有限元第七章材料非线性问题的有限元

第七章　材料非线性问的有限元法 7.1　引  言 前面各章所讲述的问题，都属于线性变形体系。所谓线性变形体系是指位移与载荷呈线性关系的体系，而且当载荷全部撤除后，体系将完全恢复原始状态。这种体系也称为线性弹性体系，它需满足下列条件： （1）材料的应力与应变关系满足虎克定律： （2）位移是微小的； （3）所有约束均为理想约束。 在分析线性弹性体系时，可以按照体系变形前的几何位置和形状建立平衡方程，并且可以应用叠加原理。根据这种理论建立起来的方程是线性的，对于小应变和小位移的情形这种分析是适用的。 实际结构的位移与载荷可以不呈线性关系，这样的体系称为非线性变形体系。如果体系的非线性是由于材料应力与应变关系的非线性引起的，则称为材料非线性，如材料的弹塑性性质、松驰、徐变等。如果结构的变位使体系的受力发生了显著的变化，以至不能采用线性体系的分析方法时就称为几何非线性，如结构的大变形、大挠度的问题等。还有一类非线性问题是边界条件非线性，或状态非线性，如各种接触问题等。但本书只讨论前两类非线性问题的有限元解法，即材料非线性和几何非线性问题的有限元解法，对接触问题的有限元解法，读者可参考其它书籍。 材料非线性问题的处理相对比较简单，通常不必修改整个问题的表达式，而只需将应力—应变关系线性化，求解一系列的线性问题，并通过某种校正方法，最终将材料特性调整到满足给定的木构关系，从而获得了问题的解。 对于几何非线性问题，那就需要对公式进行根本的修改，这个问题将在后面详细讨论，不过应该指出，用于求解材料非线性问题的基本迭代方法也同样适用于几何非线性问题的求解。事实上，有些工程结构问题同时具有这两类非线性性质，它们可以统一地加以处理。 本章将首先介绍用有限元方法处理非线问题的一般方法，然后讨论这些方法在非线性弹性、弹塑性和蠕变问题中的应用。在介绍弹塑性问题的处理方法前，为便于讨论，需扼要叙述一下Mises屈服准则和Prandtl-Reuss塑性流动理论，并据此写出弹塑性矩阵表达式。最后对平面刚架的极限分析做了简要介绍。 7.2　非线性问题的一般处理方法 非线性问题用有限元法离散化应得到如下形式的一组代数方法： 或写成 （7.1） 其中　 。虽然线性方程组 直接求解并无困难，但对于方程组（7.1），单元刚变矩阵是单元节点位移向量的函数，直接求解就行不通。然而，下面介绍的非线性方程组的各种解法，仍以反复地求解线性方程组去获得满足一定精度要求的非线性方程组的解答。 7.2.1　直接迭代法 对于方程（7.1） （7.2） 最简单的求解方法是直接迭代法。开始求解时先假定一组初始值 代入上式的 中，可求得改进了的一次近似值 式中 重复上述过程，将迭代格式写成 迭代一直进行到误差的某种范数小于预先的容许值er，即满足 则停止。 可以看出，该法的每一次迭代都需形成一次系数 矩阵，并求解一次线性代数方程组。这里还隐含着一个假定，系数矩阵 可以表示成 的显函数，因此该法只适用于与变形历史无关的非线性问题，例如非线性弹性问题及可利用形变理论分析的弹塑性问题。而对于依赖于变形历史的非线性问题，直接迭代法是不适用的，例如加载路径不断变化或涉及卸载及反复加载等必须利用增量理论分析的弹塑性问题。 图7.1显示了单变量问题中这种迭代过程收敛和发散的可能性。通常，如 曲线是凹的，则迭代发散。 图7.1  直接迭代法 7.2.2　Newton-Raphson方法（简称N－R方法） 若已获得方程（7.1）的第n次近似解 ，为了求得改进的近似解，可利用仅保留线性项的Taylor级数展开式 （7.3） 则有 （7.4） 前式中　 为切线矩阵，即 （7.5） 于是从式（7.3）可以得到式（7.4）中的 （7.6） 重复上述迭代过程，直至达到所要求的精度。 Newton-Raphson方法的迭代过程示于图7.2中，通常迭代过程是收敛的。但当所选取的初始值偏离真实解较大时，正如图7.2（b）所表示的那样，发散也是可能的。 图7.2　Newton-Raphson迭代法 由式（7.3）看出，该法在每项迭代中必须重新形成一个系数阵并求解一次线性代数方程组。应该指出，如果原始的离散化方程组是通过变分原理导出的，则切线刚度矩阵 总是对称的，而利用直接迭代法，系数矩阵的这种对称性不一定能保持。 