曲线运动复习

曲线运动复习 第四章:曲线运动 ?复习策略 在本专D(变加速曲线运动。 【变1】质点仅在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时速度的方向与x轴平 体运动、电磁场等知识进行综合，以便开阔视野，提行，则恒力F的方向可能沿( ) 高自己综合能力。 A(x轴正方向 1(在复习具体)(多项) A(如果这个力是引力，则施力物体一定在?区域中 B(如果这个力是引力，则施力物体可能在?区域中 C(如果这个力是斥力，则施力物体一定在?区域中 D。 如果这个力是斥力，则施力物体可能在? 区域中 【变3】如图所示，质量为m的小球，用长为l的 ?点电荷的电场中带电粒子可以做匀速圆周运动。 l 不可伸长的细线挂在O点，在O点正下方处有一光 ?带电粒子只受洛仑磁力作用下的圆周运动(注意2有界磁场中的圆周运动的特点和解法)。 滑的钉子O′。把小球拉到与钉子O′在同一水平高度的 ?复合场中的圆周运动。 5、类平抛运动 (1)有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运动。 (2)、类平抛运动的受力特点: 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。 (3)、类平抛运动的处理方法:在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加 F合 位置，摆线被钉子拦住且张紧，现将小球由静止释放，当小球第一次通过最低点P时不可能是( ) A(小球的运动速度突然减小 B(小球的角速度突然减小 C(小球的向心加速度突然减小 D(悬线的拉力突然减小 曲线运动一定是变速运动，但不一定是匀变速运动。可以根据做曲线运动物体的受力情况(或加速度情况)进行判断，若受到恒力(其加速度不变)，则为 匀变速运动，若受到的不是恒力(其加速度变化)，则 速直线运动，加速度a 。处理时和平抛运动类似，为非匀变速运动。 m 例如:平抛运动是匀变速运动，其加速度恒为g; 但要分析清楚其加速度的大小和方向如何，分别运用而匀速圆周运动是非匀变速运动，其加速度虽然大小两个分运动的直线规律来处理。 『题型解析』 不变，但方向是时刻变化的。 【例2】一质点在某段时间) 【例1】质量为m的物体受到一组共点恒力作用而A(速度一定不断地改变，加速度也一定不断地改变 处于平衡状态，当撤去某个恒力F1时，物体不可能做B(速度一定不断地改变，加速度可以不变 ( ) A(匀加速直线运动; B(匀减速直线运动; 1 C(速度可以不变，加速度一定不断地改变 D(速度可以不变，加速度也可以不变 【例3】如图所示，一个劈形物体M各面均光滑，上面成水平，水平面上放一光滑小球m，现使劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是(斜面足够长)( ) A(沿斜面向下的直线 b B(竖直向下的直线 C(无曲线 A(一定是直线运动 B(一定是曲线运动 C(可能是直线运动，也可能是曲线运动 轮船渡河问题: 【例5】河宽d,60m，水流速度v1,6m,s，小船在静水中的速度v2=3m,s，问: (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? 【变7】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间)多项 2, 1 22 B(0 C( d 1 2 D ( d 2 1 指物拉绳(杆)或绳(杆)拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是:把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相同求解。 A(若x方向始终匀速，则y方向先加速后减速 B(若x方向始终匀速，则y方向先减速后加速 C(若y方向始终匀速，则x方向先减速后加速 方法一:根据加速度与初速度的方向关系判断 先求出合运动的初速度和加速度(可以用作图法求)，再判断。可以发现，当直线运动，否则为曲线运动。 v01v02 合速度方向:物体实际运动方向 分速度方向:沿绳(杆)伸(缩)方向:使绳(杆) a 1时，合运动为伸(缩) a2垂直于绳(杆)方向:使绳(杆)转动 速度投影定理:不可伸长的杆或绳，若各点速度不 【例4】关于运动的合成，下列说法中正确的是( ) 同，各点速度沿绳方向的投影相同。 这类问题也叫做:斜拉船的问题—— 有转动分速度 A(合运动的速度一定比每一个分运动的速度大 B(两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动 的问题 【例5】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的 C(两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动 速度v0 拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成θ角D(合运动的两个分运动的时间不一定相等 【变6】关于互成角度的两个初速不为零的匀变速时，求物体A的速度。 直线运动的合运动，下述说法正确的是 2 高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移S1= 3 m。着地时由于存在能量损失，着地后速度变为v=4 m/s，并以此为初速沿水平地面滑 【变8】如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高(问:当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为多少, 行S2=8 m后停止，已知人与滑板的总质量m=60 kg。求: (1)人与滑板离开平台时的水平初速度。 (2)人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小。(空气阻力忽略不计，g取10m/s) 【变9】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为 【变10】如图所示，排球场总长为18m，设球网高度为2m，运动员站在网前3m处正对球网跳起将球水平击出。 