矩阵方程X+A^*X^-2A=Q的Hermite正定解
矩阵方程X,A^,X^-2A=Q的Hermite正
定解 第26卷第2期
2010年4月
德州学院
JournalofDezhouUniversity VO1.26,No.2
Apr.,2010
矩阵方程X+A*XA—Q的Hermite正定解
姜立新
(德州职业技术学院,山东德州253034) 摘要:讨论了矩阵方程X+AX一A=Q的可解性及解的性质,讨论了最大解的不动
点迭代及收敛性,给出
了牛顿迭代算法.
关键词:非线性矩阵方程;正定解;不动点迭代;牛顿迭代 中图分类号:O241.7文献标识码:A文章编号:1004—9444(2010)02—0025—05
0引言
考虑非线性矩阵方程
X+AXA—Q(1)
其中A为n阶复矩阵,A为A的共轭转置,Q 为Hermite正定矩阵.
非线性矩阵方程的来源和应用都相当广泛,包 括控制理论,网络分析,动态规划,统计学以及偏微 分方程的差分
等许多领域.近年来已有许多学 者对此类方程进行了研究,给出了解的存在性,解的 性质及解的扰动分析.本文讨论了矩阵方程X+A XA—Q的可解性及解的性质,讨论了最大解的不
动点迭代及收敛性,给出了最大解牛顿迭代算法. 文中使用符号:对于Hermite矩阵X和y,文 中Xy表示X—y是半正定的,X>y表示X,y 是正定的,【1.1l表示谱范数,.(A)表示A的最小 特征值,(A)表示A的最大特征值,.0(A)表示A 的谱半径.
在此特别说明本文中解均指Hermite正定解. 解的存在性及性质
定理1矩阵方程(1)式有解的充要条件是存 在非奇异的矩阵w,Z,使得A一(ww)Z,其中矩 阵jV旧一I是列酉正交的,此时方程(1)式有解XlzQ一专J
证明必要性
如果X是方程(1)式的解,则存在唯一的Her— mite正定矩阵w,使得X=::WW(见文献[1]),代 人方程(1)式得
WW+AWWA=Q
即
W+(WA)WA—Q(2)
所以
(WQ一言)(wQ一言)+
((V)一.AQ一专))(W),.AQ一专一
即
fw一?].[(一?]…s
令Z:=:(?)_.A,则A一(W)Z,由(3)式得, JWQ,列酉正交的.IZQ一专J
充分性
收稿日期:2009—10一O8
作者简介:姜立新(1965一),女,山东宁津人,副教授,硕士,主要从事数学物理问
方
面的研究
26德州学院第26卷
假定A一(w*W)Z,f眦一}是列酉正pIzQ一言J +ZZ—Q
令X=WW,得
X+AXA—WW+(().Z)
(WW)(W)Z=WW+ZZ===Q. 即X—wW是方程(1)式的解.证毕.
定理2矩阵方程(1)式有解的充要条件是存 在酉矩阵u,V和对角矩阵P>o,O>0,使得 A一(Q专Q专)UVQ专
其中十一I.此时X—Qi1Q专是方程(1)式的 解.
证明必要性
若(1)式有解,由定理1存在非奇异矩阵w,Z, 使得A:(ww)z,其中矩阵.WQ-1]. 是列酉正交
【ZQ一寺J
的,将1wQl扩展个酉矩阵fwQ—Ul,由【zQ一J【ZQ一言VJ
CS分解定理(见文献[2])得,存在酉矩阵己,,【,:, ,和对角矩阵K>0,E>0,使
.-~ll,o1ooU2K0V2]lZQ一专J【J【?J 其中K+?一,则WQ一专一UK,ZQ一专一 ?,于是
W—UKQ言,Z—UZVQ言
所以有
A=(WW)Z一(Q专VKUlKQ专)
UY.VQi1一(Q专I,zQ号)UVQ专, 其中一KV,一VZV都是对角矩阵且满 足+.一I.
