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摘  要：本文主要研究辅助函数在数学分析中的一些应用，如辅助函数在数学分析中的基本定理、极限、恒等式、不等式以及微分中值定理的证明等方面的具体应用等. 关 键 词：数学分析，辅助函数，极限，不等式，微分中值定理，应用. Abstract: This article mainly studies the applications of the auxiliary function in mathematical analysis such as the proof of fundamental theorems, limit, equalities, inequalities and differential mean value theorems. Keywords: mathematical analysis, auxiliary function, limit, inequality, differential mean value theorem, applications. 目  录 1引言……………………………………………………………………… 4 2辅助函数在数学分析中的一些应用……………………………………4 2.1辅助函数在几个定理证明中的应用……………………………………4 2.2辅助函数在极限运算中的应用……………………………………………5 2.3辅助函数在恒等式证明中的应用…………………………………………6 2.4辅助函数在不等式证明中的应用…………………………………………7 2.5辅助函数在根的存在性问题中的应用……………………………………9 2.6辅助函数在微分中值定理中的应用……………………………………10 3辅助函数在数学分析中的应用的意义…………………………………11 结论……………………………………………………………………13 参考文献………………………………………………………………………14 致谢…………………………………………………………………………15 1  引言 在数学分析中,辅助函数有着广泛的应用.辅助函数在数学分析中的应用,使问题的解决简单化,方便了分析与处理问题.而辅助函数也是数学分析中解决问题的一种重要方法.通过构作辅助函数,反映了事物内部数量特征和制约关系,揭示了其内在的关系.在处理和解决问题时常用此法,并在现代数学理论中发挥着重要作用. 2  辅助函数在数学分析中的一些应用 辅助函数是数学分析中解决问题的一种重要方法,在证明和计算当中,有些问题直接去做往往很困难,而构造适当的辅助函数去进行证明和计算往往就可以化难为易,使问题迎刃而解. 下面就从辅助函数在数学分析中各类方面的应用进行具体说明. 2.1  辅助函数在几个定理证明中的应用 例 1 罗尔定理 若函数 满足以下条件: 1)在闭区间 连续; 2)再开区间 可导; 3） . 则在开区间 内至少存在一点 使得 . 拉格朗日中值定理 若函数 满足以下条件： 1)在闭区间 连续; 2)在开区间 可导; 则在开区间内至少存在一点c,使  . 分析：不难看到,当 时,拉格朗日中值定理就成为了罗尔定理,即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况.为了应用特殊的罗尔定理证明一般的拉格朗日中值定理,需要作一个辅助函数 ,使它满足罗尔定理的条件.由平面解析几何知,通过 与 的割线方程是: . 设辅助函数 是函数 与割线 的方程之差,即 . 证 明 作辅助函数 . 已知函数 在 连续,在 可导,又有 ,根据罗尔定理,在 内至少存在一点c,使得 . 而            , 于是          , 即            . 因为不论 或者 ,比值 不变,所以 恒成立. 利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理是构造辅助函数证明定理的一个典型.它充分体现了辅助函数的作用.在此例中，辅助函数形成了一座桥梁，沟通了罗尔定理与拉格朗日中值定理. 例 2 定积分基本公式 的证明. 设在 上连续,若 是 在 上得一个原函数,则 . 证 明 因为 是 在 上的一个原函数,而 在任意原函数只能相差一个常数,所以  . 若在此式中令 ,则 ,从而得到 , 移项后为    . 再令 ,得到 ,即  . 从以上的证明中我们可以看出定积分的基本公式——牛顿-莱布尼兹公式的证明中用到了辅助函数即积分上限函数   . 2.2  辅助函数在极限运算中的应用 例 3 求  . 解  作辅助函数  , 则  , 所以  , 故    . 例 4  求    . 分析：此例求数列的极限,如果直接用数列极限的有关方法来求比较麻烦,但是如果利用辅助函数并根据定积分的定义就可以较容易地解决问题. 解 因为  . 又因为 在 上连续,从而可积,于是有： . 