2 (1)若击球高度为2.5m，为使球既不触网又不出界，求水 mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在平击球的速度范围; 一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α(2)当击球点的高度为何值A球沿槽下滑的速度为VA，求此时B球的速度VB, 时，无论水平击球的速度多 大，球不是触网就是越界, 1(常规题的解法 【例6】如图所示，某滑板爱好者在离地h= 1.8 m 3 2(斜面问题 (1)分解速度 【例7】如图所示，以水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为 的斜面上，求物体完成这段飞行的时间和位移。 \ (2)分解位移 【例8】在倾角为 的斜面顶端A处以速度v0水平 【变12】(位移比值问题)如图所示，在斜面上O点先后以υ0和2υ0的速度水平抛出A、B两小球，则从抛出至第一次着地，两小球的水平位移大小之比可能为( ) A(1 :2 B(1 :3 C(1 :4 D(1 :5 3(相对运动中的平抛 【例9】正沿平直轨道以速度 匀速行驶的车厢 ) A(b与c之间某一点 B(c点 位置如图所示，若取轨迹C(x，y)点作该曲线的切线(图中虚线)交y轴于A点，则OA的坐标为( ) A((0，0.6 y) B((0，0.5 y) C((0，0.4 y) D(不能确定 4 C(c与d之间某一点 D(d点 着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动(合力的方5、转化为平抛运动 【例题】如图所示，有一个很深的竖直井，井的横向并不总跟速度方向垂直( 截面为一个圆，半径为R，且井壁光滑，有一个小球从井口的一侧以水平速度v0抛出与井 壁发生碰撞，撞后以原速率被反弹，求小球与井壁发生第n次碰撞处的深度。 【难】如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有一个入口A，在A的正下方h 处有一个出口B，一质量为m 的小球沿切线方向的水平槽射入圆筒内，要使小球从B处飞出，小球射入入口A的速度 满足什么条件?在运动过程中球对筒的压力多大, 圆周运动 『夯实基础知识』 匀速圆周运动 1、定义:物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。 2、分类: ?匀速圆周运动: 质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的 3、描述匀速圆周运动的物理量 (1)轨道半径(r):对于一般曲线运动，可以理 解为曲率半径。 (2)线速度(v): ?定义:质点沿圆周运动，质点通过的弧长S和所用时间t的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。 ?定义式:v st ?线速度是矢量:质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。 (3)角速度(ω，又称为圆频率): ?定义:质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。 ?大小: 心角) ?单位:弧度每秒(rad/s) ?物理意义:描述质点绕圆心转动的快慢 (4)周期(T):做匀速圆周运动的物体运动一 周所用的时间叫做周期。 (5)频率(f，或转速n):物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。 各物理量之间的关系: 2 rf r tT v r 2 t 2 f tT v s 2 r t 2T (φ是t时间内半径转过的圆 注意:计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。 (6)圆周运动的向心加速度 ?定义:做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心 的加速度叫向心加速度。 圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。 物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外2 v2 r(还有其它的示形式，?大小:an 力作用下所做的曲线运动。 r 注意:这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等( ?变速圆周运动:如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束 5 2 如:an v r ,2 f T 2 ,2r) ?方向:其方向时刻改变且时刻指向圆心。 对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r为曲率半径; 物体的 另一加速度分量为切向加速度a ，表征速度大小改变的快慢(对匀速圆周运动而言，a =0) (7)圆周运动的向心力 匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力Fn提供向心加速度(下式仍然适用)，切向分力F 提供切向加速度。 向心力的大小为:Fn man m有其它的表示形式，如: 2 Fn mv m r m,2 f T 2 4(两类典型的曲线运动的分析方法比较 (1)对于平抛运动这类“匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在固定的坐标系内正交分解其位移和速度”，运动规律可表示为 x 0t, 1y gt 2 2 x 0, ; gt. y v 2 r m r(还 2 (2)对于匀速圆周运动这类“变变速曲线运动”， 我们的分析方法一般是“在运动的坐标系内正交分解其力和加速度”，运动规律可表示为 , 2 ;向心力的r) 方向时刻改变且时刻指向圆心。 实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运 动中的具体表现形式。 F切 ma切 0, 2 m 2 mr m . F法 F向 ma向 r 4(雨滴问题: 【例1】雨伞边缘的半径为r，距水平地面的高度 五、离心运动 为h，现将雨伞以角速度ω匀速旋转，使雨滴自伞边 1、定义:做圆周运动的物体，在所受合外力突然 缘甩出，落在地面上成一个大圆圈。求:(1)大圆圈的 消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下，就做半径是多少, (2)雨滴落到地面时速 率是多少, 远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。 2、本质: ?离心现象是物体惯性的表现。 ?