微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题 本科 第一部分,练习题库及 一、填空题(每题后面附有关键词,难易度,答题时长) 第一章 6ab,,,,(1,1,1),(1,0,1)，则这两个向量的夹角的余弦= 1(已知cos,3 ab,,,,(0,1,1),(1,0,1)2(已知，求这两个向量的向量积(-1,-1,-1)( ab，, P(1,1,1)a,,(1,0,1) 3(过点且与向量垂直的平面方程为X-Z=0 x，1yz,14(求两平面与的交线的对称式方程为,, ,:x，y，z,0,:x,y，2z,1123,1,2 23138ijk,，5(计算( lim[(31)]tt，,，,ijkt,2 2tfij()(sin)ttt,，lim(()())fgtt,, 6(设，，求 0 ( gij()(1)tte,，，t,0 dr2r(,)(,,)uvuvuvuv,，,u,t(2cos,2cos,2cos)ttttvtut，,，7(已知，其中，，则 v,sint,dt rd(,),,2,,t(sincos2cossin,sinsin2coscos,cos),,,，aataata,,,,,,,,,8(已知,,t，，则 ,dt 46 9(已知，，求 r()d(1,2,3)tt,,r()d(2,1,2)tt,,,,24 46 a,(2,1,1)b,,(1,1,0)(3,,9,5)，其中， arbar，，,,,()d()dtttt,,22 ,ra()t,r()t,10(已知(为常向量)，求 tac，a 12,ra()tt,r()t,11(已知，(为常向量)，求 atac，2 4dfjk()(2)(log)ttt,，，gij()(sin)(cos)ttt,,2,6cos4t,012(已知，，，则( fg()d,,t,dt0第二章 3t2t13(曲线在任意点的切向量为 r()(2,,)ttte,(2,3,)te r()(cosh,sinh,)tatatat,(0,,)aat,014(曲线在点的切向量为 r()(cos,sin,)tatatbt,(0,,)ab15(曲线在t,0点的切向量为 1 1y,x,ez,1tt,2e16(设有曲线，当时的切线方程为 t,1Cxeyezt:,,,,,,,1e2,e tttx,1,y,z,117(设有曲线，当时的切线方程为 t,0x,ecost,y,esint,z,e 第三章 rr,(,)uvrr:()GG,为曲面的表示，如果，则称参数曲面是正则的;如果是 一一的 ，18(设rr0，,uv 则称参数曲面是简单的( 19(如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ((坐标网;易;3分钟) u,v, 22r(,)(,,0)uvuv,dduv，20(平面的第一基本形式为，面积元为 dduv 22r(,)(coshcos,coshsin,)uvuvuvu,Eu,coshGu,cosh的第一类基本量是,, 21(悬链面F,0 2axy0022(曲面上坐标曲线，的交角的余弦值是 zaxy,yy,xx,002222(1)(1)，，axay00 2222r(,)(cos,sin,)uvuvuvbv,23(正螺面的第一基本形式是( d()duubv，， r(,)((),(),2)uvauvbuvuv,，,24(双曲抛物面的第一基本形式是 2222222222 (4)d2(4)dd(4)dabvuabuvuvabuv，，，,，，，， r(,)(cos,sin,)uvuvuvbv, 25(正螺面的平均曲率为 0 (,正螺面、第一基本量、第二基本量,中,3分钟, 22(d)LuMuvNvd2ddd0，，,26(方向,d:duv是渐近方向的充要条件是或 ,(d)0,n (d)d:d,uv(δ),δuv:δIIrr(d,δ)0,LuuMuvvuNvvdδ，，，,(dδdδ)dδ027(两个方向和共轭的充要条件是或 ELFM,,,,28(函数,是主曲率的充要条件是 0,FMGN,,,, EuFvLuMvdddd，，(d)d:d,uv29(方向是主方向的充要条件是 ,0FuGvMuNvdddd，， (d)(d:d),uv(d)30(根据罗德里格定理，如果方向是主方向，则，其中是沿方向的法曲率 ddnr,,,,nn31(旋转极小曲面是平面 或悬链面 第四章 kkjrrn,,，Lij,1,2,ij,1,2,32(高斯方程是，，魏因加尔吞方程为nr,,Lg， ,,ijijkijiikijk,k gg,,,12212ijijg33(用表示为( ()g,gij,,,ggdet()g,,1211ij 2 ()C()C34(测地曲率的几何意义是曲面上的曲线在点的测地曲率的绝对值等于在点的切平面上的正投影曲SPP, ,线的曲率 ()C 222,,,,，35(之间的关系是( ,,,,,gngn 36(如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ( 2kijddduuuk 37(测地线的方程为，,,,0,1,2k,ij2dddsssij, k 38(高斯-波涅公式为 Ksdd()2,,,,,，，,,,gi,,,,1i,GG k 39(如果是由测地线组成，则高斯-波涅公式为( ,GKd()2,,,,，,,,i,,,1iG 二、单选题 第一章 a,,,(1,0,1)b,,(1,2,1)40(已知，，则这两个向量的内积为( C )(,内积,易,2分钟, ab, ,1A 2 B C 0 D 1 P(1,1,1)a,,,(1,0,1)41(求过点且与向量平行的直线的方程是( A )(,直线方程,易,2分钟, x,z,x,1yA B ,,z，1,y,123, x,y,x，1,y,z，1C D ,z,1, abc,,,,,(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)42(已知，则混合积为( D )(,混合积,较易,2分钟, ,1,2A 2 B C 1 D tt,,,r(0)43.已知，则为( A )(,导数,易,2分钟, r()(,,)tete, , (,，,，,) , (-,，,，,) , (,，,，,) , (,，,，-,) ,rr()()tt,,r()t44(已知，,为常数，则为( C )(,导数,易,2分钟, ,t,eaea,ta,a, , , , 上述为常向量( a r(,)(,,)xyxyxy,d(1,2)r45.已知，求为( D )(,微分,较易,2分钟, (d,d,d2d)xyxy，(dd,dd,0)xyxy，, , , 第二章 3 r,(cos,sin,)ttt46(圆柱螺线的切线与轴( C ).(螺线、切向量、夹角,较易、2分钟) z , 平行 , 垂直 ,,, 有固定夹角 , 有固定夹角 43 α,βCs:()rr,47(设有平面曲线，为自然参数，是曲线的基本向量(下列叙述错误的是(C )( s , 为单位向量 , αα,α αβ,,,, , βα,,, 48(直线的曲率为( B )(,曲率,易,2分钟, , –, , , , , , , Cs:()rr,49(关于平面曲线的曲率不正确的是( D )(,伏雷内公式,较易,2分钟, ,()()ss,α,,()()ss,α()s, , ，为的旋转角 , ,()|()|ss,r, , ,()s,,,αβ 50(对于平面曲线，“曲率恒等于,”是“曲线是直线”的( D ) (,曲率,易,2分钟) , 充分不必要条件 , 必要不充分条件 , 既不充分也不必要条件 , 充要条件 51(下列论述不正确的是( D )(,基本向量,易,2分钟, α,β,γαβ, 均为单位向量 , , βγ,αβ//, , 52(对于空间曲线,，“曲率为零”是“曲线是直线”的( D) (,曲率,易,2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 53(对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的( D )(,挠率,易,2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 t,x,a(t,sint),y,a(1,cost),z,4asin54(在点的切线与轴关系为( D )( t,z22 , 垂直 , 平行 ,,, 成的角 , 成的角 34 第三章 222xyz，，,155(椭球面的参数表示为(C )(,参数表示,易,2分钟, 222abc (,,)(coscos,cossin,sin)xyz,,,,,,(,,)(coscos,cossin,sin)xyzab,,,,,,A B (,,)(coscos,cossin,sin)xyzabc,,,,,,(,,)(coscos,sincos,sin2)xyzabc,,,,,,C D 222xyz，,,156(以下为单叶双曲面的参数表示的是(D )(,参数表示,易,2分钟, 222abc 4 (,,)(coshsin,coshcos,sinh)xyzauvbuvu,(,,)(coshcos,coshsin,sinh)xyzuvuvu,A B (,,)(sinhcos,sinhsin,cosh)xyzauvbuvcu,(,,)(coshcos,coshsin,sinh)xyzauvbuvcu,C D 222xyz57(以下为双叶双曲面，,,,1的参数表示的是(A )(,参数表示,易,2分钟, 222abc (,,)(sinhcos,sinhsin,cosh)xyzauvbuvcu,(,,)(coshcos,sinhsin,cosh)xyzauvbuvcu, B A (,,)(coshcos,coshsin,sinh)xyzauvbuvcu,(,,)(coshcos,coshsin,sinh)xyzuvuvu, D C 22xy，,2z58(以下为椭圆抛物面的参数表示的是(B )(,参数表示,易,2分钟, 22ab 22uu(,,)(cos,sin,)xyzuvuv,(,,)(cos,sin,)xyzauvbuv,A B 22 2u(,,)(cos,sin,)xyzavbvv,(,,)(cosh,sinh,)xyzauvbuv,C D 2 22xy,,2z59(以下为双曲抛物面的参数表示的是(C )(,参数表示,易,2分钟, 22ab (,,)(cosh,sinh,)xyzaubuu,(,,)(cosh,sinh,)xyzuuu,A B (,,)((),(),2)xyzauvbuvuv,，,(,,)(,,)xyzaubvuv,,C D 2233M(3,5,7)60(曲面在点的切平面方程为(B )(,切平面方程,易,2分钟, r(,)(2,,)uvuvuvuv,,，, 2135200xyz，,，,1834410xyz，,,,A B 756180xyz，,,,1853160xyz，,，,C D r(,)(coscos,cossin,sin)uvRuvRuvRu,61(球面的第一基本形式为(D )(,第一基本形式,中,2分钟, 22222222A B Ruuv(dcoshd)，Ruuv(dsind)， 22222222C D Ruuv(dsinhd)，Ruuv(dcosd)， r(,)(cos,sin,)uvRvRvu,62(正圆柱面的第一基本形式为( C)(,第一基本形式,中,2分钟, 2222222222dduv，dduv,dduRv，dduRv,A B C D 22263(在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的弧长为(B )(,弧I(d,d)dsinhduvuuv,，uvvvv,,,()12 长,中,2分钟, A B coshcoshvv,sinhsinhvv,2121 5 C D coshcoshvv,sinhsinhvv,1212 32RC64(设为中的2维正则曲面，则的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是( B)( MM A B C D E,0F,0G,0M,065(以下正确的是( D)(,魏因加尔吞变换,较易,2分钟, d(d)nr,W B A d(d)nr,Wu d(d)nr,,WC D d(d)nr,Wuv 66(以下正确的是( C)(,魏因加尔吞变换,较易,2分钟, IrrIIrr(d,(Wδ))(d,,,δ)IrrIrr(d,(WWδ))((,,δ),d)A B IrrIrr(d,(WWδ))((d),,δ)IrrIIrr(d,(WWδ))((d),,δ)C D 67(以下正确的是(A)(,魏因加尔吞变换,较易,2分钟, IrrIIrr(d,(Wδ))(d,,δ)IrrIIrr(d,(WWδ))((d),,δ)A B IrrIrr(d,(WWδ))((d),,,δ)IIrrIIrr(d,(WWδ))((d),,δ) D C 68(高斯曲率为常数的的曲面叫(C )(,高斯曲率,易,2分钟, A 极小曲面 B 球面 C常高斯曲率曲面 D平面 第四章 ijgg,___________B 69((,第一基本形式,易,2分钟, ,ji,ij A 1 B 2 C 0 D -1 jg,,______B 70((,第一基本形式,易,2分钟, ,kjlj A g B C D g ggkjijklki k,,________A 71((,克氏符号,较易,2分钟, ij ,,gg,,gg1,g1,gjlijjlijklklililA B ()()g，,g,,,,jiljil22,,,uuu,,,uuuii ,,gg,,gg1,g1,gjlijjlijklklililC D ()()g，，g,，,,jiljil22,,,uuu,,,uuuii _____A 72(曲面上直线(如果有的话)的测地曲率等于( 12A 0 B C D 3 _____B 73(当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为(,刘维尔定理、测地曲率,中,4分钟, 1ln,E1ln,E,A B ,u,v2E2G 6 1ln,G1ln,E,C D ,v,u2E2G A 74(如果测地线同时为渐进线，则它必为(,测地曲率、法曲率、曲率,中,2分钟, _____ A 直线 B 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线 (1)K,,上，任何测地三角形的内角之和(,高斯-波涅定理,中,4分钟, B 75(在伪球面____ A 等于 B 小于 C 大于 D 不能确定 ,,, 三、多选题 第一章 76.