数学分析是师院数学专业的主修必修课程

数学分析是师院数学专业的主修必修课程 前 言 《分析》是师院师师的主修必修师程～是生师师代的重要基师师程数学数学它既学学数学～ 也是培师生能力的主要师程～师师师程跨第一、第二、第三期～占用学数学数学横个学 师师～位列各师师程之首～师师师程的师量～师于生整师师水平～占有师足师重的教学学体312 地位。 师了好本师程的建师～深入师展改革～师考核和师提供依据～不提高搞教学估断教学 师量～我师师了师材料～其中包括“《分析》师生师师能力的培师目师”～“《写份数学学数学 分析》目师分师”以及“《分析》目师师目”。教学数学教学 师材料客师而充分地反映了本科院校师师《分析大师》师生知师和能份数学数学教学学 力方面的～师师列出本师程的知师点及能力培师要求～师师于师师师师师工作～师制师两教教学 师～分析师量～都是一重要的依据。教学个 加师材料师工作的有师克师、师明忠、师师武、何新师、师师、姜海波、李高林、李万斌参份写 等老师～采取分师师制～集师师定稿～得到了科院师师的大力支持和其他师程体并数学学学师老师的师助。 《分析》师生师师能力的培师目师数学学 师院师师生的师师能力～主要是师用知师分析和解师师的能力～具地师教学学数学决体～ 就是师师思师能力～算能力以及空师想象能力～师了师师生高中生到中师的运学从学数学教 师师～师师上师～不师师向生师授一定量的知师～而目更师加强生师师能力的培师。从学数学学 《分析》是师院师师的主干师程～跨三期～占用三百多师师～居各师师程数学数学横个学 1 之首。师师程以的系师性、师师性、师性而著～是师代的重要基师～又和师用科它践称它既数学 学极丰极数学数学数学师系密切～包含了其富～其重要的知师～方法和思想。因此～ 在师师程中明师生师师能力的培师目师～用以指师师师～无疑是十分必要的。确学教学践 下面先就三师师能力作一些师明～然后再师合大师～材～列出三师师能力的能个教个 力点。 一、师师思师能力 整系～是师格地按照形式师师的师师建立起的～高等是如此～初等个数学体来数学 数学个学数学教也是如此～作师一合格的中师～师师思师能力是最重要的师师能力～而师也 是师院生最弱的师师能力。学 中师加强师师思师能力的师师～逐步向生渗透形式师师的基本知师～迅速使生师教学学学 成合乎师师的思师师师～切师师生掌握中常用的师师推理方法～师师生自师地按照师师学数学教学思师师律去汲取知师～师师知师。中要向生师念的师去～分析命师的件～师师教学学清概来脉条及其师师师系～师出师格的师明～通师适的师明师作师～使生掌握师师法等直接师明并当学数学方法～以及反师法～同一法～师师法等师接师明方法～师生师常用演师、师师、分析、师合、师学运 比、假师等一系列师师思师方法～同师～也师逐步向生介师函师中十分精彩的师反例方法学数～ 师量代师方法～师助函方法～提高生分析和解师明师的能力。数学决 二、算能力运 算能力师于一合格的中师是十分重要的～包括算速度和准运个学数学教它运确 性方法～中师多老师均感到不少生算能力师差～考师中在算方面失分师两个教学学运运 多～必师加强师生师行算能力的师师～中师适增加算的师师性和算量～逐步学运教学当运运 向生介师提高算速度以及保师算正性的各师技巧～固生在中到的各学运运确巩学学学 师算方法～加强生的恒等师形能力。《分析》中包含了各师常用的算方法及师运学数学运 多师算技巧。 三、空师想象能力 空师想象能力的培师也是不可忽师的。中师通师有师念、命师的何意师～何师教学概几几用～通师函师形的师系～通师空师师物～模型的演示～逐步增强生的空师形师念～数与学体 不提高生的空师想象能力。断学 以下我师分师列出以上三师能力的能力点～以师中考。教学参 师师思师能力能力点I 一、念概定师() 、函念数概l 、限念极概2 、一致师师性念概3 、师念数概4 、定师分念概5 、师的一致收师性念数概6 二、判断命师() 、反函存在性件数条1 、列限的等价定师数极2 、列的收师性有界性的师系数与3 、师师师性的公理数4 、列收师的柯西准师数5 、海涅定理的逆命师6 、师师师性的等价的师系数几个7 、师师性一致师师性的师系与8 2 、师师性可师性的师系与9 、可师可微的师系与10 、三微分中师定理之师的师系个11 、师师性件条12 、师师性可师性的师系与13 、师收师必要件的用数条运14 、师的收师师师收师的师系数与15 、函师师的收师性师一致收师性的师系数数与16 、多元函可偏师可微的师系数与17 、曲师师分路无师的件与径条18三、推理师明与 、反函存在性定理数1 、限理师极2 、函的师师性数3 、微分中师定理4 、师师师性基本理师数5 、师师上师师函的基本性师区数6 、函的可师性理师数7 、微师分基本定理学8 、函师师师一致收师理师数数9 、函师师和函师的分析性师数数数10 、师函存在性定理数11 、师回路曲师师分理师12 、含师量师师分的一致收师理师参广13 、一元理师向多元理师的师比推理14? 算能力能力点运 、函师的师算数1 、函定师域的师算数2 、求列或函的限数数极3 、求函的师或偏师数数数4 、求函的师或件师数极条极5 、求函的不定师分～定师分～重师分或曲师、曲面师分数6 、求函师的收师域～和函求函的泰勒师～傅数数数数数叶数里师师7 、求曲师的切师～法师及弧师8 、求曲面的切平面～法师及面师9 、求立的师及师面师体体10 、求物师的速度～加速度及师量体运11 、求师力作功12 、求液体师力13 、求物的重体心14? 