在求极限值的运算中,合理构造辅助函数,并与其他的相关知识结合,将求极限值的问题转化为一些简单的基本知识,方可轻易解决. 2.3  辅助函数在恒等式证明中的应用 例 5 设函数 在 可导,证明存在 ,使 . 分析：观察结论  , 变形得        . 不难想到，它是 的导数,结合罗尔定理推得的结论. 于是令        , 可计算 ，并且 在 连续,在 可导,满足罗尔定理的条件，此问题即可解决. 证 明  令 . 因为 在 连续,在 可导,且 , 所以由罗尔定理得,存在 ,使得 , 即          . 例 6 设 与 在 连续,在 可导,且 ,试说明至少存在一点 ,使得 . 证 明  把结论变形为 , 移项得      , 上式正是    , 从而令      . 因为 在 上满足罗尔定理的条件,所以存在 ,使得 , 即        . 根据恒等式的形式,合理的构造辅助函数,使将要解决的问题转移到另一类问题,再进行一系列简单的推理,原问题就会迎刃而解. 2.4  辅助函数在不等式证明中的应用 例 7 设函数 在 上连续且单调减少,证明：对于任意 ,均有 . 分析：仔细观察所要证明的不等式,发现不等号主要是由于定积分的上限变化所致,故可以利用变上限积分构造辅助函数,再利用导数确定该辅助函数的单调性的方法加以证明. 证 明  令      , 则        . 因为 在 上单调减少,所以当 时, ；当 时, ,故 在 上单调减少,于是对于任意的 ,有 , 即 ,亦即 . 例 8 设 在 上连续,在 内可导，且 , ,试证: 分析：此例的结论极为复杂,常规思路已经走投无路了.此时,活用辅助函数将是问题的突破口. 观察结论的左侧,存在平方,利用变积分上限函数,令 ,对其求导后,推得结论 . 再观察结论的右侧,存在三次方,不易直接使用辅助函数,但是再联系柯西中值定理可推得      .结论即可得. 证 明  因为 , ,所以 . 作辅助函数        . 则                . 又 ,故 ，即 . 令              , . 由柯西中值定理知:  , , 而            , , 且            , . 因此,        . 例 9 已知函数 在 连续,在 内可导,且 , ,求证： . 分析：把 变形为 ,所以要证明 ,只要构造辅助函数 , ,再利用 在 的单调性即得本体证明. 证 明  作辅助函数    , . 得到任意 都有  , 即有          , 即    在 时增函数,从而 , 即            . 在数学分析的不等式中,观察结论与已知知识的联系,利用辅助函数将两者联系到一起解决问题,这在解决一些较麻烦的不等式问题中有重要应用. 2.5  辅助函数在根的存在性问题中的应用 解方程 ,实质上就是求函数 的零点,关于零点的问题一般是利用连续函数的性质及微分中值定理来解决. 例 10 已知 在 上非负连续,且 ,求证对任意的实数 ,必存在 ,使得 ,且 . 证 明  做辅助函数    , 则有              ， . 而 在 连续,由连续函数介值定理有 ，使得 ， 即                      . 例 11 证明方程 在 与 内各有一个实根. 证 明 令 . 则 在 内至少有一个实根,在 内也至少存在一个实根,故方程 在 与 内各有一个实根. 例 12 已知 为常数,证明方程 在 内至少有一个实根. 分析：若是将已知 变为 ，当 时,即为已知. 故，令          ， 又可知 ,且 在 连续，在 可导. 再结合连续函数的性质，即可证明. 证 明  令 ,则 . 因为 在 上连续,在 内可导,且 , ,根据罗尔定理, 在 内至少有一个实根,即方程 在 内至少有一个实根. 根的存在性问题,常常和连续函数的性质、微分中值定理有关,如果能够构造合理的辅助函数,将根的存在性问题转化,变为有关于连续函数的性质和微分中值定理的问题,原问题将得到简化. 2.6  辅助函数在微分中值定理中的应用 例 13 设函数 在闭区间 上连续,在开区间 内有二阶导数,证明存在 ,使得      . 分析：将 的 换成变量 ,并变形的二阶常微分方程：    . 记        , 得二阶常微分方程：    , 其通解为：    . 作辅助函数    . 为了使得 满足罗尔定理条件,令 ,即可得 , . 于是      . 证 明  记 . 作辅助函数 ,则 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,且 ,由罗尔定理可知, 存在 , ,使得 ,再由罗尔定理,存在 ,使得 ,即 . 即  . 例 14 设函数 在 可微,且 ,试证明在 内至少存在一点 使得      . 证 明  因为      . 令              . 因为        , 而由积分中值定理,存在 ,使得 . 所以 ,在 上对 应用罗尔定理,可知存在 ,使得    ,即 . 继续阅读