充分性
若存在酉矩阵【,,和对角矩阵r>0,0>0,
+一使得
A===(Q专rQ1)【,VQ专
令X—Q专Q专,可得
X+AXA—
Q专Q专+Q专VUQ专Q专
(Q专Q专)一z(Q专Q?)Uvi—
Q言(+西.)Q专一Q
即X:==Q专Q号是(1)式的解.证毕. 引理I_3]设M1I三三三A三三=1,>0,,三三三B三三=
I>0,且B>A,则对任意,1,有AfM_A1H\1,
B和A?()HB特别地,当A,B是正定矩阵 时,可取M2一【lB『I,.一llBIf_.. 定理3若(1)式有解为X,A为非奇异矩阵, 则
_<x<Q一 (a)~/?
1
fJQ
lQll
AQA
证明(a)由于(1)式有解为X,A为非奇异矩 阵,所以
X<Q,AXA<Q 于是
X>AQ一A
即
x>
又O<X<Q,由引理1,知
XQz
x—Q—AxA<Q一rA
从而
<x<Q-QIIl_QIl QA
AQA
(b)(1)式有解,由定理2可得,存在酉矩阵U, 和对角矩阵p>0,O>0,+=J使得 A一(Q寺Q专)U1V1专
(A)一((Q寺Q专)U.V1专)
l0(A)一maxl((Q专Q专)U1VQ专)It ll(Q专fQ专)uv专JI
?<一
\,A
,
P
,,
b
,
一
第2期姜立新:矩阵方程X+AXA—Q的Hermite正定解27
IIQi1Q可1QT1ll?IlQlI导IlF2l】 令r—diag(af),一diag(y),0?<1,0),
<1,一1,2,…,".
由+.一,得
.+.===1,一1,2,…,
故
llII—max{(1一y)yi):max ((1一y?
因此
P(A)<llQII?去lIQII号
证毕.
考虑下面的两个一元三次数量方程 32.一
i(Q)z+(AA)一0(4)
.--
2(Q)z+(AA)一0(5)
对(4)式,令g(z)一m-n(Q).一.,易知,当一号 o
i
(Q)=号l_Q【j时,此函数取最大值i (Q).
因此,当(AA)<3mjn(Q) 即
【fAI『<Q)
或
llAIQ一lI.<(6)
时,方程(4)式有两个正实根a,(a<<A
(Q)).又由式(5)式可得
i(AA)<(Q)
从而方程(5)式也有两个正实根z,(a<<… (Q)).易得
O<口2<d1<叩<<<(Q)(7)
定理4若A和Q满足条件(6)式,X是矩阵 方程(1)式的解,则
a2i(X)?a1或?min(X)?』92
口2<-
A(X)?a1或<-2(X) 证明若x是矩阵方程(1)式的解,即x+A
XA=Q,则
i(X)I?X…(X)I
Q—(X)AA?X?Q—(X)AA(8) 所以
.(Q—(X)AA)i(X)
由Wyle不等式(见文献[43)知
(X)--^2i(X)2.(Q)+(AA)0
由(4)式的解知
i(X)fll或Il1(X)-<a1(9)
同理由(8)式又得
(X)?(Q),(X)i(AA)
由(5)式的解知
口2<(X)<(10) 由X+AXA—Q,得
X一A(Q—X)
Q,(X)<Q—X<Q—…(X) 故
_—A(Q—x),A*(Q),
i
(X)…,一…
AA
.(Q)--2(X)'
(11)
—
(x.)一(x)==j_=二minA,^lnLA 即
(X)一i(X)2(Q)+i(AA)O 故
a2i(X)?(12)
同样由(1I)式得
2,?
即
(X)或…(X)-<a1(13) 综合(9),(10),(12),(13)式得
12'2<-
2min(X)?口1或i(X)?
0[2?(X)d或(X)证毕.
