S2=2x4+4xY一2x(口+b+c+d) +2ad+2bc一20.c.一2bd?. 由以上?,?,?三式左右两边分别相加并整 理,即得到定理3中的恒等式(3), (3)式又可以写作:. 16S+(a一b+c一d3).=4(xy)2(4). 由定理L和定理3即可推出定理2中的(2)式; 由定理2和定理3即可推出定理1中的(1)式(请读 者自行验证)., 另外,我们应用(3)式还可以很方便地解答以 下问题: 1.已知ABCD是平面凸四边形,AB=a,flC= b,CD=c,DA=d,AC=e,试求对角线BD长 2.已知ABCD是圆内接凸四边形,AB=a,BC= b,CD=c,DA=d,试求圆内接四边形ABCD面积 注意应用圆内接四边形的托罗密定理,即若对 角线AC=.Tf,BD=Y,贝0xy=ac+6d. 3.已知ABCD是平面凸四边形,AB=a,BC= b,CD=c,DA=d,面积为Js,对角线AC与肋夹角 为Ol,求证:la一b+cdl=4Start 注意应用式(3)的等价式(4). 固稚《勿诙一个住质的褂证与另证 上海市杨浦区彰武路同济新村224号甲200092姜坤崇 文[1]将2009年湖北省数学试题文(20) 关于抛物线的一个性质推广到了整个圆锥曲线,得 到如下结论: 定理过圆锥曲线c的焦点F的直线与圆锥 曲线相交于,?两点,自M,N向准线,作垂线,垂 足分别为1,?1,记AFMM,,AFMlNl,AFNN1的 面积分别为.s.,.s:,.s.,则S;=4S?S,. 这是圆锥曲线一个统一的优美性质,其证明方 法很多,可以用解析法,也可以用平面几何的方法. 文[1]使用平面几何的方法,借助以下引理给出了 定理的证明.' 引理已知圆锥曲线C的一条焦点弦MN被焦 点F分成MF,?F,其长分别为m,n,焦点F到其相 应准线Z的距离为P,圆锥曲线的离心率为e,则有三 : (+).. m凡 笔者在认真拜读了文[1]之后,发现以上引理 24 及定理的证明均漏掉了一种情形,即在双曲线中当 点,?分别位于两支上的情形.为此,本文先对以 上引理进行完善,然后再对定理进行补证. 引理1已知圆锥曲线c的一条焦点弦MN被 焦点F分成MF,?F,其长分别为m,17,,焦点F到其 相应准线的距离为P,圆锥曲线的离心率为e, (1)若C为抛物线,椭圆,或双曲线且,J7v在 同一支上,则=(土十)e; pmn (2)若C为双曲线且,?在异支上,则= P 一 , 证明对于(1),文[1]已证. (2)如图1,M,N在双曲线C的异支上,不妨设 点?在焦点F所对应的一支上,则MF=m>n= ?又设,?在准线上的射影分别为,?1,F在 直线MM上的射影为A,?,?l在焦点轴Z上的射影