有效数字的定义

有效数字的定义 1 有效数字的定义 有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。 例如:用最小刻度为0.1cm的直尺量出某物体的长度为11.23 cm。 显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，测量的结果有?0.01cm的误差。我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。 在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。 例如:分析天平称得的物体质量为7.1560g 滴定时滴定管读数为20.05mL 这两个数值中的“0”都是有效数字 在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字 有效位数及数据中的“ 0 ”: 1.0005， 五位有效数字 0.5000， 31.05% 四位有效数字 0.0540， 1.86 三位有效数字 0.0054， 0.40% 两位有效数字 0.5， 0.002% 一位有效数字 2 有效数字的计算规则 2.1 有效数字的修约规则 在运算时，按一定的规则舍入多余的尾数，称为数字的修约。 2.1.1 四舍六入五六双。即测量数值中被修订的那个数，若小于等于4，则舍弃;若大于等于6，则进一;若等于5(5后无数或5后为0)，5前面为偶数则舍弃，5前面为奇数则进一，当5后面还有不为0的任何数时，无论5前面是偶数还是奇数一律进一。 例如，将下列测量值修约为四位数: 3.142 45 3.142 3.215 60 3.216 5.623 50 5.624 1 5.624 50 5.624 3.384 51 3.385 3.384 5 3.384 2.1.2 修约数字时，对原测量值要一次修约到所需位数，不能分次修约。 例如，将3.314 9 修约成三位数，不能先修约成3.315，再修约成3.32;只能一次修约为3.31。 2.2 数字的运算规则 2.2.1 在进行加减运算时，有效数字取舍以小数点后位数最少的数值为准。 例如，0.0231、24.57和1.16832三个数相加，24.57的数值小数点后位数最少，故其他数值也应取小数点后两位，其结果是:0.02+24.57+1.17=25.76。 2.2.2在乘除运算中，应以有效数字最少的为准。 例如，0.0231、24.57和1.16832三个数相乘，0.0231的有效数字最少，只有3位，故其他数字也只取3位。运算的结果也保留3位有效数字:0.0231×24.6×1.17=0.665。 2.2.3在对数运算中，所取对数的位数应与真数的有效数字位数相同。 例如:lg9.6的真数有两位有效数字，则对数应为0.98，不应该是0.982或0.9823。 +-2-1又如[H]为3.0×10 mol?L时，pH应为1.52。 3 误差及其产生的原因和表示法 3.1 系统误差(systematic error )——可测误差(determinate error) 3.1.1 方法误差:是分析方法本身所造成的; 如:反应不能定量完成;有副反应发生;滴定终点与化学计量点不一致;干扰组分存在等。 3.1.2 仪器误差:主要是仪器本身不够准确或未经校准引起的; 如:量器(容量瓶、滴定管等)和仪表刻度不准。 3.1.3 试剂误差:由于试剂不纯和蒸馏水中含有微量杂质所引起; 3.1.4 操作误差:主要指在正常操作情况下，由于分析工作者掌握操作规程与控制条件不当所引起的。如滴定管读数总是偏高或偏低。 特性:重复出现、恒定不变(一定条件下)、单向性、大小可测出并校正，故有称为可定误差。可以用对照试验、空白试验、校正仪器等办法加以校正。 2 3.2 随机误差(random error)——不可测误差(indeterminate error) 产生原因与系统误差不同，它是由于某些偶然的因素所引起的。 如:测定时环境的温度、湿度和气压的微小波动，以其性能的微小变化等。 特性:有时正、有时负，有时大、有时小，难控制(方向大小不固定，似无规律) 但在消除系统误差后，在同样条件下进行多次测定，则可发现其分布也是服从一定规律(统计学正态分布)，可用统计学方法来处理。 3.3 误差的表示法 定量分析的目的是准确测定样品中被测组分的含量，并且要求分析达到一定的准确度。 3.3.1准确度是指测定值与真实值接近的程度。准确度的大小用误差表示，误差越小，表示分析结果的准确度越高。误差可用绝对误差与相对误差两种方法表示。 绝对误差(E)指测量值(X)与真实值(T)之差，即E , X , T。 E 相对误差(RE)指绝对误差占真实值的百分率，即RE , 。 ，100%T 3.3.2精密度 通常被测物质的真实值是未知的，因此无法求得分析结果的准确度。实际工作中，为了得到可靠的分析结果，在相同的条件下，对样品进行多次反复测定，求出分析结果的算术平均值。多次测定值之间相吻合的程度称为精密度。精密度表现了测定结果的再现性，用偏差表示，偏差越小，说明分析结果的精密度越高，所以偏差的大小是衡量精密度高低的尺度。 绝对偏差(d)表示测定值(x)与平均值()之差: xii xxxx123，，，，…nd,,x，, 。 xixi n 平均偏差()为各单个偏差的平均值: d xxxxxxxx123,，,，,，，,…ndddd123，，，，…nd, ,。 nn d 相对平均偏差为:R , 。 d，100% x 附:小常识 3 为什么全球人都用阿拉伯数字, 通常，我们把1、2、3、4……9、0称为“阿拉伯数字”。其实，这些数字并不是阿拉伯人创造的，它们最早产生于古代的印度。可是人们为什么又把它们称为“阿拉伯数字”呢, 据传早在公元七世纪时，阿拉伯人渐渐地征服了周围的其他民族，建立起一个东起印度，西到非洲北部及西班牙的萨拉森大帝国。到后来，这个大帝国又分裂成为东、西两个国家。由于两个国家的历代君主都注重文化艺术，所以两国的都城非常繁荣昌盛，其中东都巴格达更胜一筹。这样，西来的希腊文化，东来的印度文化，都汇集于此。阿拉伯人将两种文化理解并消化，形成了新的阿拉伯文化。 大约在公元750年左右，有一位印度的天文学家拜访了巴格达王宫，把他随身带来的印度制作的天文表献给了当时的国王。印度数字1、2、3、4……以及印度式的计算方法，也就好似在这个时候介绍给了阿拉伯人。因为印度数字和计算方法简单又方便，所以很快就被阿拉伯人所接受了，并且逐渐地传播到欧洲各个国家。在漫长的传播过程中，印度创造的数字就被称为“阿拉伯数字”了。到后来，人们虽然弄清了“阿拉伯数字”的来龙去脉，但有大家早已习惯了“阿拉伯数字”这个叫法，所以也就沿用下来了。 这套数字系统最先只有1、2、3、4、5、6、7、8、9，当时还没有“0”。“0”这个数字，在那时还是一个黑点。后来，又经过了几百年的演化，“0”才正式出现。直到那时，这套完整的数字才真正形成。 4 5