排列组合总结

排列组合总结 排列组合常用基本： 一、 原始原理法：根据加法原理和乘法原理，按特定元素、特定位置等，分步分类计算，遇到不同情况，就再分细一些，总能算出来。 二、 排列组合公式：加法和减法 排列组合常用小技巧 一、 概率法 ***一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？ 分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即A=360种 ***用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中， （1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？ （2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？  解（1）（2） 二、容斥原理 三、插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 ***在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有=100中插入方法。 ***身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？ 解：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一共有A44种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有C53种方法．根据分步计数原理，一共有A44*C53＝240种方法． 四、捆绑法  当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 ***4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：×=576 ***某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列） 五、先选后排法 ***有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（  ）A.1260种                B.2025种                C.2520种                D.5054种 分析：C102 * C81 * C71= C104 * C42 *C21 ***先分类后分步：求用1、2、3、4、5这5个数字可组成多少个比30000大，且百位数字不是3的无重复数字的偶数？ ***先组合再排列：求有多少个恰好含有2个偶数数码的无重复数字的五位整数？ 排列组合公式： 3.组合数公式： （适用于计算） 又  ，所以  （适用于证明） 4、组合数的性质： 性质1：                    性质2： 规定： 排列数公式： 排列组合固定问题： 一、隔板问题： 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采隔板法 解决方法：1、原始原理法；2、公式法。n和m：C(n-1)(m-1)  当最小为1时； 或C(n+m-1)(m-1)  当最小为0时。 ***某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配共    种 。 分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C117种 ***某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少0人，名额分配方案共    种 。 分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少0个名额。第一种方法，可设想平白增加8个名额，每班多分一个，这样就与上题一样了，为C197。第二种方法，原始原理法，第一块板有13种选择，第二块板有14种选择，共13*14*15*16*17*18*19/A77=C197种。 ***求（a+b+c）10的展开式的项数． 解  展开使的项为aαbβcγ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．=66（种） ***有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（） ***不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的整数解有（） ***（1）方程解的个数. （2）方程 解的个数. ***10个竞赛名额，分配给7个学校，每个学校至少一个名额，有多少种分法？ ***12个相同的球分给3个人，每人至少一个，而且必须全部分完，有多少种分法？ ***书架上原来排放着5本书，现在要插入3本不同的新书，若要保持原有的5本书顺序不变，则不同的插法有_____种？ 二、相同球问题： 解决方法：1、仿隔板问题；2、全排列除以重复的。 ***5(m)个相同白球与7(n)个相同黑球的排列共有多少种？ C127=C125=A125/A55=A127/A77=A1212/（A55*A77）  C(m+n)m=C(m+n)n=A(m+n)m/Amm=A(m+n)n/Ann=A(m+n)(m+n)/(Amm*Ann） ***5个相同白球与7个相同黑球的排列，其中三个白球必在一起，共有多少种？ A103/A22。把3个白球看做一个，另二个白球可互换。 或=A1010/(a22*A77)，九个单球和一个三球全排列，再除去二个白球和七个黑球重复的。 ***5个相同白球与7个相同黑球的排列，其中白球只有三个在一起，另二个白球也不相邻，共有多少种？ A83/A22。把3个白球看做一个，另二个白球可互换。 ***5个相同白球与7个相同黑球的排列，其中白球只有三个在一起，另二个白球可以相邻，共有多少种？ 8*7*8/A22。把3个白球看做一个，另二个白球可互换。 ***某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”结果，不同的结果有多少种． 解  把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．A52=20种。因为是三个黑球与一个黑球，所以不存在重复情况，不用除以2！。 ***从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法． 解  转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。 ***某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种． 解  无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与4个相同的黑球的排列问题．=35（种） ***一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法． 解  根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．=924（种）． ***亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？ 