离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动 半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。 ?离心运动并不是受到什么离心力，根本就没有这 个离心力。 3、条件: 当物体受到的合外力Fn man时，物体做匀速圆 周运动; 5、碰钉问题: 当物体受到的合外力Fn,man时，物体做离心运 【例2】一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O 点正下方L/2处动 钉有一颗钉子，如图所示，将悬线沿水平方向拉直无 当物体受到的合外力Fn,man时，物体做近心运 初速释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间 动 实际上，这正是力对物体运动状态改变的作用的体现，外力改变，物体的运动情况也必然 改变以适应外力的改变。 A(小球线速度没有变化 B(小球的角速度突然增大到原来的2倍 C(小球的向心加速度突然增大到 原来的2倍 D(悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍 6 【例3】关于向心力的说法正确的是( ) A(物体由于作圆周运动而产生一个向心力 B(向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小 C(做圆周运动的物体的向心力即为其所受合外力 D(做匀速圆周运动的物体的向心力是个恒力 【变1】(07山东-24)(如图所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块。当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道ABC。以知AB段斜面倾角为53?，BC段斜面倾角为37?，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均μ=0.5 ，A点离B点所在水平面的高度h=1.2m。滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点的机械能损 2 失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g=10m/ssin37?=0.6; cos37?=0.8 (1)若圆盘半径R=0.2m，滑块从圆盘上滑落, (2)若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的机械能。 (3)从滑块到达B点时起，经0.6s正好通过C求BC之间的距离。 【例4】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。 【变2】如图所示，压路机后轮半径是前轮半径的3倍，A、B分别为前轮和后轮边缘上的一点，C为后轮上的一点，它离后轮轴心的距离是后轮半径的一半，则A、B、C三点的 角速度之比为 A? B? C,___________， 线速度之比为vA?vB?vC,___________， 向心加速度之比为aA?aB?aC,_____________ 【自1】如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自 行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动 小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。(假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动) 车轮 小齿轮 ?解析:大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v=2πnr可知转速n和半径r成反比;小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1?n2=2?175 2 n1 10 35 2 n2 1可得n1?n2=2?175 【例5】如图所示，在匀速转动的圆筒内壁 上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是( 凡是直接用皮带传动(包括链条传动、摩擦传动)A、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等; 凡是同一个轮轴上(各个轮都绕同一根轴同步转动)的各点角速度相等(轴上的点除外)。 7 B、物体所受弹力增大，摩擦力减小了 C、物体所受弹力和摩擦力都减小了 D、物体所受弹力增大，摩擦力不变 【变3】如图为表演杂技“飞车走壁”的示意图.演员圆周运动.图中a、b两个虚线圆表示同一位演员骑同一辆摩托,在离地面不同高度处进行表演的运动轨迹.不考虑车轮受到的侧向摩擦,下列说法中正确的是( ) 【自2】如图所示，质量为m=0.1kg的小球和A、中A绳长LA=2m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细 骑摩托车在一个圆桶形结构的 的拉力分别为多大, B(在a轨道上运动时线速度较大 ?解析:(1)当B绳恰好拉直，但 C(在a轨道上运动时摩托车对侧壁的压力较大 TB=0时，细杆的转动角速度为ω1， D(在a轨道上运动时摩托车和运动员所受的向心有: TAcos30?=mg 力较大 020 TAsin30 m 1LAsin30 【变4】如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，A、B间用长为L的细线相连，开始时A、B与轴心在同一直线上，线被拉直，A、B与水平转台间最大静摩擦力均为重力的μ倍，当转台的角速度达到多大时线上出现张力,当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动, μg ω′ = 2L3L 【变5】如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长为L=2m?解析:ω = 的细绳悬一质量为m=1kg的小球，圆锥顶角为2θ=74?求:(1)当小球ω=1rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。(2)当小球以ω=5rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。 8 解得:ω1=2(4rad/s 当A绳恰好拉直，但TA=0时，细杆的转动角速度为ω2，有:TBcos450 mg TBsin45 m 2LAsin30 20 解得:ω2=3.15(rad/s) 要使两绳都拉紧2.4 rad/s?