空师想象能力能力点 函师形的师合数与、1 、师切师数与斜率2 、函师师性～数研凹凸性的究3 、定师分曲师与梯形的面师4 3 、偏师空师曲面的切平面数与5 、重师分空师立的师与体体6 、相师上三重师分的师算体7 、柱面、球面坐师的直师演示8 最后～我师申明点两, 、《分析》中充师了师师法～中师数学教学注意渗透师师法的师化～师展以及师系的师点～1 师生学学会辨师思师方法, 、生师师能力的培师～是一师师期而又师学靠个教巨的工作～光一师师程～一师的工作2 是不师的～需要全任体教师师通力师作～一师不苟的努力, 《分析》目师分师表数学教学 师师代号分师目师师明师师A师是本目师分师中的最低师次～师到以下的要求达, ;1,师所授知师以原有形式存入大师～能准地再师并确～ 4 ;2,能师用所师知师师行直接的判～空和师算断填,理解B在已达达师师目师的基师上～师到以下的要求 ;1,理解所授知师的含师～与已接受知师建立师系～使之系师 化～ ;2,了解知师的师去～来脉懂弄知师形成的思师方法和师师推 演师程, 《分析》知师其富～生师知师系师和师师师的掌握～数学极丰学构 是至师重要的～师是工作的主要目师教学, 师师师C在已理解目师的基师上～师到以下的要求达, ;1,能师用掌握的知师～熟师地解答一般师度的师算师和师用师～用 ;2,能师用掌握的知师～师行师师的、合乎师师的推理师师, 《分析》知师的掌握程度～师是以解师的形式师师的～因数学来 此～在工作中～师保师生有足师多的解师师教学学践,师合师D师是本目师分师中的最高师次～师到以下的要求达, ;1,能师用所授知师～解答师合性师强的师师～用 ;2,能将决所授知师师用于生师师师～解师师师师～ ;3,能师用所授知师去师取新知师～建立新知师, 《分析》是一师比师成数学学很熟～师用性师强的科～后师师程多～ 教学广学学工作中～注意深、度上引师生有余力的生, 《分析》目师师目数学教学 知师点知师点师目 章目序名号等称 第一章 函数 函念数概?1.1 1函念数概师师师集～数如按照师师师系～C 与师师～师师师师系称是定师在集数上的函数～ 称数师函的定师域～称师的师域～ 师成, 2函的数运四师算师～～～师～的和、B 差、师、商分师由以下各式定师, 5 3函的三师表示方法数解析法～;2,表格法～;3,　师像法A ?1.2 几数师特殊的函 4有界函数师函数在集数上有定师～如果有C ;?,～师称在上有界～ ;?,～师称在上有上界～ ;?,～师称在上有下界, 5三师有界性之师函数在集数上有界当当且师在上有上界～又既B 的师系有下界, 6师师函数师函数在集数上有定师～如果有C ;?,～师称在上师师增加～ ;?,～师称在上师师增加～ ;?,～师称在上师格增加～ ;?,～师称在上师格少减,7奇、偶函数师师一集～个数～有～在集数上有B 定师～如果～ ;?,～师称在集数上是奇函数～ ;?,　师称在集数上是偶函数,, 8周期函数师师一集～个数师一非零常～ 数若B 师在集数上有定师～且有 ～师称在上是周期函～数称师 的一个周期, ?1.3 师合函反函数与数 6 9师合函的念数概师的定师域师～的定师域师～且C ～师师师足 ～而在从上定师了一函～之师函个数称数 与的师合函数, 10反函的念数概师由函数～如果师足C 师在上定师了一函～之师函个数称数 的反函～师成数 ,11反函的存在件数条若函数在上师格增加;减少,～师B 存在反函～数且在上也师格增加;减 少,, 12初等函的念数概由常师函基本初等函数与数数数数数数;师函～指函～师函～A 三角函～反三数数运角函,～师师有限次四师算以及有限次 师合算运数称数所得的函师师初等函师, 第二章 限极 数概列界限念?2.1 若师称13定师D 数列收师于～师成,14用定师师明列限数极;1,直接由解出～B ;,利用不等式放大～又由找出,2式 ?2.2 收师列的基本性师数 15收师列限的数极唯若数列收师～师的限它极唯一,C 一性 16收师列的有界性数若数列收师～师有界,C ;1,若17收师列的保性数号C ;,若2 恒, 18收师列数子列的收师师列数收师于～师的任一子列也收师于,B 性 7 19收师列的数运四师算师列数收师于～～师C 法师(?收师于～) ;?,收师于～ ;?,师～收师于, ?2.3 数列收师的判师法 20两师师法师师三列个数师足C (?); ;?,, 21师师有界法师师师有界列必收师数;取作公理,,C22重要限极?C23柯西准师列数收师C ;师明待后,, ?2.4 函限的念数极概 ;1,师函数在上有定师～,定师24C ～ ;,师函数在上有定师～,2 ～ ;3,师函数在师有定师～, , ;1,师在的一去个内心师域有定师,定师25C ～ 师在的一去个内心师域有定师～;,2 左极限, ～ 8 师在的一去个内心师域有定师～;,3 右极限, , 26B极与极限师师师限的师 系 ;1, 由直接求出～27B用定师师明函的数极 ;, 利用不等式放大～再由求出,2限式 ?2.4 函限的基本性师数极;以的情形师例,　　　　　　　　　　　　　　　　　　 若函数在点存在限～师限极极确唯一定。28C函限的数极唯一性 若函数在点存在限～师函极数在点的某个29C局部有界性 去心师域有界。内 师30C局部保性号 如果～师的某个内去心师域恒有～(1) 如果在的某个内去心师域恒有～师(2) , 师31C四师算法师运 师;?,～ ;?,～ ;?,师～, ?2.4 函限存在的判师方法数极;以的情形师例, 师师足32C两师师法师 ;?,在的某个内去心师域恒有～ ;?,～师, 33C重要限?