若为向量函数，则下列论述正确的是( AD ) (,导数,易,4分钟, r()((),(),()),1,2,3txtytzti,,iiii ,,,, , r()((),(),())txtytzt,1111 ,,,,, r()((),(),())((),(),())((),(),())txtytztxtytztxtytzt,，，1111111111 ,,,,, ((),(),())((),(),())rrrrrrtttttt,123123 ,,,,, ((),(),())rrrttt,，，((),(),())((),(),())((),(),())rrrrrrrrrttttttttt123123123123 ,,, ((),(),())((),(),())rrrrrrtttttt,123123 r()t77(为常向量，为向量函数，则下述正确的是( ABC )(,积分的性质,中,4分钟, m,n bbbb , , mrmr,,,()d()dttttmrmr，,，()d()dtttt,,,,aaaa bbbb , , (,,())d()()dmnrmnrtttt,，(,,())d()()dmnrmnrtttt,,,,,,aaaa bb , (,,())d()()dmnrmnrtttt,，，,,aa 第二章 78(下列曲线中为正则曲线的有(ACDE)。,曲线的概念,易,4分钟, 323x,(,,,，,)x,(,,,，,), ， , ， r()(,)xxx,r()(,)xxx, 23x,(0,，,)r()(cos,)xxx,x,(,,,，,)r()(,)xxx,x,(,1,2), ， , ， , ， r()(,)xxx, 79(下列曲线中是正则曲线的有(ABCDE)。,曲线的概念,易,4分钟, r,(cos,sin,)tttt,(,,,，,), ， r,(sin3,3,0)ttt,(,,,，,), ， 2t,(,,,，,), ， r,(cos,cos,sin)ttt 7 r,,,,(cos,1cossin,sin)ttttt,(,,,，,), ， 22t,(,,,，,), ， r,(2sin,2sintan,)tttt 80(下列式子正确的是(ABCE)(,伏雷内公式,中,4分钟, γαβ,，γα, , , γβ,, , βαγ,,，k, γβ ?( , 第三章 33M(1,2,9)81(曲面在点的(AD )(,切平面、法线,中,4分钟, zxy,， 312180xyz，,,,A 切平面方程为 31480xyz，,，,B 切平面方程为 xyz,,,139C 法线方程为 ,,3121, xyz,,,129D 法线方程为 ,,3121, xyz,,,129E 法线方程为 ,,4121, r,(cos,sin,)uvuvav82(正螺面的(AC )(,切平面、法线,中,4分钟, xavyavzuauvsincos0,，,,A 切平面方程为 xauyauzvauvsincos0,，,,B切平面方程为 xauyauzvauvsincos0,,,,C 切平面方程为 xuvyuvzav,,,cossinD法线方程为 ,,avavusincos, xuvyuvzav,,,cossinE 法线方程为 ,,auauvsincos, 83(下列二次形式中，( ABD)不能作为曲面的第一基本形式(,第一基本形式,易,4分钟, 22A I(d,d)d4ddduvuuvv,，， 22B I(d,d)d4dd4duvuuvv,，， 22C I(d,d)d4dd6duvuuvv,,， 22D I(d,d)d4dd2duvuuvv,，, 22E I(d,d)d4dd5duvuuvv,，， 8 r(,)(cos,sin,())uvuvuvfuav,，84(一般螺面的第一类基本量是( BCD)(,第一基本量,易,4分钟, 22,A B Efu,，1(())Efu,，1(()) 22,Fafu,()Gau,，C D 22Gau,,E 85(下列曲面中，( BCD )是旋转常高斯曲率曲面(,常高斯曲率曲面,易,4分钟, A 正螺面 B 平面 C 球面 D 圆柱面 E 悬链面 第四章 ABC 86(对于曲面上的正交坐标网，测地曲率(设曲线的切方向与的夹角为)( ,,_____,rgu