排列组合例题

排列组合例题 【例1】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法, 9 如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有A种方9案。而问题中9个人要分成两排，可以看成9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题( 9 解:由全排列公式，共有A==9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880种不同的排法( 9 【例2】 5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法, 分析 由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4( 4解:由全排列公式，共有A=24种不同的站法( 4 【例3】 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法, A(240 B(320 C(450 D(480 正确答案【B】 解析:采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A66=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A33=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有:A66 ×A33 =320(种)。 【例4】 6名同学坐成一排,其中甲,乙必须坐在一起的不同坐法是________种.(答案:240) A44×A51×2=240 【例5】 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派共有( ) (A) 280种 (B)240种 (C)180种(D)96种 正确答案:【B】 解析:由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C41=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A53=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有 C41×A53=240种，所以选B。 【例6】 从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法, A(240 B( 310 C( 720 D( 1080 正确答案【B】 解析:此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C114-C64-C54=310。 【例7】 某单位邀请10为教师中的6位参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请的不同有( )种。 A.84 B.98 C.112 D.140 正确答案【D】 解析:按要求:甲、乙不能同时参加分成以下几类: a.甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C85=56种; b(乙参加，甲不参加，有C85=56种; c(甲、乙都不参加，那么从剩下的8位教师中选出6位，有C86)=28种。 故共有56+56+28=140种。 【例8】 从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的选取法有_______种.(答案:350) C6352+C62C53=200+150=350 【例9】 由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的 3 ?三位数, A=120 62 ?个位是5的三位数, A=6 54 ?百位是1的五位数, A=120 56?六位数, A=720 6 【例10】 从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问: ?有多少个不同的乘积, ?有多少个不同的乘法算式, 分析 ?中，要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题.?中，要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题. 2解:?由组合数公式，共有C=10个不同的乘积. 52 ?由排列数公式，共有A, 5×4,20种不同的乘法算式. 5 【例11】 在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的?直线段，?三角形，?四边形, 分析 由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一条线段;在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形;在10个点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题. 解:由组合数公式. 234 ?C=45 个直线段 ?C=120个三角形 ?C=210个四边形 101010 【例12】 用0,1,2,3,4这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有________个.(答案:30个) 4×4×3-3×3×2=30 (总—奇) 或4×3×1+3×3×2=30 (个位0与非0) 【例13】 某铁路线共有14个车站，这条铁路线共需要多少种不同的车票( 分析 两个车站之间需要来回两种车票，是排列问题。 解:A142=182(种) 【例14】 有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有( ) 10A 768种 B 32种 C 24种 D 2 种 解: 根据乘法原理，分两步: 第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1,120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120?5,24种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2,32种 综合两步，就有24×32,768种。 【例15】 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( ) A 119种 B 36种 C 59种 D 48种 解: 5全排列5*4*3*2*1=120 有两个l所以120/2=60 原来有一种正确的所以60-1=59 【例16】 从4名男生3名女生中选出3名代表，问:不同的选法共有多少种,“至少有一名女生”的不同选法共有多少种,“代表中男女生都要有”的不同选法有多少种, 解? 3C=35(种) 7 解? 21选1名女生2名男生:C×C=18 4312选2名女生1名男生:C×C=12 43 3选3名女生:C=1 3 共18+12+1=31(种) 解? 18+12=30(种) 【例17】 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复数字200003的五位数, 【例18】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求:甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法, 【例19】 从19、20、21„„93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法 总数是多少? 两数之和为偶数时，必须是同奇或同偶，且加法可交换，故不必考虑顺序(因此只须分两类讨论即可(19、20„„93、94共有38个奇数，38个偶数(从38个数中任选2个数 2的方法有种( 即 奇加奇、偶加偶各有703种，所以选法共有C3837(21)703,，,，,38 1406种( 【例20】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次(甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都未拿到冠军(”对乙说:“你当然不会是最差的(”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况, 【例21】 平面内有12 个点，其中 6点共线，此外再无3点共线(? 可确定多少个三角形,? 可确定多少条射线, 【例22】 ?7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法, 解:两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有1440 种。 