极 的充分必要件是师条定师域中任意34C函限列限数极与数极 数列～当师～有的师系;Heine, 9 , 在点存在限的充分必要件是师极条任意35C柯西收师准师 存在～师定师域中任意当 师～师有, ?2.7 无师小与无师大;以的情形师例, 如果师～～师称是师的无师36B无师小的念概 小, 37;1,师的无师小的和、差、师都师的无师小～B无师小的师师性师 ;,若是师的无师小～而在的某个2 去心师域有界～师内是师的无师小, 在点的限师极的充分必要件是存在条38B极与限无师小的师系 的无师小～使, 师师师的无师小39B;?,若师称师～是比高师的无师小～师成, 若师称师～与师同师() ? 的无师小～特师地～当师～称师～与 师等师无师小～师成?, 若师～与师同师无师小～师称是40A无师小的师 师于的师无师小, 若师～?～并且41B等价无师小代师法 ～师,师在点的某个内去心师域有定师～42A无师大的念概 ;?,, ～ 10 ;?,, ～;?,, ,师在点的某个内师域不师0～师师的无43B无师大无师与小师系 师大师师的无师小, 第3章函的师师性数 函师师性的念数概?3.1 师在点的某个内师域有定师～如果44C函在一点的师师性数概 ～师称在点师师,念 ;?,师在点的某左个师域有定师～且45C师师师师性念概 ～师称在点左师师～ ;?,师在点的某右个师域有定师～且 ～师称在点右师师, ;?,若在内称每一点师师～师在师师区46A函在师的师师性数区概 内师师～念 ;?,若在师师～内且在在点右师师～在点左师师～师称在上师师～ ;?,师似地可定师函在数区区半师师或无师师的师师性,;?,局部有界性,若在点师师～师在点47B师师函的数局部性师 的某个内师域有界～ ;?,局部保性号,若在点师师～师当师～在点的某个内与师域保持一符,号;?,师在点的某个内去心师域有定师～若48C师点及其师型断 在点不师师～师称是的一师师点个断;或不师师点,, ;?,师是的一师师点～个断且～ 11 均存在～师称是的一第一师师点个断,特师地～当师～称是的一个可去师点断, ;?,师是的一师师点～个断且～ 至少一不存在～师个称是的一第二师个师点断, ?3.2 师师上师师函的性师区数 若在师师区上师师～师在上有界;师49A有界性 明留待第六章,, 若在师师区上师师～师在上能取得到50A取最大师、最小师性 最大师和最小师～存在即～使师任意 ～师有～师明留待第六章, 若在师师区上师师～师师任意之师任意一师个51A介値性 ～存在～使～其中 ～ ;师明留待第六章,,若在师区上师师～且～师存在52C根的存在性 ～使得, ?3.3 初等函的师师性数 若在点师师～师53C师师函的数运四师算 也在点师师, 若在师区上师师且师格增加;或师格少减,～师其54C反函的师师性数 反函数在或上 师格增加;或师格少减,且师师, 若在师区上师师～在师师～师55C师合函的师师性数 在点师师, 56C初等函的师师性数初等函在其定师域上师师师师数, 第四章 师微分数与 师念数概?4.1 师函数在的某师域有定师～师内在的改师量是57D师定师数 12 ～相师地～函的师师量是数～如果极限存在～师函称数在点可师～限师师并称极在的师数;或微商,～师成～;或,～如果以上限极不存在～师称在不可师, 58B师师师念数概如果极限存在～师称数函在左方可师～限师师并称极在的 左师～师成数,师似地～可以定师函数在右方可师及右师数, 若函数在可师～师函数在师师～其逆不真,59C可师师师的师系与 如果函数在师师区内称每一点可师～师60B函在师可师、师函数区数 在师师区可师～如果在师师区可师～且在点右方可师在点左方可师～师函称数 在师师区可师,师似地～可定师函在一数般区师I可师的含师～师于师称在I上的师函～也师成数, 如果曲师的方程是～且函数在可61B师的何意师数几 师～师曲师在的切师斜率师, 62C由定师求师函数基本步师, ;?,～ ;?,～ ;?,～ ;?,, ?4.2 求师法师 师在可师～师63C师的数运四师算 ;?,～ ;?,～ 13 ;?,, 若函数在点的某师域师师内且师格师师～在点可师～64B反函求师法师数 且～师其反函数在可师～并且 , 若函数在可师～函数在可师～65C师合函求师法师数 师师合函数在可师～并且 或,1、～66C师公式 数 、～2 、～3 、～4 ～～5 ～ ～～ ～ 、 ～ 6 ～　　 ,若函数由参数方程67C参数方程求师法师 可师～且 师, 师师非空集～师数任意～通师方程68B师函求师法师数 师出～师唯一的～师师师师师系称由方程 所确数定的师函～以代入方程～成师,师用师合函求师法师～可以求出师数 函数的师数,;一般师果师第十六章, 14 ?4.3 微分 师函数在的改师量自师量与的改师量69C微分的定师 有下列师系其中是与无师的常～师数称在可微～师称在的微分～师成或,函数在可微的充分必要件是函条数在70C可微可师的师系与 可师～而且 如果可微～师71B微分法师 ;?,～ ;?,～ ;?,, 师可微～师72B一师微分形式的不师性 ,若函数在可微～师有以下近似公式73B微分用于近似师算 , ?4.4 高师师高师微分数与 函数的师数在的师如数称数果存在～师函74C高师师的定师数 在的二师师～师成数。一般地～的 师师数的师～师数称在的师师～师成数 ～;,或, 若都是的函～数且存在师师～师有数75A莱布尼师公式 , 函数的微分的微分～师称的76C高师微分的定师 二师微分～师成。一般地函数的师微分的微分～师称的师微分～师成。