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矩阵方程X+A^*X^-2A=Q的Hermite正定解

2018-08-22 12页 doc 29KB 61阅读

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矩阵方程X+A^*X^-2A=Q的Hermite正定解矩阵方程X+A^*X^-2A=Q的Hermite正定解 矩阵方程X,A^,X^-2A=Q的Hermite正 定解 第26卷第2期 2010年4月 德州学院 JournalofDezhouUniversity VO1.26,No.2 Apr.,2010 矩阵方程X+A*XA—Q的Hermite正定解 姜立新 (德州职业技术学院,山东德州253034) 摘要:讨论了矩阵方程X+AX一A=Q的可解性及解的性质,讨论了最大解的不动 点迭代及收敛性,给出 了牛顿迭代算法. 关键词:非线性矩阵方程;正定解;不动点迭代;...
矩阵方程X+A^*X^-2A=Q的Hermite正定解
矩阵方程X+A^*X^-2A=Q的Hermite正定解 矩阵方程X,A^,X^-2A=Q的Hermite正 定解 第26卷第2期 2010年4月 德州学院 JournalofDezhouUniversity VO1.26,No.2 Apr.,2010 矩阵方程X+A*XA—Q的Hermite正定解 姜立新 (德州职业技术学院,山东德州253034) 摘要:讨论了矩阵方程X+AX一A=Q的可解性及解的性质,讨论了最大解的不动 点迭代及收敛性,给出 了牛顿迭代算法. 关键词:非线性矩阵方程;正定解;不动点迭代;牛顿迭代 中图分类号:O241.7文献标识码:A文章编号:1004—9444(2010)02—0025—05 0引言 考虑非线性矩阵方程 X+AXA—Q(1) 其中A为n阶复矩阵,A为A的共轭转置,Q 为Hermite正定矩阵. 非线性矩阵方程的来源和应用都相当广泛,包 括控制理论,网络分析,动态规划,统计学以及偏微 分方程的差分等许多领域.近年来已有许多学 者对此类方程进行了研究,给出了解的存在性,解的 性质及解的扰动分析.本文讨论了矩阵方程X+A XA—Q的可解性及解的性质,讨论了最大解的不 动点迭代及收敛性,给出了最大解牛顿迭代算法. 文中使用符号:对于Hermite矩阵X和y,文 中Xy表示X—y是半正定的,X>y表示X,y 是正定的,【1.1l表示谱范数,.(A)表示A的最小 特征值,(A)表示A的最大特征值,.0(A)表示A 的谱半径. 在此特别说明本文中解均指Hermite正定解. 解的存在性及性质 定理1矩阵方程(1)式有解的充要条件是存 在非奇异的矩阵w,Z,使得A一(ww)Z,其中矩 阵jV旧一I是列酉正交的,此时方程(1)式有解XlzQ一专J 证明必要性 如果X是方程(1)式的解,则存在唯一的Her— mite正定矩阵w,使得X=::WW(见文献[1]),代 人方程(1)式得 WW+AWWA=Q 即 W+(WA)WA—Q(2) 所以 (WQ一言)(wQ一言)+ ((V)一.AQ一专))(W),.AQ一专一 即 fw一?].[(一?]…s 令Z:=:(?)_.A,则A一(W)Z,由(3)式得, JWQ,列酉正交的.IZQ一专J 充分性 收稿日期:2009—10一O8 作者简介:姜立新(1965一),女,山东宁津人,副教授,硕士,主要从事数学物理问方 面的研究 26德州学院第26卷 假定A一(w*W)Z,f眦一}是列酉正pIzQ一言J +ZZ—Q 令X=WW,得 X+AXA—WW+(().Z) (WW)(W)Z=WW+ZZ===Q. 即X—wW是方程(1)式的解.证毕. 定理2矩阵方程(1)式有解的充要条件是存 在酉矩阵u,V和对角矩阵P>o,O>0,使得 A一(Q专Q专)UVQ专 其中十一I.此时X—Qi1Q专是方程(1)式的 解. 证明必要性 若(1)式有解,由定理1存在非奇异矩阵w,Z, 使得A:(ww)z,其中矩阵.WQ-1]. 是列酉正交 【ZQ一寺J 的,将1wQl扩展个酉矩阵fwQ—Ul,由【zQ一J【ZQ一言VJ CS分解定理(见文献[2])得,存在酉矩阵己,,【,:, ,和对角矩阵K>0,E>0,使 .-~ll,o1ooU2K0V2]lZQ一专J【J【?J 其中K+?一,则WQ一专一UK,ZQ一专一 ?,于是 W—UKQ言,Z—UZVQ言 所以有 A=(WW)Z一(Q专VKUlKQ专) UY.VQi1一(Q专I,zQ号)UVQ专, 其中一KV,一VZV都是对角矩阵且满 足+.一I. 