EGd,vu,，cossinA ,,ds22EGGE dEG,1ln1ln,,B ,，cossin ,,dsvu,,22GE d,C ，，cossin,,,,gguvds d,D ，，sincos,,,,gguvds d,E ，,cossin,,,,gguvds 87(曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是ABCD,测地线的概念,中,4分钟, 2kijddduuukA 满足方程的曲线 ，,,0,ij2dddsssij, B满足,,0的曲线 g C除了曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线 D满足,,0的曲线 E 满足的曲线 ,,0n 四、叙述题 第三章 33RrR:G,r()GS,GSS88(曲面。[解]设是初等区域，，如果存在一个连续一一映射使得，则称是一张曲, rr,()xS面，而叫的参数表示( SuvuvG:(,),(,)rr,,89(坐标曲线。【解】曲面，的像叫曲线，的像叫曲线，曲线和r(,)uvr(,)uvv,v,u,u,00曲线都叫坐标曲线( 9 2290(第一基本形式。【解】称二次型(其中，，)为I(d,d)d2ddduvEuFuvGv,，，E,,rrF,,rrG,,rruuuvvv 曲面的第一基本形式(而、、叫曲面的第一类基本量( EFG 91(内蕴量。【解】由曲面的第一类基本量所决定的量叫曲面的内蕴量( 2292(第二基本形式。【解】称二次型(其中，，)II(d,d)d2ddduvLuMuvNv,，，L,,rnM,,rnN,,rnuuuvvv 为曲面的第二基本形式(而，，为曲面的第二类基本量( LMN 2LNM,,093(【解】若在点有，则称点为曲面的椭圆点( PP (d)d:d,uv()d上一点处的一个切向量，则点沿方向的法曲率定义为94(法曲率。【解】给定曲面SPP ( ,(d)(d,d)/(d,d),IIrrIrrn 95(主曲率。【解】使法曲率达到极值的方向叫曲面在该点的主方向，而主方向的法曲率叫该点的主曲率( ,(d)n 96(高斯曲率。【解】曲面的两个主曲率之积叫曲面的高斯曲率( K,,,,12 的曲面叫极小曲面( 97(极小曲面。【解】平均曲率H,0 五、计算题 第二章 x,a(t,sint),y,a(1,cost)98(求旋轮线的一段的弧长(,弧长,中,5分钟, 0,t,2, ,r()((sin),(1cos))tattat,,,r()(cos,sin)taatat,,0,t,2,【解】旋轮线的切向量为，则它的一段的弧长为: 22,, ,( sttattar()d21cosd8,,,,,,00 t99(求曲线在原点的切向量、主法向量、副法向量((基本向量;中;10分钟 x,tsint,y,tcost,z,te tt,【解】由题意知 ， r()(sincos,cossin,)tttttttete,，,， tt,, ， r()(2cossin,2sincos,2)tttttttete,,,,， ,,,rr(0)(0,1,1),(0)(2,0,2),,在原点时有 。 又 ,,,,,,,,,,,,rrrrrrr(,)(,),rr，γ,αβ,,, ，， ,,,,,,,,rr，rrrr,， 所以有 22666333αβγ,,,,,(0,,),(,,),(,,)。 22366333 10 r()(cos,sin,)tatatbt,100(圆柱螺线为。,基本向量、曲率、挠率,中,15分钟, β?求基本向量，，; γα ?求曲率和挠率; ,, 【解】?由题意有 ,,,r()(sin,cos,)tatatb,,γ()(cos,sin,0)tatat,,,，， ,,,,,,,,,,,,rrrrrrrrr()(),,,，αβγ,,,,,又由公式有 ,,,,,,,,rrrrrr,，， 1α,,(sin,cos,),atatb22ab， β,,,(cos,sin,0),tt 1γ,,(sin,cos,).btbta22ab， ,,,rr，,,,,,,ba(,,)rrr?由一般参数的曲率公式,()t,及挠率公式 有，。 ,,,,,()t,322222a，b，ab,r,,,rr， 第三章 r(,)(cos,sin,)uvuvuvbv,的切平面和法线方程(,切平面、法线,中,5分钟, 101(求正螺面 【解】，，切平面方程为 r,(cos,sin,0)vvr,,(sin,cos,)uvuvbuv xuvyuvzbv,,,cossin cossin00sincos0,vvbvxbuyuzbuv,,,,,，,, ,uvuvbsincos xuvyuvzbv,,,cossin法线方程为( ,,bvbvusincos, r(,)(coscos,cossin,sin),,,,,,,,aaa102(求球面上任一点处的切平面与法线方程( 【解】 ， r,,,(sincos,sinsin,cos)aaa,,,,,, ， r,,(cossin,coscos,0)aa,,,,, eee312 rr，,,,aaasincossinsincos,,,,,,, ,aacossincoscos0,,,, 2,,,,acos(coscos,cossin,sin),,,,,, 球面上任意点的切平面方程为 ？ (coscos,cossin,sin)xayaza,,,,,,,, 2,,,,,acos(coscos,cossin,sin)0,,,,,,, 11 coscoscossinsin0,,,,,,，,，,,,xyza即， 法线方程为 (coscos,cossin,sin)xayaza,,,,,,,, 2,,,,,acos(coscos,cossin,sin),,,,,,,, xayaza,,,coscoscossinsin,,,,,即,,( coscoscossinsin,,,,, 22103(求旋转抛物面的第一基本形式(,第一基本形式,中,5分钟, zaxy,，() 22【解】参数表示为， r(,)(,,())xyxyaxy,， ，， r,(1,0,2)axr,(0,1,2)ayyx 222Faxy,,,rr4，， Eax,,,，rr14xyxx 22Gay,,,，rr14， yy 2222222( ？,，，，，I(d,d)(14)d8dd(14)dxyaxxaxyxyayy r(,)(cos,sin,)uvuvuvbv,104(求正螺面的第一基本形式(,第一基本形式,中,5分钟, 【解】，， r,(cos,sin,0)vvr,,(sin,cos,)uvuvbuv 22，，， F,,,rr0Gub,,,，rrE,,,rr1uuuvvv 2222( ？,，，I(d,d)d()duvuubv r(,)(cos,sin,)uvuvuvbv,105(计算正螺面的第一、第二基本量(,第一基本形式、第二基本形式,中,15分钟, 【解】，， r,(cos,sin,0)vvr,,(sin,cos,)uvuvbuv ，，， r,(0,0,0)r,,(sin,cos,0)vvr,,,(cos,sin,0)uvuvuuuvvv ijk rr，,,,cossin0(sin,cos,)vvbvbvu， uv ,uvuvbsincos rr，(sin,cos,)bvbvu,uv， n,,22||rr，bu，uv 22，，， F,,,rr0Gub,,,，rrE,,,rr1uuuvvv bL,,,rn0，，( N,,,rn0M,,,,rnuvuuvv22bu， 12 22106(计算抛物面的高斯曲率和平均曲率(,高斯曲率、平均曲率,中,15分钟, zxy,， 22【解】设抛物面的参数表示为，则 r(,)(,,)xyxyxy,， ，， r,(1,0,2)xr,(0,1,2)yyx ，，， r,(0,0,2)rr,,(0,0,0)r,(002)，，xyyxyyxx ijk ， rr，,,,,102(2,2,1)xxyxy 012y rr，(2,2,1),,xyxy， n,,22||rr，441xy，，xy 22Gy,,,，rr14， ， ， Ex,,,，rr14Fxy,,,rr4yyxyxx 2， ， M,,,rn0L,,,rnxyxx22xy，，441 2， N,,,rnyy22xy，，441 4,0222LNM,4441xy，，， K,,,2222222EGFxyxyxy,，，,，，(14)(14)(4)(441) 2212442GLFMENxy,，，，( H,,,322EGF,222(441)xy，， r(,)(cos,sin,)uvuvuvbv,107(计算正螺面的高斯曲率,高斯曲率,中,15分钟, 【解】直接计算知 a22Gua,，E,1F,0L,0N,0，，，，，， M,22ua， 22LNMa,？,,,K( 2222EGFua,，() 第四章 xuvyuvzav,,,cos,sin,108(求位于正螺面上的圆柱螺线xuvyuvzav,,,cos,sin,(=常数)的测地曲u000 率(,测地曲率、刘维尔定理,中,15分, ,d,2222【解】因为正螺面的第一基本形式为，螺旋线是正螺面的v-曲线，由得(由Ι,，，d()duuavuu,,,0,02ds 正交网的坐标曲线的测地曲率得 13 Guu0( ,,,g22，ua2GE0六、证明题 第二章 tt109(证明曲线的切向量与曲线的位置向量成定角(,切向量、夹角,较易,5分钟, r,(cos,sin,0)etet tt【证】对曲线上任意一点，曲线的位置向量为，该点切线的切向量为:r,(cos,sin,0)etet tt,，则有: r,,，((cossin),(sincos),0)ettett 2t,rr,e2， ,cos,,,tt,2rr2ee, ,。