我师有 , 第五章 微分中师定理、师在数研数究函方面的师用 微分中师定理?5.1 如果存在师任意～当师～77C局部极师的定师 ～师称 15 在取局部极极极大师;相师地～局部小师,,局部大师～ 局部小极称极师～师局部师, 若函数在可师～且在取局部小极师～师78C师师定理 , 若函数师足以下件条79C师师中师定理 ;,在师师区上师师～1 ;,在师师区内可师～2 ;,～3 师存在, 若师足以下件条,80D拉格朗日中师定理 ;,在师师区上师师～1 ;,在师师区内可师～2 师存在～或者存在 , 函数在师区上恒师常的要件是数冲条,81B常函的数特征 , 若函数师足以下件条,82C柯西中师定理 ;,在师师区上师师～1 ;,在师师区内可师～2 ;,师任何3 师存在, ?5.2 师比塔法师 如果函数师足如下件条: 83C法师1 (1)在点的某去心师域可师～内g(x)0 ′?;(2) ～ 16 (3)～那师 ,如果函数师足如下件条: 84C法师2 (1)存在师可师～且 gx)0～(′?;(2) ～ (3)～那师 ,如果函数师足如下件条: 85C法师3(1)在点的某去心师域可师～内g(x)0～′?;(2) ～(3)～那师 ,如果函数师足如下件条: 86C法师4 (1)存在师可师～且 gx)0 (?;′(2) ～(3)～那师 , 87B其他不定型(1)型～可以化成～(2)型～可以化成～(3)型～可以先取师～数化成型～再化成 , ?5.3 泰勒公式 若函数在存在师师师有数,88C泰勒公式 ～其中～ 称师函数在的 师泰勒多师式。 若函数在原点存在师师～师有数89C麦克师林公式 17 ,余师,;函数在的师泰勒公式的余师,90B泰勒公式余师 ;,皮师师型余师～1 ;2,拉格朗日型余师 若函数在师师区存在师师～师数 ,;1,(0<θ<1),91C几个常用的泰勒公式 (2) ;,3 ;4,;x, (5) ?5.4 师在数研数究函方面的师用 若师任何师函数92C师格师师充分件条 在师格增加内减;相师地师格少,,若函数在可师～师内在师师增加内93C师师性充要件条 18 ;或师师少减条,的充要件是师任何～师有 , 如果函数师足如下件条: 94B不等式定理 ;1,在师师区上可师～ ;2,在师师区内～ ～;3,～师师任何 , 若函数可师～且95C极师第一判师法 , 师在取局部极极大师;局部小师,,C 96C极师第二判师法若函数在C存在n师师～数 ～(1)当n师奇数师～在不取局部极师～C (2)当n师偶数师～如果师在取得极C小师～如果师在取得大师极,特师的～C 师情形常用,n=2 如果函数在上师师～且师任何97C凹凸性定师 或 ～师称函数在上师格上凹;或师格上凸,～师称函数在上上凹;或凸,, 师函数在存在二师师～如内数果师任何98C凹凸性判师法～师有～师称在 19 内凹;或凸,, 如果曲师在点的一师凹～一师另凸～99C拐点的定师师称M是曲师的一个拐点, 师函数存在二师师～数且是曲师100C拐点的必要件条的拐点～师,反之不真,当曲师在C上师点P沿曲师C无限师离原点师～如果P点到101C师师师的定师直师l的距离师于0～师直师称l是曲师C的一师条近师,;1,垂直师近师102C师近师师师及求法 若～师直师是曲师 的垂直师近师, ;,斜师近师2 若师直师是曲师 的斜师近师。特师的～师～是曲师l 的一水平师条近师, ;1,求函的定师域数～103C描师函师数像;2,判函是断数否有奇偶性～周期性～;3,求出函的师点、师数断近师～ ;4,师算函的一、二师师～定函的师师师、师数数确数区极 点、凹凸区师～拐点～;一般列成一表,;5,师算曲师上某些特殊点的坐师～;,师点、师画近师、描师像,6 第六章 师师师性的基本定理～师师上师师函的性师数区数;?, 师师师性基本定理数?6.1 师有师师列区师足,104C师师区套定理 ;1,～ ;2,～师存在唯一数l师足,师～105C确界的定师 ;?,若师足以下件条～ ;,师任何～1 ;,师任意～师称2 20 师的上界～师成确～E ;?,若师足以下件条～ ;,师任何～3 师任意～师称师的E 下界～师成确, 若非空集数E有上界;下界,～师E必有唯一的上界确106C确界定理;下界确,, 若师师集区S覆盖了师师区～即～师S中107C有限覆盖定理 存在有限师师也个区区覆盖了师师师,;,Heine-Borel Bolzano方法的要点是师法构造具有性师的师师列～区108B柯西收师准师的师明并区找条数用师师套定理出师足件的,方法(Bolzano) ?6.2 师师师性基本定理数 使用有限覆盖定理师明,先师法作出师足局部性师的师覆盖～109B有界性定理的师明再有有限覆盖定理得到整性师体,利用有界性定理～使用界定理及反师明法得到师明确,110B取最大～最小师性定 理的师明 用反师法师明,根据Bolzano方法～构区找造师师套～出一111B介値性定理的师明个定点c,在的师候必师生矛盾,师函数在师区I上有定师～如果112C一致师师性的念概 ～ 师函称数在师区I上一致师师,如果函数在师师区上师师～师函称数在师师区113一致师师性;Cantor,C 上一致师师,;师明方法,使用有限覆盖定理～从定理 找出通用的, 第七章 不定师分 概与念、公式法师?7.1 师函数在师区I上有定师～如果存在函数～使师114C原函念数概 任何～师称是函数;在 区师I,上的一个数原函, 若是函数;在师区I,上的一个数原函～师115B原函一数般形式 的任意原函可表成数,函数的所有原函数～函称数的不116D不定师分定师 定师分,表师,其中～师称被 21 师函～数称达师师分表式～称数师师分常, ;1,117B运算法师 ;,2 ;,是常数, 3(kk 0)?;,4 (1) (k是常数)118C基本师分表 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) ?7.2 两师师分法 师函数可师～且不定师分119C分部师分法 均存在～师有 ,师u=?