7.2.3　修正的Newton-Raphson方法（简称修正的N－R法） 为克服Newton-Raphson方法中每次迭代都需形成一次系数矩阵和求解一次方程组的缺点，通常切线矩阵总是采用它的初始值，即令 （7.7） 因此式（7.6）现在变成 （7.8） 这样，每次迭代求解的是系数矩阵相同的方程组。对于这种系数矩阵不变的线性方程组，如果我们在迭代的开始就将 求逆或分解，则以后每次迭代只须进行一次回代过程。因而每次迭代的计算工作量大大地减小了，但收敛速度却变得较慢。不过从总的效果看，还是合算的。图7.3表示了这种方法的迭代过程。一种改进是在迭代若干次后就将切线矩阵 修正一次，修正到当前的值，这一改进方案有时是非常有效的。 图7.3　修正的Newton-Raphson迭代法 7.2.4　增量法 为了便于理解，假定方程（7.1）式表达的是结构应力分析问题，其中 代表结构的位移， 代表结构的载荷。所谓增量法首先将载荷分为若干步： ……，相应的位移也分为若干步： ……。每二步之间的增长量称为增量。增量解法的一般做法是假设第m步载荷 和相应的位移 为已知，而后让载荷增加为 ，再求解 。如果每步载荷增量 足够小，则解的收敛性是可以保证的。同时，可以得到加裁过程的中间结果。 为了说明这一方法，可将式（7.1）改写成 （7.9） 其中 是描述载荷变化的参数。将上式对入求导，得到 由此得出 （7.10） 式中 仍为切线矩阵。 有多种方法可用来求典型常微分方程（7.10）的解。其中最简单的是Euler法，它可表达成 （7.11） 其中下标指示增量加载的次数，即 或 在实际的数值计算中，由于并不用式（7.9），而是用其增量形式（7.10），所以解常会发生漂移现象。为了克服这一缺点，可将N-R法或修正的N-R法用于每一增量步。如采用N-R法，则对于 的m+1次增量步，和N-R法的第n+1次迭代表达式可写成 （7.13） 式中 是 时第n次改进的切线矩阵。由上式解出 ，则 （7.14） 开始迭代时，取 ，然后连续地进行迭代，直至方程（7.9）在 时能够在规定误差范围内被满足。 由式（7.13）可以看出，当采用N-R法进行迭代时，每次迭代都需重新形成 ，并求解一次代数方程组，致使计算工作量很大。因此通常采用修正的N-R法，这时式（7.13）中的 应代之为 （7.15） 如果每一增量步采用N-R法进行一次迭代，由式（7.13）则有 （7.16） 且假定在前一增量步结束时支配方程（7.9）是精确满足的，即 则有 （7.17） 这实际上就就是Euler法，即式（7.11）。不过采用式（7.16）时，能将前一步支配方程的误差 在本次增量步中加以校正，这是带自校正的增量法。采用此法解方程时，解的漂移不严重。 本节所讨论的上述算法是目前用于求解离散的非线性方程组的常用算法。由于用有限元分析非线性问题计算工作量很大，且有时收敛很慢甚至会导致解的发散，因而引起许多计算工作者的关注。一些加速收敛的措施和方法，好的修正计算方案已相继提出。读者如有需要可查阅有关文献。 在以上介绍的各种解法中，很难说哪一种算法最好。因为在某种情况下最经济有效的方法，在另一种情况下则不然，甚至解收敛很慢或不收敛。不过，要为一个通用程序编入一种解法时，增量法是合宜的。因为只要选择足够小的增量步，解总是收敛的，如可能，还可在每一增量步中采用N-R法或修正的N-R法，使计算结果满足一定的要求。 7.3　非线性弹性力学问题 如果我们只考虑小变形，则平衡方程在整个求解域内可写成 （7.18） 上式中的积分运算实际上应逐个单元进行，并按单元集成法把它们对节点的平衡的贡献进行叠加。右端节点力向量也由单元集成法形成。 几何关系可写成 （7.19） 但此时物理关系是非线性的，一般可写成 （7.20） 由式（7.18）至（7.20）可以导出与非线性方程组（7.1）相同的表达式 因而上节中所讨论的各种解法，原则上都可在此应用。根据非线性弹性力学问题中非线性应力一应变关系的不同表达方式，可以产生下列几种求解方案。 7.3.1　直接迭代法 如果材料的应力一应变关系能表达成 于是由式（7.19）可将应力写成 将上式代入式（7.18）后，得 （7.21） 其中 用迭代法求解方程（7.21）时，总是首先取 ，然后求出 ，由 求出位移的第一次近似值。重复这一过程，迭代格式为 （7.22） 7.3.2　切线刚度法（即N-R法） 如果材料的应力一应变关系能表示成增量关系 （7.23） 式中 为切线弹性矩阵，可将式（7.18）改写为 （7.24） 将 对 求导，注意到关系式（7.23），则有 （7.25） 式中 （7.26）