由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角( 故夹角为4 ,,,110(证明:若r和r对一切线性相关，则曲线是直线(,曲率,中,10分钟, t ,,,ftgt(),()【证明】若r和r对一切线性相关，则存在恒不同时为0的使 ,,,fttgtt()()()()rr0，,。 ,,,rr0()() ttt，,,则 。 ,,,rr，kt()0,又,()t,,t，故 。于是该曲线是直线( 3,r x,acost,y,asint,z,bt111(证明圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交(,主法线、夹角,中,10分钟, 【证明】由题意有 ,,,rr()(sin,cos,),()(cos,sin,0)tatatbtatat,,,,,。 ,,,,,,,,(,)(,)rrrrrr,β,,,(cos,sin,0)tta,(0,0,1)β,a,,β0a,β由知。另一方面轴的方向向量为，而，故，z,,,,rrr,， 即主法线与轴垂直( z 2112(证明曲线的所有法平面皆通过坐标原点(,法平面,较易,5分钟, x,asint,y,asintcost,z,acost ,r()(sin2,cos2,sin)tatatat,,【证明】由题意可得，则任意点的法平面为 2将点(0,0,0)代入上述方程有 asin2t(x,asint)，acos2t(y,asintcost),asint(z,acost),00000000左边 2,0,右边，故结论成立( ,asin2t(0,asint)，acos2t(0,asintcost),asint(0,acost)0000000 1，t11x,,y,,z,113(证明曲线为平面曲线，并建立曲线所在平面的方程。,挠率,中,10分钟, 21,t1，t1,t 14 1，t11【证明】设，整理比较两边同次项可得 A，B，C，D,021,t1，t1,t A,D,0,2A,C,0,A，B，C，D,0， A,D,B,,4D,C,2Dx,4y，2z，1,0则有，即曲线为直线，且有( 第三章 114(求证正螺面上的坐标曲线(即曲线族曲线族)互相垂直(,坐标曲线、夹角,5分钟, u,v, r(,)(cos,sin,)uvuvuvbv,【证明】设正螺面的参数表示是，则 ，， r,(cos,sin,0)vvr,,(sin,cos,)uvuvbuv ， ,,,,,,rr(cos,sin,0)(sin,cos,)0vvuvuvbuv 故正螺面上的坐标曲线互相垂直( 上所有点都是双曲点(,点的分类、第二基本量,中,15分钟, 115(证明马鞍面zxy, r(,)(,,)xyxyxy,【证明】参数表示为，则 ，，，，， r,(1,0,)yr,(0,0,0)r,(0,1,)xr,(0,0,1)r,(0,0,0)yxyyyxxx rr，(,,1),,yxxy，， n,,rr，,,,(,,1)yxxy22||rr，xy，，1xy 1，，， L,,,rn0N,,,rn0M,,,rnyyxxxy22xy，，1 112？,,，,,,,LNM000， 2222xyxy，，，，11 故马鞍面上所有点都是双曲点( zxy, II(d,d)uv116(如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即与方向无关，则称该点是曲面的脐点;如果曲面上I(d,d)uv所有点都是脐点，则称曲面是全脐的(试证球面是全脐的(,脐点,难,15分钟, 【证明】设球面的参数表示为 r(,)(coscos,cossin,sin)uvRvuRvuRv,，则 ， r,,(cossin,coscos,0)RvuRvuu ， r,,,(sincos,sinsin,cos)RvuRvuRvv ， r,,,(coscos,cossin,0)RvuRvuuu ， rr,,,(sinsin,sincos,0)RvuRvuuvvu ， r,,,,(coscos,cossin,sin)RvuRvuRvvv 15 222，，， ERv,,,rrcosF,,,rr0GR,,,rruuuvvv rrrrrr(,,)(,,)2uvuuuvuv，， LRv,,,M,,cos022EGF,EGF, rrr(,,)uvvv， NR,,,2EGF, 1，故球面是全脐的( ？