ω?3.15 rad/s (2)当ω=3 rad/s时，两绳都紧( TAsin30 ,TBsin45 m LAsin30 2 TAcos30 ,TBcos45 mg TA=0.27N， TB=1.09N [点评]分析两个极限(临界)状态来确定变化范围，是求解“范围”题目的基本思路和方法( 1、竖直平面内: (1)、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况: ?临界条件:小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即mg mv临界 r 2 临界 rg( 临界是 小球通过最高点的最小速度，即临界速度)。 ?能过最高点的条件: 临界。 此时小球对轨 道有压力或绳对小球有拉力N m v 2 r ,mg 向圆心的压力N m v 2 r ,mg，其大小随速度的增大 ?不能过最高点的条件: 临界(实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道)。 (2)图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况: 而增大。 ?图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。在最高点的v临界=gr。当v=gr时，小球将脱离轨道做平抛运动 注意:如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合 力等于向心力，此时临界速度V0 gR 。要具体问 ?临界条件:由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰题具体分析，但分析方法是相同的 能 达到最高点的临界速度 临界 0。 【例6】如图所示，半径为R，内径很小的光滑半 圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同?图(a)所示的小球过最高点时， 轻杆对小球的弹速率进入管内，A通过最高 点C时，对管壁上部的压力对管壁下部的压力为0.75mg(求A、B两球落地 点间的距离( ，大小随速度的增大而减小;其取值 【变6】AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，在 当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其为3mg，B通过最高点C时，大小等于 小球的重力，即N=mg; 当0<v<rg时，杆对小球有竖直向上的支持力 v 2 力情况是: N mg,m r 范围是mg>N>0。 当 当v> v 2 rg时，N=0; rg时，杆对小球有指向圆心的拉力 N m r ,mg，其大小随速度的增大而增大。 ?图(b)所示的小球过最高点时，光滑硬管对小 球的弹力情况是: 当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持下端B与水平直轨相切，如图所示。一 小球自A点起力，其大小等于小球的重力，即N=mg。 由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨 道半径为R，小球 的质量为m，不计各处摩擦。求 当0<v<rg时，管的下侧内壁对小球有竖直向上 ?小球运动到B点时的动能; 2 v ?小球下滑到距的支持力N mg,m，大小随速度的增大而减 r水平轨道的高度为小，其取值范围是mg>N>0。 当v=gr时，N=0。 当v> gr时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指 R/2时速度的大小和 方向; ?小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力NB、NC各是多大, 9 【自3】如图所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆v0=7.0m/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点。求A、C间的距离(取重力加速度g=10m/s2)。 【变8】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)(在圆管中球的质量为m1，B球的质量为m2(它们沿环形圆管顺 时针运动，经过最低点时的速度都为v0(设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是______( 环的端点A。一质量m=0.10kg的小球，以初速度有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)(A 【】1.2m 【变7】游乐场的过山车的运动过程可以抽象为图所示模型。弧形轨道下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开。试分析A点离地面的高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点(已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力)。 【例8】如图所示，某圆筒绕中心轴线沿顺时针方向做匀速圆周运动，筒壁上有两个位于同一圆平面内的小孔A、B，A、B与轴的垂直连线之间的夹角为θ，一质点(质量不计)在某时刻沿A孔所在直径方向匀速射入圆筒，恰从B孔穿出，若质点匀速运动的速度为v，圆筒半径为R(则，圆筒转动的角速度为____________。 【例7】如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光 滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高【变9】如图所示，半径为R的圆板做匀速运动，度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落当半径OB转到某一方向时，在圆板中心正上方h处在水平地面上C点处，不计空气阻力，求: (1)小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大? (2)小球落地点C与B点水平距离s是多少? 10 以平行于OB方向水平抛出一球，小球抛出时的速度及圆盘转动的角速度为多少时，小球与圆盘只碰撞一次，且落点为B。