(x)在上可师～且～,f(u)120C第一师元师分公式;凑在上有定师具有并数原函, 师有师元公式 微分公式, , 师x =?(t)是在上可师,且～121C第二师元师分公式;代 f(x)在上有定师有并数原函F(u),师法, 有原函数～ 师有师元公式 22 , ?7.3 有理函师分法数 求有理函数不定师分的基本步师,122C有理函师分法基本数 ;不妨师师师分式既,步师 1、将分解成师系的一数次因式和二次不可师因式 的师的形式～ 2、将分解成一多师式个与个若干部分分式 之和的形式～;待定系法数, 3、求出各部分分式多师式的不定师分～ 4、合并即所得师果～得到的不定师分,123B四师部分分式的师分1、 2、 3、 其中～ 、其中～～可师4 化师我师有师推公式 , ?7.3 师师无理及三角有理式的师分法 124B的师分师于的师分;其中,只 需作代师t=即将可原师分化成有理函 数的不定师分, 运将用配方法～可化成以下三师师125B的师分分之一, 23 我师分师作以下三角代师, 即可化师三角有理式 的师分。 的师分126B我师可做代师～可即将数原师分化成有理函的师 分～但使用～一般师繁～在以下师几情形可用 其他代师, ;1, ～ ;2, ～ ;3, ～ ;4, 当n师奇数师～可用～ 当n师偶数师～可用～ 当m,n都是偶数师～可用倍角公式化师降师, 第八章 定师分 基本念可师件概与条?8.1 师函数f(x)在[a, b]上有界, 在[a, b]中任意入插个若干分127D定师分定师点 ax x x x xb =<< 师师师数散当师师可能收师也可能师数散) 1;=ρ 162C柯西根师判师法师是正师师数, ;,若存在～当师～有～且1 师小于的常～师师收师数数～1 30 ;,若存在无限自然个数使～师师师数散,2n, 极限形式,如果当师师收师数当～ 1,<ρ 或师师师数当散～ 师师可能收师数1()1>=ρρ 也可能师散, ?10.3 任意师师数 163C交师师的数莱布尼师判师如果交师师数～若: (1)u?u (n=1, 2, nn1+ 法 3, ? ? ?)～ (2),师师收师数, 且其和s?u, 其余师r1n 的师师师|r|?u+,nn1 164C师师收师和件收师的条概若师数收师, 师师师称数师师收师; 若师数收师, 念 而师数师散, 师师称条件收师, 165C师师收师定理如果师数师师收师, 师师数必定收师.。反之～不成立,166B师师收师师的数交师性若师数师师收师～其和师S,师任意交师师各师的位数置～ 得到的新师数仍师师收师～并且也以S师和, 第十一章 函师师师数数 函师师的收师师一致收师数数与?11.1 167C函师师的收师师和数数与师师任意有意师～师称～师 函数数集上的函师师师数数, 称数数师师函师师师的部分和函 数, 的收师点的集合师收师域称, 作函数称数师师师的 和函。数 168C函师师师的一致收师数数师是师数的部分和函～如数果师任意 31 ～师存在自然数当师～师～性 师有～师函师师师称数数在师区 内数一致收师于和函, 169C柯西一致收师准师函师师师数数在师区内条一致收师的充要件 是师任意～师存在自然数N,当师～师任意自然 数～师～有 ,170M—判师法C师函师师师数数～如果 ;,～1 ;,收师～师函师师师数数在一内2 致收师, ?11.2 和函的分析性师数 171C和函的师师性数若函师师师数数在一致收师于和函内数 ～且在师师内;,～师 在师师内, 172C和函的可师性数若函师师师数数在一致收师于和函内数 ～且在师师内;,～师 在上可师～并且,173C和函的师师性数若函师师师数数在收师于和函内数～ 且在上有师师师函～数;,～ 在上一致收师～师在上有师师师 数并～且, ?11.2 极数限函的分析性师 若函列数在师区I上有限函极数～如果师任174B函列一致收师念数概 意～师存在自然数～当师～师～ 师有～师函列称数在师区内一 32 致收师于和函数, 函列数在师区内数一致收师于和函的充要175B函列一致收师的判师数 条件是,法 、,、若函列数在师区内数一致收师于和函～176A极数限函的分析性师 且在上师师～师在上师师, 2、若函列数在师区内数一致收师于和函～且在上师师;,～师在上可 师～并且～其中,、若函列数在师区上以师限函～极数3 在上师师;,～且在师区内一致收师～师在师区上有师师师～数并且 , 第十二章 师师数 　师师的收师师数区?12.1 若师师数在收师～师在它区任意师师177阿师师第一定理C 上师师收师且一致收师, 若师师数在收师～且在师散～师存在178师师的收师师及收师数区C唯一的～使师师数在师师收师内～半径 而在外师师师散,区师称师的收师区师～称径师收师半, 179师师收师数径半师算公式C师师师数～若～师师师师的收师数半径师 师师数的和函数在收师师师是师师的区内,180师师和函的师师性数数C师师数的和函数在收师师的区区任意师师181师师和函的可师性数数C 上可师～并且;逐师师分, , 师师数的和函数在收师师区内有师师182师师和函的可微性数数C 33 师函～数且,师一步～在;逐师微分, 内数有任意师师函, ?12.2 泰勒师数 若函数在能展师成师师内数,183函的师师展师式的数数C ～师在内系公式数 有任意师师～数并且,我师师师师称数师函数在的泰勒师～数当特师地～师～师师克师林师称数,(1) 若函数在存在内数任意师师～且184函泰勒展师的件数条C师任意～泰勒公式的余师～ ～师师任意有, ～ 若函数在存在内数任意师师～且(2) 存在～师任意～有 ～～师 其中, 1,～～185几个数常用的师师展师C 式,～～2 ,～～3 ,～～4 ～5 , (1) 用的展师式～得到186几个近似公式B ～, 34 用的展师式得到(2) ～～ , ,(3) 187是无理数是无理数,B 第十三章　傅里叶数师师* 基本理师?13.1 若在上可师～令188函的傅数叶数里师师B ～ ～～作成三角师 数 称师的傅里叶数系, 如果函数在师区上除有限第一师师点个断外189逐段师师逐与段光滑的C都师师～师称在上逐段师师, 定师 如果函数与在师区上都逐段师师～师称 在上逐段光滑, 如果函数是以师周期的在上逐段光190傅里叶数师师的收师定A滑函～师数的傅里叶数师师在上师师收师～和函师数理(不师), ?13.2 将数叶数函展师成傅里师师 基本步师,191B 求的傅里叶数系～～(1) 在师师点师(2) ～ 在的第一师师点师断(3) , 35 基本步师,192傅里叶数师师的收师定A 若在师奇函～师数(1) 理(不师) ～～　　　　　 　　　～～ 若在师偶函～师数　　　　　　(2) ～～～ ～ 奇函展师数,193函在数上按奇A ～～函展师数 ～, 偶函展师数, ～ ～, 194以师周期的函的数A～～傅里叶展师式 ～, 在的师师点师, , 第十四章　广师师分 无师师分?14.1 (1) 师函数在师区上有定师～符号195无师师分及其收师的概C 称师在师区上的无师师分,念 如果师任意～在上可师～且极限 存在且师～师称的无师师分 收师～师师无师师分的师称～ 师似地～可定师在师区上的无师师分(2) ～ 36 在上的无师师分定师师无师师分之两个(3) 和, , 若无师师分196C无师师分 ～～当师～收师于 ～当师～师散, 无师师分的师性算性师运若无师师分197B ～收师于～师无师师分 ;师常数,～收师于～无师师分 收师于, 无师师分的柯西收师准师函数在的无师师分收师的充要件是师条任198B 意～师存在～师任意～～有 , 无师师分师师的师系与数函数在的无师师分收师的充要件是师师于条199B 的任一师格增列数～师数 ～ 收师到同一和～个且 ,无师师分收师的比师判师若师任意～有～师正常200B法数,师 收师收师～(1) 师散师散,(2) 无师师分收师的限判师极师是上的非师函～数～若201C法 ～师 ～师～收师～(1) ～师～师散,(2) 无师师分的师师收师定理收师收师,202C 37 无师师分的师师收师与条(1) 若收师～师无师师分称师师收203A件收师 师～ 若收师～师散～师无师师称(2) 分件收师条, ?14.2 瑕师分 瑕师分及其收师的念概师是函数的瑕点～即在的204B任意师域无界～内且在不含内的师师上区 可师～师符号称数师函的瑕师分, 当师～如果极限存在且师 ～师称瑕师分收师～师师的师称它～ 当师～师似定师瑕师分, ～ 当师～我师将在上的瑕师分定 师师两个瑕师分之和, ,瑕师分205B瑕师分～, 　当师～收师于～(1) 当师～师散,(2) 瑕师分的柯西收师准师瑕师分～;是瑕点,收师的充要件是师条206A 任意～师有～师任意～ 有,瑕师分收师的比师判师法师师任意～有～师正常数～207A 是的瑕点, 收师～;是瑕点,收师～(1) 师散师散,(2) 瑕师分收师的限判师极师是上的非师函～数是的瑕点～208B法 且有～师 38 ～师～收师～(1) ～师～师散,(2) 瑕师分的师师收师定理师是在上唯一瑕点～师209B 收师收师,瑕师分的师师收师和件条(1) 若瑕师分收师～师称瑕师分师师210A收师 收师～ 若瑕师分收师～而师散～师称(2) 瑕师分件收师条, 第十五章　多元函的限师师性数极与 平面点集;附师介师中点集,?15.1 二师师域及方形师域平面点集师点称211C 的;师形,师域～表示师, 平面点集师称的 ;方形,师域, 内与点界点师～,212C 如果存在～使～师称是的(1) 一点个内～ 如果在的任意师域～有内既的点～又有不属(2) 于的点～师称是的一界点～个的所有界点 作成的集合师称的师界, 有界集无界集与师～如果存在～使～师称213B师有界集～否师称师无界集, 师域师师域区与区师～214C如果中师含点～内并且内两属任何点都能用(1) 于的折师相师;师通性,～师称师师域区～ 如若由一师师域个区加上的师界成～师构称(2) 师师域区, 矩形师域区套定理师是上一列矩形师域～师师足区它,215B ～(1) 的直径,(2) 39 ; ,～ 师存在唯一的点, 有限覆盖定理如果上的师域集区覆盖了师域区～师存在有216B限师师域也个区覆盖了～覆盖是指 , ?15.2 多元函的念数概 元函的念数概师～～如果师中任意点～217C 按师师师系师师着中唯一的数～师师师师系称是定师 在集合上的一个元函～师成数,在 师师师的数～师称在师的师～表成或 ～师函称数的定师域～称 师函数的师域～即, ?15.3 二元函的限师师数极与 二元函限定师数极师函数在域区上有定师～是的218C;二重限极,内数点或界点,如果存在～师任意～存在 ～师任意点～当～ 且师有～师称是在 的限～师成极或,累次极限的定师如果～～师称师219B 在点;先后,的累次极限～师成, ～师似地可以定师在点 的一另个极累次限;先后,, , 二重限极与极累次限如果函数在点的二重限极与累次220B相等的件条极限(先后)都存在～师有 ,二元函的师师性定师数师函数在域区上有定师～点～221C 如果～有 ～ 40 师函称数在点师师, 二元函在域的师师数区如果函数在师域区内称数任一点都师师～师函222B性定师 在师域区内师师～如果如果 在师域区的每个内点师师师～且在的每个师界点师师师～ 师函称数在师域区上师师, 师师函的数号局部保性如果函数在师域区内任一点师师～223B 并且～师存在以师心的方形师域～师 任意一点～有,二元函一致师师性数师定师在域区上～如果师任意～师存在224C ～师任意～当师～有 ～师称在上一致师师,有界师域上师师函区数师函数在师域区上师师～且有界～师225B的四个性师 有界性,在上有界～(1) 取师性极,在上取到最大～最小师～(2) 介师性,师任意～存在～(3) 使～其中～ ～ 一致师师性,在上一致师师,(4) 第十六章　多元函的微分数学 偏师数与全微分?16.1 偏师的定师数如果函数在点师于的改师量226C ～与之比的限极 存在～师此限是称极在点师于 的偏师～师成数～或,师似定师 师限在点极师于的偏师数～或 ～～其中 ～我师不师定师元函数 的偏师的念数概, 41 方向师的定师数师师函数定师域一点～内师从出师的一227B 条射师～师上且在定师域的内极任一点～若限 存在～师此限师师函称极数 在点沿方向的方向师～师成数或 , 梯度的定师若函数在点的偏师都存在～师两个数称228B 称数师函在点的梯度～师成 , 全微分的定师如果函数在点的全改师量229C ～可表成 ～ 其中～～是与～无师 常数称数,师函在点可微～ 称数师函在点的全微分～ 师成, 全微分偏师的师系与数如果函数在点可微～师230C 在点的偏师两个数全存在～且 ～,方向师偏师的师数与数如果函数在点可微～师在231B系 点沿任一方向的方向师都存在～数并且 ～ 其中是方向的方向余弦,梯度的性师函数在点的梯度方向是增师最快的232B方向～且沿师一方向的师化率就是梯度的模,一师全微分的形式不师若函数的偏师在点数的师域师师内～233B性 而～的偏师都在点数师域 内师师～～～师 , 42 师合函的微分法数1.若函数存在师师偏师～而数～234C可师～师函数也可师～且 , 若函存在师师的偏师～而数数～2. 都存在偏师～师师合函数数 存在偏师数且 ～ , ?16.2 偏师何师用数几 空师曲师的切师空师曲师235B ～～～在 ;相师于,师的切师方程师 ,空师曲师的法平面师空师曲师上点师切师垂直的平面师称在师的法平236B面～ 师,～～～～师 在;相师于,师的法平面切师方 程师, ,曲面的切平面师曲面师,～点在点237B 上～师上师的任一光滑曲师的切师;点师,在同 一平面上～师平面师曲面个个称在点的切平面～ 其方程师, , 43 曲面的法师通师曲面,上一点并与在师切平238B面垂直的直师～师曲面称在的法师～其方程师, , ?16.3 二元函的泰勒公式及师数极 高师偏师数239B如果函数的偏师数师于的偏师 数,～师称它 师师函数的二师偏师～分师师成数并 或～～ ～～一般地师偏师的偏师数数 如果存在～师之师称来数原函的师偏师～表成数, ～～～～ 函数的二师及二师以上的偏师～师数称 的高师偏师数, 混合偏师的数相等如果函数在点的师域存在偏师师内数240C 于的偏师数～并它且师在 师师～师, ,高师全微分如果函数有师;,师师偏师～师数称241B全微分的全微分是的二师全微分～ 表师, 一般地～师全微分的全微分师称的 师全微分～师成, 二师及二师以上的全微分～师师高师称全微分,二元函的泰勒公式数如果函数在点的师域存在内师242B师师偏师～师师数内任一点有 44 ～其中表示, ,二元函师的必要数极如果函数在点存在偏师～数且在取243C条件极植～师～;极即师极局部师 小师或局部极仿数大师～可一元函情形加以定师,,二元函师的充分数极如果函数有师定点～师足即244C条件～～且在的师域存在二 师师师偏师～师数 ～～～ ～师 (1当师～在取限极～) (?)当或师～在取局部小极 () 师～ (?)当或师～在取局部极大 () 师, 当师～在不取师极,(2) 注,当师～在可能取师也可能不取极 极师, ?16.4 师函存在定理及件师数条极 师函存在定理数1若函数在以点师心的矩形域区245A内师足, (?) ～在师师内～ (?) ～ (?) ～师存在～～在师区 45 内数存在唯一的函师足,(?) ～～ (?) ～ (?) 在师师内～ (?) 在有师师师～内数且 , 师函定理数2若函数在点246A 师心的矩形域区内师足,(?) ～在师师内～ (?) ～ (?) ～师存在 的师域～在存在师师偏师～内数且 , 条极件师及拉格朗日函数师足以下师束条件247B乘数法 的师师师师师件师师师师极称条极, 求件师的方法常用的是条极数拉格朗日乘法～其一般步师如下, 作师助函数1. ～ 求方程师2. 的解 ～师就是一师定点个～如果由师师的师师意师知～件师存在～条极并个且只有一3. 师定点～师师师定点就是个条极所求的件师点,一般情形 46 下～师法判点是没断极否是师点,;称师 拉格朗日乘,数 第十七章　重师分 二重师分?17.1 二重师分的定师师函数在有界师域区上有定师～用分法将248C 分成个区小域～师师的面师分师师它～ ～…～～在上取一点 作成和式～ 如果不师分法及点的取法如何～当 师～上述和式存在极 限～师称在上可师～师称在上 的二重师分～师成,二重师分的可师函师数(1)如果在有界师域区上师师～师在249B上可师～ 如果在有界师域区上有界～且不师师点(2) 只分布在有限条光滑曲师上～师在上可师,二重师分的性师250B1. ～表示的面师～ ～2. ～其中在3. 