,,(,,)(,,)LMNEFGR 117(证明平面是全脐的(,脐点,易,5分钟, r(,)(,,0)xyxy,【证明】设平面的参数表示为，则 ，， r,(1,0,0)r,(0,1,0)yx ，，， r,(0,0,0)r,(0,0,0)r,(0,0,0)xyyyxx ，，， E,,,rr1F,,,rr0G,,,rr1yyxyxx ，， L,,,rn0M,,,rn0N,,,rn0xyyyxx ？,(,,)0(,,)LMNEFG，故平面是全脐的( zfxy,(,)fxy(,)118(设有曲面，试证曲面的第二基本形式与函数的二阶微分成比例(,第二基本形式,较难,10 分钟, zfxy,(,)r(,)(,,(,))xyxyfxy,【证明】设曲面的参数表示为，则 ,,,,,,,,，，，，， r,(1,0,)fr,(0,0,)fr,(0,1,)fr,(0,0,)fr,(0,0,)fyyxyxyyyyyxxxxxx ijk,,rr，,,(,,1)ffxyxy,,,n,,rr，,,,,10(,,1)fff，， xyxxy22||rr，,,ff，，1xyxy,01fy ,,f,,fxyxxM,,,rnL,,,rn，， xyxx2222,,,,1ff，，1ff，，xyxy ,,fyyN,,,rn， yy22,,ff，，1xy 122,,,,,,？,，，IIrrfxfxyfy(d,d)(d2ddd)( xxxyyy22,,ff，，1xy 3119(证明曲面的所有点为抛物点(,点的分类、第二基本量,中,15分钟, xyz，, 1/3【证明】记曲面的参数表示为，则 r(,)(,,())xyxyxy,， 16 ,2/3,2/311r,，(0,1,())xy， ， r,，(1,0,())xyyx33 ,5/32， r,,，(0,0,())xyxx3 ,5/3,5/322r,,，(0,0,())xyr,,，(0,0,())xy， ， xyyy99 rr，xy,,2/32/311rr，,,，,，((),(),1)xyxy， ， n,xy33||rr，xy ,5/32， Lxy,,,,，,rnn(0,0,())xx9 ,5/32Mxy,,,,，,rnn(0,0,())， xy9 ,5/322,,,LNM0Nxy,,,,，,rnn(0,0,()) ， yy9 3曲面的所有点为抛物点( xyz，,？ r(,)(cos,sin,)uvuvuvav,120(求证正螺面是极小曲面(,平均曲率,中,15分钟, 【证明】，， r,(cos,sin,0)vvr,,(sin,cos,)uvuvauv ，，， r,(0,0,0)r,,(sin,cos,0)vvr,,,(cos,sin,0)uvuvuuuvvv ijk rr，,,,cossin0(sin,cos,)vvavavu， uv ,uvuvasincos rr，(sin,cos,)avavu,uv， n,,22||rr，au，uv 22，，， F,,,rr0Gau,,,，rrE,,,rr1uuuvvv a，，， L,,,rn0N,,,rn0M,,,,rnuvuuvv22au， a221020()()0,,,,,，，,au22121ENFMGL,，au，故正螺面是极小曲面( ？,,,,,H0,2222221()0EGFau,,，, 121(证明极小曲面上的点都是双曲点或平点(,点的分类、平均曲率,中,5分钟, ,,，212【证明】， ， ？,,,,？,,,,,K,,,0H0,,121222 K,0当时，， 极小曲面的点都是平点; ,,,,0？12 K,0当时，极小曲面的点都是双曲点( 第四章 17 122(证明若曲面上有两族测地线交于定角，则曲面的高斯曲率为零(,高斯曲率,难,10分钟, 2,,【证明】在每族测地线中任取两条，围成曲面上的曲边四边形(根据已知条件，曲边四边形的外角和为由高斯-波 涅公式有 ， Kd22,,,，,,,G ( Kd0,,,,G 处，，不妨设，则在点的邻近，从而对于围绕点的充分小的曲边四若在曲面上的某点K,0K,0PKP()0,PP0000边形有 ， Kd0,,,,G 得出矛盾，所以，即曲面为可展曲面( K,0 1123(求证半径为R的球面上测地三角之和为其中为测地三角形的面积(,高斯-波涅定理,难, A,，A,(),(),2R 【证明】由高斯-波涅公式有 ( KSd(),,,,,,,G 1对于半径为R的球面有，所以 K,2R 1， ,,，,,SA()()2R A(),其中为测地三角形的面积( 124(若曲面的高斯曲率处处小于零，则曲面上不存在围成单连通区域的光滑的闭测地线( SS ()CG【证明】设若存在所述闭测地线，它所围成的曲面部分为，则由高斯-波涅公式 k ( Ksdd()2,,,,,，，,,,gi,,,,1i,GG K,0因为，则，又后两项均为0，得出矛盾(所以不存在所述测地线( Kd0,,,,G 18