★f(n)是定义在正整数上且取值为非负整数的函数

★f(n)是定义在正整数上且取值为非负整数的函数 教师之家 Www.Teacher910.Com 第23届 1. f(n)是定义在正整数上且取值为非负整数的函数，f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333，并对所有m,n有f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 或 1。试求出f(1982)。 2. A1A2A3是不等腰三角形，其三边为a1, a2, a3 ，其中ai 是角 Ai的对边， 设 Mi 是边 ai 的中点，Ti是三角形的内切圆在边 ai上的切点，记Si为点 Ti 关于内角Ai的角平分线的对称点，求证线M1S1, M2S2 和M3S3共点。 3. 考虑无限正实数序列 {xn} 满足x0 = 1 及 x0 >= x1 >= x2 >= ... ， a. 求证对每个这样的序列都有存在一个n >= 1使得 x02/x1 + x12/x2 + ... + xn-12/xn >= 3.999. b. 试寻找一个这样的序列使其满足 x02/x1 + x12/x2 + ... + xn-12/xn < 4 对所有n成立。 4. n使正整数，求证如果方程 x3 - 3xy2 + y3 = n有关于整数x,y的一个解，则其至少有三个解;当n=2891时再证明这个方程无整数解。 5. 正六边形ABCDEF的对角线AC、CE上分别有分点M、N并且 AM/AC = CN/CE = r，如果B、M、N共线，试求r的值。 6. 设S是边长为100的正方形，L是在S内部不自交的系列线段A0A1, A1A2, A2A3, ... , An-1An 并且A0 与 An不重合。已知对于每一个在S边界上的点P，L中存在一个点与P之间的距离不大于1/2。求证:L中存在两点X、Y，X与Y的距离不大于1，并且L上位于X和Y之间的部分不少于198。 教师之家 Www.Teacher910.Com