数学逻辑推理题

数学逻辑推理题 小红.小强和小华三名学生中,有一人把教室打扫的干干净净,事后老师问他们三人谁做的好事?小红说:"是小强做的.",小强说:"不是我做的."小华说:"不是我做的."已知他们三人中有两人说了假话,一人说了真话,那么老师能判定是说干的吗?说出理由. 1、少先队员做游戏，甲队只准说真话、乙队只准说假话、甲队在讲台西边，乙队在讲台东边。叫一个小朋友上来判断从二队中选出的一个人是哪个队的。这个小朋友叫这个队员去问一个队员是在讲台西边还是东边。这个队员回来说，那个队员说他在讲台西边。这个小朋友马上判断出来。这个人是甲队的，为什么, 2、甲、乙、丙、丁与小强五人一起比赛象棋，每两个人都要比赛一盘，到现在为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，问小强赛了几盘, 3、警察抓住4名盗窃犯A、B、C、D，下面是他们的答话: A说:是B干的; B说:是D干的; C说:不是我干的; D说: B在说谎。 后来证实，这四个人中只有一人说的是真话，你知道罪犯是谁吗, 4、甲、乙、丙、丁四个人参加一次数学竞赛，赛后他们四人预测名次如下: 甲说:丙第一，我第三;乙说:我第一，丁第四;丙说:丁第二，我第三; 丁没有说话。 最后公布结果时，发现他们每人预测对了一半，请说出竞赛的名次。 5、小明、小强、小华三个人参加迎春杯，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖，现知道: 1)小明不是金城。2)小强不是沙市。3)金城的选手不是一等奖。4)沙市的选手得二等奖。5)小强不是三等奖。 根据上述情况，小华应是 ___选手，他得的是 ___等奖。 ?一天，老师发现教室里原有一张坏的凳子被修好了， 老师找到四个住校的学生:A，B，C，D向他们了解 A:凳子不是我修的 B:凳子是D修的 C:凳子是B修的 D:凳子不是我修的 假如他们四个中只有一个说了真话。问:凳子是谁修的, ?一个警察，抓了四个盗窃嫌疑犯A，B，C，D。他们说: A:不是我偷的 B;是A偷的 C:不是我偷的 D:是B偷的 假如他们当中只有一个人说了真话 问:是谁偷的, ?A，B，C三个人中有一个得了奖，老师问他们谁得了奖 A:是B B:不是我 C:也不是我 假如他们当中只有一个人说了真话 那么谁得了奖 例1 公路上按一路纵队排列着五辆大客车.每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志.每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市，有三辆开往B市;并且他们都只能看见在自己前面的车的标志.调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断.他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的.这个司机看看前两辆车的标志，想了想说“不知道”.第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根据第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道.第一个司机也很聪明，他根据第二、 三个司机的“不知道”，作出了正确的判断，说出了自己的目的地。 请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的;他又是怎样分析出来的, 解:根据第三辆车司机的“不知道”，且已知条件只有两辆车开往A市，第一、二辆车不可能都开往A市.(否则，如果第一、二辆车都开往A市的，那么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定开往B 市)。 再根据第二辆车司机的“不知道”，则第一辆车一定不是开往A市的.(否则，如果第一辆车开往A市， 则第二辆车即可推断他一定开往B市)。 运用以上分析推理，第一辆车的司机可以判断，他一定开往B市。 例2 李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛.事先规定. 兄妹二人不许搭伴。 第一盘，李明和小华对张虎和小红; 第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。 请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。 解:因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小 红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。 第一种可能是:李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林; 第二种可能是:李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。 对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。 所以判断结果是:张虎的妹妹是小华;李明的妹妹是小林;王宁的妹妹是小红。 例3 “迎春杯”数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.甲说:“如果我能获奖，那么乙也能获奖.”乙说:“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”丙说:“如果丁没获奖，那么我也不能获奖.”