上均可师～且没内有公共点～ 若均在上可师～且4. ～ 师～ 若在上可师～师在上可师～且5. ～ 若在有界师域区上师师～师存在～使6. , 47 二重师分的师算公式师有界师域区师251C ～ 在上师师～且师任意～定师分 存在～师有 , 师似地～ 有 ,二重师分的极坐师替师师有界师域区可用极坐师表示成师252C ～ 在上可师～令～师有, ～且 , ?17.2 二重师分 三重师分的定师师函数在有界师体上有定师～用分法将253C 分成个体小～师师的师分师是它体 ～在上取一点～ 作和式,如果 不师分法及点的取法如何～当 师～上述和式存在极 限～师称在上可师～师称在 上的三重师分～表成 ,三重师分的师算师有界师体可表师,254C 且在上可师～师有 48 ,三重师分的柱面坐师替师在有界师体上可师～令255C师 令～师, 且 ,三重师分球面坐师替师师在有界师体上可师～令256C 令～师, ～且 , ?17.3 重师分的师用 曲面面师师曲面,～是光滑曲面～即257C在上有师师偏师～师数的面师师, ,立师体体师空师立体表师,258C 师,其 中 ,师量重与心师空师立体的密度师～师的师量师,259B , 的重心坐师师, ～ ～ 49 , ;平面薄板的师量～重心可以用二重师分师算, 第十八章 曲师师分曲面师分与 曲师师分?18.1 第一型曲师师分的念概师有一平面可求师曲师条,260C ～～,端点～师师于 参数～函数在上有定师～在上 依次取点个,将分成 个小弧段,～师之师师 ～取作和 ,如果不师分法及点的取法 如何～当师～上 述和式存在限极～师称是沿曲师的第一 型曲师师分～师成 , 基本性师1. ～261B ～2. ～3. 其中,第一型曲师师分的师算师 ,师光滑曲师～262C公式在上师师～师有 , 特师地～～师, , 50 第二型曲师师分的念概师有一平面有向曲师条,函数在263C 分成个小弧段,～ 师的弦在师～师上 的投影分师是～～取～作 和式 如果不师分法及点的取法如何～当 师～存在极 限～存在限极～师称师师于沿曲 师的第二型曲师师分～师师于沿曲师 的第二型曲师师分～表成 第二型曲师师分性师1. ～264B;以师例, ～2. ,3. 第二型曲师师分的师算师函数在有向光滑曲师,265C公式上师师～师有, ～ , 其中点分师师师师～参数～当～ 师,～ ～其中端点 师师于, 两型曲师师分之师的师系师师空师有向光滑曲师～～～266B在上师师～师有, 其中是在点的 方向余弦, 格林公式267C师函数～及～在逐段光滑师曲 师师成的师域区上师师～师有 51 ～其中取正方向～一即当个沿此方向前师师～师位于它的左师, 平面曲师师分路师无师与268C的件条若函数～及～在师师通域区上师师～师下列四个师句等价, 曲师师分路师无师～与与只起点～(1) 师点有师～ 在存在函内数～使(2) ～ 师任意～有～～(3) 师内任意逐段光滑师曲师,沿的(4) 曲师师分是～即, 注,师师通,任任内区意无重点师师师曲面所师成的域均含于, ?18.2 曲面师分 第一型曲面师分的概师有一逐个片光滑曲面～函数在上有269C念定师～用分法将分成个小曲面～～…～～其面师分师师～取 ～作和,如果不师分法及点的取法如何～当 师～和式存在限极～师称是函数在曲面上的第一型曲师师分～师成 , 第一型曲面师分的师算师函数在光滑曲面上师师～曲面的方程师270C公式～～师有界师域～师有区, , 52 第二型曲面师分的概师师光滑的师曲面～师点双即当从上任一点出师～271C念 沿上任一师师师曲师回到条师～法师的正向出师师的与法师正向重合～函数在上有定师,用分法将分成个小曲面～～…～～其面师分师师～而在平面上的投影面师师 ～取作成和式, ,如果不师分法及点取法如何～当师～存在限极师师于在曲面上的第二型 曲面师分～表成,师似地～可以定师下面曲面师分两个, ～, , 第二型曲面师分的性师(1)师与表示同一曲面的师～师两个272B(以师例) ～(2) ～ 师由～合而成～并～无公共内点～师(3) , 第二型曲面师分的师算师函数在逐片光滑曲面上师师～的方程师273C公式～～师有界师域～师有区 ,当以上师师正方向师～取正～号号否师取师, 两型曲面师分的师系师函数在光滑曲面274B上师师～师有, ～其中～是上点师的法师 方向的方向余弦, 53 高斯公式若有界体由逐片光滑曲面师成～而275C在上师师～师 ～ 其中以外师师正, 斯托克斯公式若光滑曲面的师界师光滑曲面～函数～276C～在上有师师偏师～师数 其中曲面的正师及师曲师的正向符合右手法师～即 如果右手拇指所指的方向师曲面法师的方向～师其余四 指所指的方向就是师曲师的正向, 第十九章 含师量师分参* 含师量常师师分参?19.1 含师量师分的念参概师函数定师在上～师任意277B ～师分存在～师称 师含师量常师师分～参称参师师师量,含师量师分的性师参(1)师师性278A 若在上师师～师在 上师师～ 可微性(2) 若在上师师～师 在上可师～且 ～ 可师性(3) 若在上师师～师 在上可师～并且 , 54 上下限含的含参数参若～在上师师～师279A师量师分的求师公式 在上可师～且师任意～有 ～师, 在上可师～并且 ?19.2 含师量师师分参广 含师量师师分及其参广师在域区上有定师～师任意280B一致收师的念概 ～收师～师称 师含量的师师分参广, 如果师任意～存在～当师～师任意 ～有～师含师量师称参广 师分在上一致收师, 含师量师师分一致参广281(1) 柯西准师A收师性的判师方法 含师量师师分参广在上一致收师的充分必要 条件是师任意～存在～当 师～有, 师函判师法数(2) 若存在～当师～师任意～有 ～且收师～师含师量的参 广师师分在上一致收师,含师量师师分的性师参广(1) 师师性282A 若在师域区上师师～且在上一致 收师～师在上师师～ 可师性(2) 若在师域区上师师～且在上一致 收师～师在上可师～且 55 ～ 可微性(3) 若～在域区上师师～且在上收师于～而在 上一致收师～师在上可师～且 , 函及其性师数称数函师函数,283B 定师域,, 在可师内, 常用公式, ～(1) ～(2) ,(3) 56 57