充分性 若存在酉矩阵【,,和对角矩阵r>0,0>0, +一使得 A===(Q专rQ1)【,VQ专 令X—Q专Q专,可得 X+AXA— Q专Q专+Q专VUQ专Q专 (Q专Q专)一z(Q专Q?)Uvi— Q言(+西.)Q专一Q 即X:==Q专Q号是(1)式的解.证毕. 引理I_3]设M1I三三三A三三=1,>0,,三三三B三三= I>0,且B>A,则对任意,1,有AfM_A1H\1, B和A?()HB特别地,当A,B是正定矩阵 时,可取M2一【lB『I,.一llBIf_.. 定理3若(1)式有解为X,A为非奇异矩阵, 则 _<x<Q一 (a)~/? 1 fJQ lQll AQA 证明(a)由于(1)式有解为X,A为非奇异矩 阵,所以 X<Q,AXA<Q 于是 X>AQ一A 即 x> 又O<X<Q,由引理1,知 XQz x—Q—AxA<Q一rA 从而 <x<Q-QIIl_QIl QA AQA (b)(1)式有解,由定理2可得,存在酉矩阵U, 和对角矩阵p>0,O>0,+=J使得 A一(Q寺Q专)U1V1专 (A)一((Q寺Q专)U.V1专) l0(A)一maxl((Q专Q专)U1VQ专)It ll(Q专fQ专)uv专JI ?<一 \,A , P ,, b , 一 第2期姜立新:矩阵方程X+AXA—Q的Hermite正定解27 IIQi1Q可1QT1ll?IlQlI导IlF2l】 令r—diag(af),一diag(y),0?<1,0), <1,一1,2,…,". 由+.一,得 .+.===1,一1,2,…, 故 llII—max{(1一y)yi):max ((1一y? 因此 P(A)<llQII?去lIQII号 证毕. 考虑下面的两个一元三次数量方程 32.一 i(Q)z+(AA)一0(4) .-- 2(Q)z+(AA)一0(5) 对(4)式,令g(z)一m-n(Q).一.,易知,当一号 o i (Q)=号l_Q【j时,此函数取最大值i (Q). 因此,当(AA)<3mjn(Q) 即 【fAI『<Q) 或 llAIQ一lI.<(6) 时,方程(4)式有两个正实根a,(a<<A (Q)).又由式(5)式可得 i(AA)<(Q) 从而方程(5)式也有两个正实根z,(a<<… (Q)).易得 O<口2<d1<叩<<<(Q)(7) 定理4若A和Q满足条件(6)式,X是矩阵 方程(1)式的解,则 a2i(X)?a1或?min(X)?』92 口2<- A(X)?a1或<-2(X) 证明若x是矩阵方程(1)式的解,即x+A XA=Q,则 i(X)I?X…(X)I Q—(X)AA?X?Q—(X)AA(8) 所以 .(Q—(X)AA)i(X) 由Wyle不等式(见文献[43)知 (X)--^2i(X)2.(Q)+(AA)0 由(4)式的解知 i(X)fll或Il1(X)-<a1(9) 同理由(8)式又得 (X)?(Q),(X)i(AA) 由(5)式的解知 口2<(X)<(10) 由X+AXA—Q,得 X一A(Q—X) Q,(X)<Q—X<Q—…(X) 故 _—A(Q—x),A*(Q), i (X)…,一… AA .(Q)--2(X)' (11) — (x.)一(x)==j_=二minA,^lnLA 即 (X)一i(X)2(Q)+i(AA)O 故 a2i(X)?(12) 同样由(1I)式得 2,? 即 (X)或…(X)-<a1(13) 综合(9),(10),(12),(13)式得 12'2<- 2min(X)?口1或i(X)? 0[2?(X)d或(X)证毕. 2不动点迭代 引理2E对任意Hermite矩阵X三三=y三三=6> 28德州学院第26卷 0,都有 llX—y【l?llx—yll 定理5若A和Q满足条件(6),则矩阵方程 (1)式在[I,J]上存在唯一解x,且不可能有比 X更大的解.x可由以下迭代得到 X+l—Q--AX;-A,志一0,1,2,…(14) 其中xo?[,]. 证明令f(X)一Q—AX一A,n一 [,j],则n为有界闭凸集,易知:厂().由 Brouwer不动点定理,-厂在上有不动点,即(1)式 在n上有解.对任意X,y?.由弓l理2 /(x)--f(Y~l}一IiAy…A—AAIl IIA11y-2xII?IIAIIIly—xII 令n一IIAII.,由(6)式IIAII<4^…3(Q),', 得 a一 2ItAII24(Q) 又叩<』9,从而a<1. 故,(X)在谱范数意义下是压缩算子,由Ba— nach压缩映象原理得_厂(x)在力上有唯一不动点 x,使得厂(X)一X,且有 llX--xj1IlXx--x.11 IIX--XII?aIIX,,--X—II 当IIAII<.(Q)时,任取x? [.,]是(1)式的解,由<叩<可知,x< x在llAI{<i(Q)的情况下没有比x更大 的解.