62A ×A=1440 62 ?7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法, 解:甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法 52先排5个同学，有A=120.再考虑插空:5个同学6个空，安排2个同学，有A=30，56共有120×30=3600(种) 甲、乙二人不相邻的排法总数应为:3600种 【例23】 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个, 解:从7个点中取3个点的取法有C73 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有C73,3,32个. 【例24】 从右图中11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形, 3解:组合总数为C=165， 1133其中三点共线不能构成的三角形有6C=6，四点共线不能构成的三角形有2C=8， 34 ?165-(6+8)=151个 【例25】 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种( 解:先考虑特殊元素(老师)的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上 4任选一个位置，有3种，而其余学生的排法有A=24种，所以共有3×24,72种不同4 的排法. 【例26】 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有252种. 3解:由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有A=6 种排法，而其余7322名队员选出2名安排在第二、四位置，有C×A=42 种排法，所以不同的出场安排共72 有42×6,252种. 【例27】 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为(A ) A(42 B(30 C(20 D(12 解:增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况: 2不相临:共有A=30种; 621相临:共有A×A=12种。故不同插法的种数为:30 +12=42 ，故选A。 26 【例28】 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有( ) 4解:本试题属于均分组问题。 则12名同学均分成3组，平均每组4人，共有C=495 12种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有3×3=9 种，495×9=4455。 【例29】 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有( ) A(24种 B(18种 C(12种 D(6种 2解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C种,不同的排法有: 故不同的3 种植方法共有 ，故应选C. 【例30】 把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。 解:先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书;再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，共有C62=15 种插法，即有15种分法。 【例31】 【例32】 【例33】 在1、2、3、4、5这五个数字组成的没有重复的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 个。 解: 3三个数字都是奇数:P 3231三个数字是一奇二偶:C×C×P 2332331P+ C×C×P=6+18=24 2333 【例34】 从甲、乙、丙3名同学中选2名参加某天的某项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，共有多少方案, 11P×P=6 23 【例35】 由0、2、5、6、7、8组成的无重复数字的数，?大于5860的4位数有多少,?由小到大排列的4位数中，第128个数是多少,?由小到大排列的4位数中，5067是第几个数, 解: ? 5 6 8 5 8 7 11 P P 23 6 7 8 3 33 P P P 555113 P+ P+3×P 235 ? 2 5 6 0 2 33 P P P455233 P+ P+ P=138 455 ? 2 5 5 6 0 2 0、2 3 2P 2×P 5432 P+2×P+ 1=85 54 【例36】 用数字0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字，且必240135大的数, 2 5 2 4 3、4、5 544 P-1 P 3×P 544544 3×P+ P+ (P-1)=407 544 【例37】 把10个相同的小球放入3个不同的箱子: ?每个箱子至少一个，有几种情况, ?3个箱子都可能取到空球，有几种情况, ?第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况, 解 2?C=36 9 ?如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况, 2C=66 12 ?我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法, 2C=28 8 【例38】 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个, 解: 因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为a、b 显然a+b<=9 ,且a不为0 1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ0ˇ 1代表9个1，-代表10个空位 我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0， 2所以一共有 C=45 10 【例39】 有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个, 答案:类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0 1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ1ˇ0ˇ0ˇ 在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板 设取到第10个板时，第二组取空，即b=0;取到第11个板时，第三组取空，即c=0。 3所以一共有C =165 11 【例40】 : 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法, o - o - o - o - o - o - o - o - o - o 选板法 o代表10个糖，-代表9块板 10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉 9 这样一共就是 2= 512 【例41】 分类插板: 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法, 此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论最多吃5天，最少吃1天 1: 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况 2:吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况, c10 1=10 3:吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? c8 2=28 4:吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天,c6 3=20 所以一共是 2+10+28+20=60 种 【例42】 :在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况, 二次插板法 -o - o - o - o - o - o - 三个节目abc 可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位 所以一共是 c7 1×c8 1×c9 1=504种