细说“穿针引线法”-2012年7月15日修订

细说“穿针引线法”-2012年7月15日修订 ?032 细 说 穿 针 引 线 法 江西省乐安县第一中学 黄绍荣 344300 “穿针引线法”，又称“数轴标根法”，准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴:省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。适用于可分解的多项式函数、可分解的分式函数的符号情况，进而用于解相应高次不等式，研究相应函数的单调性。 nn,1如果一个n次多项式函数可分解为: fxaxaxaxa(),,，,，，,，nn,110 rrrr12ikfxaxxxxxxxx(),,,,,,,,,，，，，，，，， 12nik 其中，是最高次数项系xxxrrrnxfxr,,,，，，,,,,()0叫作的重根ai12k12kin数，可正也可负，以后每个因子内x的系数均化为“1”——这一点很重要。 做好如上工作后，那么，我们可以用“穿针引线法”来分析其符号情况。 第1步，标根:在数轴上从左到右依次标出 (在标的时候注意区别“空心”与“实心”)xxx，，，12k 时，从数轴的右上方入， 第2步，确定入口:最高次数项系数a,0n(这一点很重要，尤其是在分析 导函数符号情况时用得上。时，从数轴的右下方入; a,0n( 第3步，确定出口:接第2步，用自由曲线自右向左依次连向各根所在点，注意“奇重根穿 过去，偶重根弹出来”。 fx()0,第4步:读图:数轴上方线条所覆盖的x范围表示，数轴下方线条所覆盖的x范围 fx()0,fx()0,表示，每个根处 实例1:求下列不等式的解集 2 (1)3(3)(1)(2)0xxx，,,,. . . -3 1 2 X (,3]{1}[2,),,,,,，,解:见右图1,得解集为 图1注意:这时所有零点是“实心”的 2 (2)(3)(1)(2)0,，,,,xxx [3,2],解: 见右图2，得解集为 . . . -3 1 2 X 注意:这时所有零点是“实心”的. 图2 2 (3)(3)(1)(2)0xxx，,,, (3,1)(1,2),,解: 见右图3，得解集为 。 。 。 注意:这时所有零点是“空心”的. -3 1 2 X (3)(1)xx，,(4)0, 图32(2)x, (,3][1,2)(2,),,,,,，, .解: 见右图4，得解集为 . 。 -3 1 2 X 图4 注意:任何时候来自分母的零点都是“空心”的. 实例2:求解某些绝对值不等式(只作等价转换，画图求解过程略) 2110xx,,,,1,.解不等式 ，，，， 1,,221102110xxxxx,,,,,，,,解:原不等式等价于 ，，，，，，，，,,2,, 1,,xxx,,,,1或1答案: ,,2,, x,2,2,.解不等式,0 2xx,,12 2xx，,22，，，，x,4解:原不等式等价于 ,,,002xxxx,,,，1243，，，， xxx242,,,,或-3<答案: ,, 2xx,，,560,,3,22,3变式练习 解不等式 ， 答案 ，，，， 实例3:求函数单调区间、极值 2,1,求函数的单调区间和极值 fxxxxm()86ln,,，， 262862(1)(3)xxxx,，,,'解: fxxx()28(0),,，,,, xxx fx'()的符号情况如右图5,x>0部分, fx'()的符号情况 . 。. fx() 的增区间为 ？(，0,1][3,+,)0 1 3 X fx()()1,3 的减区间为 图5 fxfm()(1)7,,,，fxfm()(3)15ln3,,,，，～ 极大值极小值 162,2,求函数的单调区间 fxx(),,x 32162(8)2(2)(24),，,，,，xxxx'fxx()2,,,,,222xxx 解: 2,，,，2(2)[(1)3]xxfx'()的符号情况,,(0)x2x. 。 0 -2 X 2 (1)30x,，,图6 2(2)x，～略右图6. ？fx'()的符号情况由确定2x fx()fx()[2,0,,)，(0,+) 的增区间为，的减区间为(,，),,2？