菱形的性质及判定

菱形的性质及判定 菱形的性质 及判定 中考 知识点 A要求 B要求 ,要求 菱形 会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和会用菱形的知识解决有关 判定解决简单问题 问题 知识点睛 1(菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形( 2(菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形～它具有平行四边形的所有性质～•还具有自己独特的性质: ? 边的性质:对边平行且四边相等( ? 角的性质:邻角互补～对角相等( ? 对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角( ? 对称性:菱形是中心对称图形～也是轴对称图形( 菱形的面积等于底乘以高～等于对角线乘积的一半( 点评:其实只要四边形的对角线互相垂直～其面积就等于对角线乘积的一半( 3(菱形的判定 判定?:一组邻边相等的平行四边形是菱形( 判定?:对角线互相垂直的平行四边形是菱形( 判定?:四边相等的四边形是菱形( 重、难点 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。 13.1.3菱形的性质和判定 讲义?学生版 page 1 of 7 例题精讲 板块一、菱形的性质 【例1】 ? ?菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ?在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【例2】 ?如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离，则16cmABBC,,16cm 度( ，,1 ABC 1 图2 ?如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形 EFABADEF,2ABCD，,:A60ABCD 的边长是______( A EF BD C 【例3】 如图，E是菱形的边AD的中点，于H，交的延长线于F，交AB于P， ABCDEFAC,CB 证明:AB与EF互相平分( D E HCA P BF BDHAD【例4】 ? 如图1所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的ABCDACOABCD 24周长为，则的长等于 ( OH A H BDO C 图1 ACBDDEBC,,,8cm4cm，，【巩固】 ?如图，已知菱形的对角线于点E，则DE的长为 ABCD 【例5】 ? 菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为 20cm2:1 【巩固】 如图2，在菱形中，，，则菱形的边长为( ) ABCDAC,6BD,8 A( B( C( D( 51068 13.1.3菱形的性质和判定 讲义?学生版 page 2 of 7 AD BC图2 【巩固】 如图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则EFABPABCD，,:A110BCEPCD, ( ) ，,FPC A( B( C( D( 35:45:50:55: D A EP C FB 图3 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为的菱形，剪【例6】 ?60: 口与折痕所成的角的度数应为( ) , A(或 B(或 C(或 D(或 15:30:30:45:45:60:30:60: 【巩固】 菱形中，E、F分别是、的中点，且，，那么，EAF等于 (ABCDBCCDAEBC,AFCD, 【巩固】 如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚10cm8cm 线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( ) 222210cm20cm40cm80cmA( B( C( D( D AC B图1 ACBD，【例7】 ?已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角ABCD 的大小是 【例8】 如图，菱形花坛的周长为，，•沿着菱形的对角线修建了两条小路和ABCD20m，,:ABC60AC BD，求两条小路的长和花坛的面积( A ODB C 图2 EFAEAFEFAB,,,【例9】 已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数(ABCDBCCD，C 13.1.3菱形的性质和判定 讲义?学生版 page 3 of 7 A BD EF C 板块二、菱形的判定 【例10】 如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件ABCD 是 ( AD BC 【例11】 ?如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证:四边BDBDABEF,ABC，ABCBC 形BEDF是菱形 A DE CBF 【巩固】 已知:如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边AD、分别相交于E 、F.ABCDACBC 求证:四边形是菱形. AFCE EAD O BCF 【例12】 如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点落在ABCDADBC//ADCD,C ,,AD上的点处，折痕DE交于点E，连结.求证:四边形是菱形( CBCCECDCE C'DA CBE EADHFABP【例13】 ?如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，ABCDEFAC,CB 证明:AB与EF互相平分 EEAADD PP BCBCFF AE,ABEE【巩固】 ?已知:如图，在平行四边形ABCD中，是BC边上的高，将沿BC方向平移，使点13.1.3菱形的性质和判定 讲义?学生版 page 4 of 7 与点重合，得(若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形,ABC,GFC，,:B60BCABFG 证明你的结论( AGD BEFC 【例14】 如图，在中，，是的中点(分别作于，于，MMDAB,DE,ABCABAC,BCMEAC,DFAC, 于，于(相交于点(求证:四边形是菱形( FPDMEPEGAB,GDFEG、 A GFP DE MCB 【例15】 如图，中，，是的平分线，交于，是边上的高，交ADDABAD,ABC，,:ACB90，BACBCCH 于，于，求证:四边形是菱形( FDEAB,ECDEF C D F ABHE 【巩固】 ?如图，M是矩形内的任意一点，将,MAB沿AD方向平移，使AB与重合，点M移ABCDDC 动到点M'的位置 ?画出平移后的三角形; MDMCMM，，'ABAD，?连结，试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的MDMC' 长; ?当M在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形,为什么, MDMC' DA M'M BC 三、与菱形相关的几何综合题 【例16】 已知等腰中，，AD平分交于D点，在线段AD上任取一点P(A点?ABCABAC,，BACBC PEFAB?EFABM除外)，过点作，分别交、于、点，作，交于点，连ACBCPMAC? ME结. AEPM?求证四边形为菱形 PAEPMEFBM?当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半, 13.1.3菱形的性质和判定 讲义?学生版 page 5 of 7 C D PEF BA M 课后练习 1. 菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为 ( 52cm10cm ABaE,4，BEaBADP,，,:2120，，2. 如图，在菱形中，在上，点在上，则BDABCDBCPEPC，的最小值为 DA P BCE 233. 已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________( 60: 4. 已知，菱形中，、分别是、上的点，且，(求:EFABCDBCCD，,，,:BEAF60，,:BAE18 的度数( ，CEF AD F BEC 5. 如图，在中，，D是的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，,ABCABAC,BC (当AE与AD满足什么数量关系时，四边形是菱形,并说明理由( CEABEC B DAE C 6. 如图，,ABE、、均为直线同侧的等边三角形(已知( ,ACD,BCFBCABAC,? 顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类,直接写出构成图形的类型和相应 的条件( ? 当为 度时，四边形ADFE为正方形( ，BAC F E D A BC BE，BAMBE,M7. 如图，已知、CF分别为,ABC中、，C的平分线，于，ANCF,于N，求 13.1.3菱形的性质和判定 讲义?学生版 page 6 of 7 证:( MNBC? A EFNM CB 13.1.3菱形的性质和判定 讲义?学生版 page 7 of 7