2不动点迭代
引理2E对任意Hermite矩阵X三三=y三三=6>
28德州学院第26卷
0,都有
llX—y【l?llx—yll
定理5若A和Q满足条件(6),则矩阵方程 (1)式在[I,J]上存在唯一解x,且不可能有比 X更大的解.x可由以下迭代得到 X+l—Q--AX;-A,志一0,1,2,…(14) 其中xo?[,].
证明令f(X)一Q—AX一A,n一
[,j],则n为有界闭凸集,易知:厂().由 Brouwer不动点定理,-厂在上有不动点,即(1)式 在n上有解.对任意X,y?.由弓l理2 /(x)--f(Y~l}一IiAy…A—AAIl IIA11y-2xII?IIAIIIly—xII
令n一IIAII.,由(6)式IIAII<4^…3(Q),',
得
a一
2ItAII24(Q)
又叩<』9,从而a<1.
故,(X)在谱范数意义下是压缩算子,由Ba— nach压缩映象原理得_厂(x)在力上有唯一不动点 x,使得厂(X)一X,且有
llX--xj1IlXx--x.11 IIX--XII?aIIX,,--X—II
当IIAII<.(Q)时,任取x?
[.,]是(1)式的解,由<叩<可知,x< x在llAI{<i(Q)的情况下没有比x更大 的解.称X,为(1)式的最大解.证毕. 3牛顿迭代算法
引理3?设A?C",则A收敛~limA===0'一,—, 且?A一(—A)_..
定义算子
F(X)一X+AXA—Q
则有
F(X+H)一F(X)一
H+A[(x+H),一x1]A
而
(X+H)一X—XrX.一
(X+H)](X+H)一
一
X一H(X+H)一一X一
H(X+H)
由引理3,得
(X+H)一[一(一X一H)]X一
X一+(一XH)X,+
XHXHX+…
所以
(X+H)一.一X?===一(X一.HX一+
X一HX)+O(/-/) F(X+H)一F(X)一H—AXHXA— AXHXA+O(H)
F(X)的Frechet微分可定义为 DF(X)(H)一H—AX一3.HXA— AX一HX一A(15)
令
F(X)一F(X.)4-DF(X.)(X—X.)一0 所以
DF(X.)(X一X.)一一F(X.) DF(X)(X+1一X)一一F(X) DF(X^)(X+l—X)一一F(X女) X十1一X一AX^一(X^+l—X女)X;-A—
AX(X+1一X)X.A—Q—X一 AXfAX+1一AX一X+1XA— AXX+1X.A—Q一3AX.A
可得最大解x牛顿迭代 于是,
X.=Q
X十l—AX,X十lXA—
AXX+1XA—Q一
3AXf.A,一0,1,2,…(16) 相应的增量形式为
A::=X一X+l
?一AX2-AXfA—AXAXA— X+AXA—Q(17)
其中尼一0,1,2,…
第2期姜立新:矩阵方程X+AX一A=q的Hermite正定解29
算法
步骤1给定初值X.?[,],计算精度e
和sl;
步骤2假定已进行了K次迭代,已求出Bk— Axi1,G:x2A,xk;
步骤3解线性方程Xk+一CX+tB一
BX+1C=Q一3AC,忌一0,1,2,…
得X+1;
步骤4求?一X一X女十1;
步骤5若Il?lIe或lI?ll,zII?一,l_,
则X=X+,转步骤6,
否则,k+1一是,转步骤2;
步骤6输出X,结束.
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HermitianPositiveDefiniteSolutionsofthe MatrixEquationX+AXA—Q
儿ANGLi—xin
(DezhouVocationa1andTechnicalCollege,DezhouShandong253034,China)
Abstract:TheexistenceofthexolutionofthematrixequationX+AX一A=Qisstuded.Someproperties
ofthesolutionthefixedpointiterationofthelargestsolutionandit'sconvergenceareobtained.
TheNew—
toniterativemethodtosolvetheEq(1)isdiscussed. Keywords:nonlinearmatrixequation;positivedefinitesolution;fixedpointiteration;newto
niterative
method