解  设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为C105=252（种） ***4个相同的黑球和3个相同的白球排成一排,则不同的排列方法是___________. ***一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含有黑球，有多少种取法？ ***如上图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N不同的走法有多少种？ 三、分组问题： 解决方法：1、原始原理法；2、公式法。 ***6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？   分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种 ***把6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： ⑴ 分给甲、乙、丙三人，每人两本；          ⑵ 分为三份，每份两本； ⑶ 分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； ⑷ 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； ⑸ 分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． ***3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有______. ***现有4个不同的小球. （1）将其分成2堆，每堆2个，有多少种方法？ （2）将其分成2堆，一堆1个，一堆3个，有多少种方法？ （3）将其分给两个人，每人2个，有多少种方法？ （4）将其分给两个人，一人1个，一人3个，有多少种方法？ （5）将其分成3堆，每堆至少1个，有多少种方法？ （6）将其分给三个人，每人至少1个，有多少种方法？ 四、染色问题： 解决方法：1、原始原理法；2、合并单元格法。 ***（全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有    种（以数字作答）。   分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．   下面分情况讨论:   (ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素    ①③⑤的全排列数 （ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得 种着色法． （ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格               ① 从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有种方法．   由加法原理知：不同着色方法共有2=48+24=72（种） 方法二：解：根据题意可分类求解：第一类用三种颜色着色，由乘法原理C41C31C21=24种方法； 第二类，用四种颜色着色，由乘法原理有2C41C31C21=48种方法． 从而再由加法原理得24+48=72种方法． 即共有72种不同的着色方法．点评：本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是看出本题需要分类也需要分步，在分类和分步时要做到不重不漏． 1 2 3 4 5 ***（天津卷（文））将3种作物种植 在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共      种（以数字作答）可以想到，将3种作物种植在5块试验田里(连成一排)每块种一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物，就是第一块可以种3种不同的植物，第二块与第一块不同，就只能种2种不同的植物，余下的几块都只能种2种不同的植物。但要注意：这样会造成5块田只种2种植物的情况，应排除之。具体做法是： 3*2*2*2*2-2*C(3,2)=42 减号后面的2就是指选出来的2种植物的每一种都有排在首田的可能。 ***（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有    种（以数字作答）．（120）先确定1，2，3，4号区域的颜色.它们的方法数依次是4、3、2、2.其中4号区域的两种颜色，一种是与2号相同，一种是与1，2，3区域都不同的第四种颜色. 　由于它影响后面5、6号区域颜色的确定，按4号区域的两种颜色进行分类，成为两个类别. 　设这4种颜色分别为红、黄、绿、蓝，又设1、2、3号区域分别已确定为红、黄、绿、，则4号区域可能为蓝，也可能为黄。若4号区域为蓝，5、6号区域的颜色确定为黄-蓝、黄-绿或绿-蓝3种方法. 　若4号区域的颜色为黄，5、6号区域的颜色确定为绿-蓝或蓝-绿2种方法. 　所以不同的栽种方法共有4×3×2×（３+2）=120（种）． F ***如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．5*4*3*3*3=540 A...5 B...4 C...3 D...3 E...3（540） ***如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是     种（84） 分析：显然，相对位置（比如Ⅰ，Ⅲ）的服装颜色可以相同，也可以不同，因为它们不相邻，但它们服装颜色是否相同对另两个区域（Ⅱ，Ⅳ）的服装颜色的影响是不同的，所以考虑以此为分类讨论的.   解法一：若每个区域服装颜色不相同，则有A44=24种；若Ⅰ、Ⅲ或Ⅱ、Ⅳ同色，另两区域不同色，则有2A43=48种；若Ⅰ、Ⅲ与Ⅱ、Ⅳ分别同色，则有A42=12种.故共有24+48+12=84种.   解法二：Ⅰ有4种可能，Ⅱ有3种可能，Ⅲ可与Ⅰ相同或不同，故共有4×3×3+4×3×2×2=84种方法. ***将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共            种（420） 5*4*3*(1*3+2*2)  例8.在一个正六边形的六块区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同种植物，相邻两块种不同植物，现有4种不同的植物可供选择，共有多少种不同的栽种方法？ 4.有一个矩形被两对角线分为四块,现在用5种不同颜料给四块区域涂色,要求共边的两块颜色不同,每块涂一种颜色,共有多少种不同方法? 五、错位问题： 解决方法：1、原始原理法；2、公式法。两个换位a2=1三个换位a3=2四个换位a4=9五个换位a5=44，一般地，an=(n-1)(an-1+an-2)。 ***设有编号为1，2，3，4，5的五个茶杯和编号为1，2，3，4，5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（    ） ***同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有  种（9） 公式 1）  n=4时a4=3(a3+a2)=9种  即三个人有两种错排，两个人有一种错排． ***有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44） 六、几何问题： ***四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有  种（3+3=33） ***四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？ (-4+4-3+3-6C+6+2×6=29)：（四个表面-4+4；一棱与对面棱中点-6C+6；四个中点-3+3） 1)三个点都是顶点:一共有4种,就是四面体的四个表面; 2)两个顶点,一个棱中点:为了不和上面的四个面重合,当两个顶点确定时,只有一个选择(此时的面就是一条棱和它的对棱的中点确定的面),所以这种情况一共有6钟(6条棱或者是4C2); 3)一个顶点,两个棱中点:为了不和上面重合,确定一个顶点后,则只能选取它的对面的三个中点了,有3C2=3种情况,就是4*3=12种; 4)三个都是棱中点:可以在正四面体中想,这样的面要么和外表面平行要么和一对对棱平行,所以有4+3=7种 综上,共有4+6+12+7=29个面. (2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114 ***四面体的顶点和各棱的中点共10个点，其中取4个点，可以组成多少个不同的三棱锥？ 从10个点中任取4个点有种C(10,4)取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有4C(6,4)种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：C(10,4)-4*C(6,4)-6-3=141（种）。 ***以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是_____________. ***平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ ***平面内有12个点，任何3点不共线，以每3点为顶点的三角形共可画多少个？ ***AB和CD为平面内两条相交直线，AB上有m个点，CD上有n个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是_____________. ***以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是_____________. ***在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形没有公共边的三角形有__________个. ***AB和CD为平面内两条相交直线，AB上有m个点，CD上有n个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是_____________. ***在如图格盘中，共有多少个不同（形状和位置）的矩形？ 七、排队问题： 要用到排列组合常用基本方法中的各种方法和排列组合常用小技巧中的各种技巧。 ***一个小组5名男同学，6名女同学，排成一排， （1）有多少种不同的排法？ （改变题意：排成三排（前4中3后4）呢？） （2）男女间隔有多少种不同的排法？ （改变题意：男生6名，女生6名呢？） （3）男生站在一起，女生站在一起，有多少种不同的排法？ ***7名学生坐在一排照相，按下列不同作法去排列，有多少种不同的坐法？ ⑴7名同学站成一排，共有多少种不同的排法？ ⑵7名同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ ⑶7名同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ ⑷7名同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ ⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ ⑹甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有多少种？ ⑺甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ ⑻甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ ⑼甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ ⑽甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ ⑾甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ ***现有A、B、C、D、E五个人站排. （1）站成一排有多少种方法？ （2）站成两排，前排2人，后排3人，有多少种方法？ （3）站成一排，A在排头有多少种方法？ （4）站成一排，A不在排头有多少种方法？ （5）站成两排，前排2人，后排3人，A不在前排有多少种方法？ （6）站成两排，前排2人，后排3人，A不在前排B不在后排有多少种方法？ （7）站成一排，A不在排头且B不在排尾，有多少种方法？ （8）站成一排，A、B相邻，有多少种方法？ （9）站成一排，A、B不相邻，有多少种方法？ （10）站成一排，A、B不相邻，且A与B之间至少相隔两人，有多少种方法？ （11）站成一排，A、B、C相邻，有多少种方法？ （12）站成一排，A、B、C互不相邻，有多少种方法？ （13）站成一排，A、B相邻，C、D也相邻，有多少种方法？ （14）站成一排，A、B不相邻，C、D也不相邻，有多少种方法？ （15）站成一排，A、B相邻，且A、C也相邻，有多少种方法？ （16）站成一排，A、B相邻，且A、C不相邻，有多少种方法？ （17）若C、D、E已经站好，这时再把A、B插入排中，有多少种方法？ （18）站成一排，A不在排头，B不在排尾且C不在中间，有多少种方法？ （19）五个人已经站好，重新站队时，至少有两个人还站在原来位置上，有多少种方法？ （20）五个人已经站好，重新站队时，每个人均不站在原来位置上，有多少种方法？ (21)若从这五个人中选四人参加4*100米接力赛,A不跑第一棒,B不跑第二棒,C不跑第三棒,D不跑第四棒,则不同的参赛方式有多少种? ***现有A、B、C、D、E五个人, A、B、C是男生，D、E是女生. （1）若从中选3名代表有多少种方法？ （2）若从中选3名代表且A一定当选，有多少种方法？ （3）若从中选3名代表且A不能当选，有多少种方法？ （4）若从中选3名代表且A一定当选，B不能当选，有多少种方法？ （5）若从中选3名代表且A、B中有且只有一人当选，有多少种方法？ （6）若从中选3名代表且男生恰好有2人，有多少种方法？ （7）若从中选3名代表且男生至少有2人，有多少种方法？ （8）若从中选3名代表且男生至多有2人，有多少种方法？ （9）若从中选3名代表且男、女生都有，有多少种方法？ （10）若从中选3名代表且男生人数多于女生人数，有多少种方法？ ***从6个人中选4个人坐在一排的4个不同的座位上（每人1个座），若甲指定坐在两端的任一座位上，求不同的坐法种数？ ***五种不同商品在货架上排成一排，其中a,b两种必须连排，而c,d两种不能连排，则不同的排法共有（ ） ***把a,b,c,d,e作全排列，其中a,b,c三个元素在排列中的顺序保持a-b-c（其中间可相邻可不相邻）的排列有几种？ ***从7名运动员中选出4人参加4*100米接力，求满足下述条件的安排方法的种数. （1）甲不跑第一棒和第四棒； （2）甲不跑第一棒，乙不跑第四棒； （3）甲、乙二人都不跑中间两棒； （4）甲、乙二人不都跑中间两棒； ***有编号为1、2、3、4、5、的五列火车进入a,b,c,d,e五个轨道，要求编号为1的火车不能进入a轨道，编号3的火车不能进入c轨道，有多少种不同的进入轨道的方法？ ***6张同排连号的电影票，分给3名教师和3名学生，欲使师生相间而坐，则不同的分法有__________. ***3名男生、3名女生站成一排，要求男与男、女与女互不相邻的不同排法的种数有___________ ***身高互不相同的6个人，排成2横行3纵列，在第一行的每个人都比他同列身后的人个子矮，则所有不同的排法种数是_____. 八、公共元素问题： ***10名演员，其中5名能唱歌，8名能跳舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？ ***有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？ ***某文艺团体有10人,每人至少会唱歌或跳舞中的一种,其中7人会唱歌,5人会跳舞,从中选出会唱歌与会跳舞的各1人,有多少种不同的选法? 九、容斥原理问题： A．30种      B．31种      C．32种      D．36种 ***五人站成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，有多少种站法？ ***五人站成一列,甲不站排头,乙不站排尾,丙不站中间,有多少不同站法? 十、变形问题： ***圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？ 分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有=1365（个） ***马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？ ***马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C5 3 种 ***在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几场？ 解：要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要进行一场，故比赛99场。 十一、递推问题： ***一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？ 分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。 十二：集合问题： ***已知集合P=. （1）从集合P中选出5个元素构成该集合的一个子集, 且此子集中任何两个元素的和不等于12，则这样的不同子集共有______个. （2）将集合P划分为两个非空集合A与B的并集，且集合A中的最小元素大于集合B中的最大元素，则这样的不同划分方法有________种. （3）将集合P划分为三个集合A、B、C的并集（A、B、C不必两两相异），则不同的三元有序集合组（A,B,C）有___________个. ***若且，则以为坐标的点有多少个？ ***已知，则从集合A到集合B的映射个数有多少个？ ***已知， （1）则从集合A到集合B的映射个数有多少个？ （2）满足为偶数的映射有多少个？ （3）满足为奇数的映射有多少个？ 2.是集合到集合上的映射,且,则不同的映射有________个. 十三：杂题： *** 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？     分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432（个） ***七张卡片上分别写有0、0、1、2、3、4、5，现从中取出三张后排成一排，组成一个三位数，则共能组成_____个不同的三位数． ***4张卡片正反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中 的三张卡片并排放在一起,可组成____个不同的三位数,可以组成_________个不同的三位偶数. ***有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有_____________种. ***在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽出3件， （1）一共有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件时次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ ***四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有_____种. ***从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有________. ***一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共6个不同座位，现让3个大人和3个小孩入座就餐，要求任何两个小孩子都不能坐在一起，则不同的入座方法种数为______. ***甲乙丙丁戊己六个人围成一张圆桌坐下（各个座位无区别），甲的两边是乙和丙，则不同的坐法为_____. ***6个不同大小的数按如图形式随机排列，设第一行的数是，第二行、第三行中的最大数分别是，则满足的所有排列的个数是______. ***在的排列中,满足的排列的个数是____. *** ⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？ ⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？ ⑶四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有两个空盒的放法有多少种？ ⑷ 至多有一个盒子不放球，有几种放法？ ***某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120） ***一排有8个完全相同的座位,有3人入座,则入座后每人左右两端均有空座位的不同入座方法有________种. ***从8个男同学、4个女同学中选出5名学生参加数学竞赛，按下列条件各有多少种选法？ ⑴至少有1名女同学参赛；              ⑵至多有2名女同学参赛； ⑶女同学甲、乙两人中有且只有1人参赛. ***要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ ***现有3封信要投到5个不同的邮筒里，有多少种不同的投法？ ***72的正约数有多少个？2160的正约数有多少个？ ***有2n个人参加乒乓球训练，每两人结为一对练习，有多少种不同的结对方式？ ***整数1,2,3,…,10的排列满足:每个数或者大于它之前的所有数,或者小于它之前的所有数,问有多少这样的排列.1.设有25个人排成5行5列,若从中选出5名代表,要求每行每列都有代表,则不同的选法有_________种. 文档已经阅读完毕，请返回上一页！