称X,为(1)式的最大解.证毕. 3牛顿迭代算法 引理3?设A?C",则A收敛~limA===0'一,—, 且?A一(—A)_.. 定义算子 F(X)一X+AXA—Q 则有 F(X+H)一F(X)一 H+A[(x+H),一x1]A 而 (X+H)一X—XrX.一 (X+H)](X+H)一 一 X一H(X+H)一一X一 H(X+H) 由引理3,得 (X+H)一[一(一X一H)]X一 X一+(一XH)X,+ XHXHX+… 所以 (X+H)一.一X?===一(X一.HX一+ X一HX)+O(/-/) F(X+H)一F(X)一H—AXHXA— AXHXA+O(H) F(X)的Frechet微分可定义为 DF(X)(H)一H—AX一3.HXA— AX一HX一A(15) 令 F(X)一F(X.)4-DF(X.)(X—X.)一0 所以 DF(X.)(X一X.)一一F(X.) DF(X)(X+1一X)一一F(X) DF(X^)(X+l—X)一一F(X女) X十1一X一AX^一(X^+l—X女)X;-A— AX(X+1一X)X.A—Q—X一 AXfAX+1一AX一X+1XA— AXX+1X.A—Q一3AX.A 可得最大解x牛顿迭代 于是, X.=Q X十l—AX,X十lXA— AXX+1XA—Q一 3AXf.A,一0,1,2,…(16) 相应的增量形式为 A::=X一X+l ?一AX2-AXfA—AXAXA— X+AXA—Q(17) 其中尼一0,1,2,… 第2期姜立新:矩阵方程X+AX一A=q的Hermite正定解29 算法 步骤1给定初值X.?[,],计算精度e 和sl; 步骤2假定已进行了K次迭代,已求出Bk— Axi1,G:x2A,xk; 步骤3解线性方程Xk+一CX+tB一 BX+1C=Q一3AC,忌一0,1,2,… 得X+1; 步骤4求?一X一X女十1; 步骤5若Il?lIe或lI?ll,zII?一,l_, 则X=X+,转步骤6, 否则,k+1一是,转步骤2; 步骤6输出X,结束. 参考文献 EliRajendraBhatia.MatrixAnalysis[-M].Springer—Verlag NewYork.INC.,1997 [2]StewartGW,SunJG.MatrixPerturbationTheory [3-1 [4] Es] [6] E7] Es] [MJ.AcademiePress,】990 FurutaT.OperatorinequalitiesassociatedwithHolder — MfCnr,^vAndKantorovichinequalities[J].Inequa1. App1.,1998,6:137—148. ZhangFuzhen.MatrixTheory:BasicResultsandTech— niques[M].NewYork:Springer,1999. 王进芳,张玉海,朱本仁.矩阵方程X+AXA—(q >0)的Hermite正定解[J].计算数学,2004,26(1):61 — 72. 孙继广.矩阵扰动分析[M].北京:科学出版社,1987:1 — 377. 张玉海.非线性矩阵方程X+AA=,(q>0)Her— mite正定解的存在性[j].高等学校计算数学, 2005,27:n0—113. 廖安平.矩阵方程X+AX一A—I的正定~l-J].高等 学校计算数学,2004,26(2):156—161. HermitianPositiveDefiniteSolutionsofthe MatrixEquationX+AXA—Q 儿ANGLi—xin (DezhouVocationa1andTechnicalCollege,DezhouShandong253034,China) Abstract:TheexistenceofthexolutionofthematrixequationX+AX一A=Qisstuded.Someproperties ofthesolutionthefixedpointiterationofthelargestsolutionandit'sconvergenceareobtained. TheNew— toniterativemethodtosolvetheEq(1)isdiscussed. Keywords:nonlinearmatrixequation;positivedefinitesolution;fixedpointiteration;newto niterative method
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