球体积、外面积公式推导过程[精彩]

球体积、外面积公式推导过程[精彩] 43球体积公式推导过程 ,,VR3 图一 图二 对于一个球体，直接求它的体积是相当困难的。我们可以利用转化的思想，在球体内放一些大小不同，高度相同的圆柱。(如图一)当每个圆柱的高度越来越小时，所有圆柱的体积和就会越来越接近于球的体积。当圆柱的高无限趋于0时，所有圆柱的体积和就是球的体积。(如图二) 按照这个思路，我们来求球的体积。 设球的体积为V，半径为R，每个圆柱的高为a， R,,则半个球中有n个圆柱。n,,n,Z,,a,, 图三中的圆为球的一个轴截面，其中的矩形是圆柱 的轴截面。圆的圆心为原点，所以这个圆的方程式为 222。在y轴左侧，从左到右圆柱的序号(用，,yxR 22b示)分别为1，2，3，…n,则圆柱底面圆的半径(注意:,,，，,,b,1a,RrRb ,0) r1 图三 V...,，，，，VVVVn1232 2222,,，a,，a,，a...，,arrrrn123 2222，，a...,,，，，，rrrrn123 222222,,，，，，，，,,a0，,，,，...，,，，，，，，，，a,R2a,Rn,1a,R,,RRR,,,,,,，，，，，，,, 2222,,，，，，，，，，a2aR4aR4...2n1aR,,,，,，，,,，，n,1,,aaa,,，，,, 22,,，，，，，，，，2Ra4R4a...2n1Ra,,,，,，，,,，，n,1,,a,,，，,, 2222,,，，，，2R1,,2..n1a...,,，，，,,，，，，，n,1,,a12,,，，,, ，，，，，，nnannn,1,12,12，，R,,2,a,,26，， ，，an2,12，，，，nnR,,,1,a,,6，， R把代入上式，得 n,a ，，R,,2,1a,,2,,,,VRa2,,R,,,,,,,,Ra2,,26a,,a,,,,，， 2,Ra,,2 ,,,,,aRR,,，，R6,, 22322,,,2,,,aRa32aRRR,,,,,，aRR66 2Ra,,3,,,,，Ra,,R326,,2V当a无限趋于0时 3,,R23 43,,VR3 2球表面积公式推导过程 S,4,R 我们可以把球表面分成n个面积相等的网格。当n趋于无穷大时，每个网格与球心组 成的几何体便可看作一个锥体，且锥体的高为球的半径。 设球的体积为V，表面积为S，半径为R 1SV,nR3n 3VS, R 43？V,,R3 2？S,4,R