实际上， 他们之中只有一个人没有获奖.并且甲、乙、丙说的话都是正确的.那么没能获奖的同学是___。 解:首先根据丙说的话可以推知，丁必能获奖.否则，假设丁没获奖，那么丙也没获奖，这与“他们之 中只有一个人没有获奖”矛盾。 其次考虑甲是否获奖，假设甲能获奖，那么根据甲说的话可以推知，乙也能获奖;再根据乙说的话又 可以推知丙也能获奖，这样就得出4个人全都能获奖，不可能.因此，只有甲没有获奖。 例4 数学竞赛后，小明、小华、小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌.王老师猜测:“小明得金牌;小华不得金牌;小强不得铜牌.”结果王老师只猜对了一个.那么小明得___牌，小华得_ __牌，小强得___牌。 分析 逻辑问题通常直接采用正确的推理，逐一分析，讨论所有可能出现的情况，舍弃不合理的情形， 最后得到问题的解答.这里以小明所得奖牌进行分析。 解:?若“小明得金牌”时，小华一定“不得金牌”，这与“王老师只猜对了一个”相矛盾，不合题意。 ?若小明得银牌时，再以小华得奖情况分别讨论.如果小华得金牌，小强得铜牌，那么王老师没有猜对 一个，不合题意;如果小华得铜牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，也不合题意. ?若小明得铜牌时，仍以小华得奖情况分别讨论.如果小华得金牌，小强得银牌，那么王老师只猜对小强得奖牌的名次，符合题意;如果小华得银牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，不合题意。 综上所述，小明、小华、小强分别获铜牌、金牌、银牌符合题意。 例5 有三只盒子，甲盒装了两个1克的砝码;乙盒装了两个2克的砝码;丙盒装了一个1克、一个2克的砝码.每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的.聪明的小明只从一只盒子里取出一个砝码，放到天 平上称了一下，就把所有标签都改正过来了.你知道这是为什么吗, 分析 解决本题的关键是确定打开哪只盒子:若打开标有“两个1克砝码”的盒子，则该盒的真实内容是“两个2克砝码”或“一个1克砝码，一个2克砝码”，当取出的是2克砝码时，就无法对其内容作出准确的判断.同样，打开标有“两个2克砝码”的盒子时，也会出现类似的情况.所以，应打开标有“一个1克砝码， 一个2克砝码”的盒子.而它的真实内容应该是“两个1克砝码”或“两个2克砝码”。 ?若取出的是1克砝码，则该盒一定装有两个1克砝码，从而标有“两个2克砝码”的盒子里，不可能是两个2克或两个1克的砝码，而只能是一个1克，一个2克的砝码了;标有“两个1克砝码”的盒子自然 装有两个2克砝码。 ?若取出的是2克砝码，同理可知，此盒装有两个2克砝码;标有“两个1克砝码”的盒子里实际上是 一个1克和一个2克的砝码;标有“两个2克砝码”的盒子里实际上是两个1克砝码. 按以上的推理结果，小明就将全部标签改正过来了。 例6 四人打桥牌，某人手中有13张牌，四种花色样样有;四种花色的张数互不相同.红桃和方块共5张; 红桃与黑桃共6张;有两张将牌(主牌).试问这副牌以什么花色的牌为主, 解:?假设红桃为主.那么红桃有2张;方块有3张;黑桃有4张，因为共13张牌，所以草花有4张， 这样，黑桃为草花张数相同.与已知条件“四种花色的张数互不相同”矛盾，即红桃不是主牌。 ?假设方块为主牌.那么方块有2张;红桃有3张;则黑桃也有3张，亦与已知矛盾。 ?假设草花为主牌.那么草花有2张.并且推得红桃+方块+黑桃共有11张牌.而已知“红桃和方块共5张，红桃与黑桃共6张”，即得红桃+方块+红桃+黑桃共11张牌.由此得到红桃的张数应为零.与已知条件“四种花 色样样有”相矛盾.说明草花不是主牌。 由以上推理得知，黑桃必为主牌.即黑桃有2张;红桃有4张;方块有1张.那么草花有6张。 例7 S、B、J、R四人分别获数学、英语、语文和逻辑学四个学科的奖学金，但他们都不知道自己获得的 是哪一门获学金.他们相互猜测: S:“R得逻辑学奖”; B:“J得英语奖”; J:“S得不到数学奖”; R:“B得语文奖”。 最后发现，数学和逻辑学的获奖者所作的猜测是正确的，其他两人都猜错了.那么他们各得哪门学科的 奖学金, 分析 假设S猜对，即R得逻辑学奖.由已知条件“逻辑学获奖者所作的猜测是正确的”，则R猜对，那么B得语文奖，并且J、B均猜错.而由B猜错，可知J得数学奖，S只好得英语奖，这又说明J猜“S得不 到数学奖”是正确的.与前面的推理(J猜错)矛盾.所以S的猜测是错误的。 解:S猜错，即R得不到逻辑学奖，S不得数学奖且不得逻辑学奖.由此可知，J的猜测是正确的.则J得数学或逻辑学奖.于是推得，B猜错，故R猜对，即B得语文奖，S得英语奖，所以R得数学奖，J得逻 辑学奖。 例8 A、B、C三人进行小口径步枪射击比赛，每个人射击6次，并且都得了71分.三人共18次的得分情 况，从小到大排列为: 1，1，1，2，2，3，3，5，5，10，10，10，20，20，20，25，25，50。 已知A首先射击两次，共得22分;C第一次射击只得3分，请根据条件判断，是谁击中了靶心(击中 靶心得50分), 解:我们先来推断A6次射击的情况.已知前两次得22分，6次共得71分，从 71-22,49 可知，击中靶心的决不会是A.另一方面，在上面18个数中，两数之和等于22的只可能是20和2.再来推算一下四个数之和等于49的可能性.首先，在这四个数中，如果没有25，是绝不可能组成49的.其次，由于49-25=24，则如果没有20，任何三个数也不能组成24.而24-20=4，剩下的两个数显然只能是1和3 了.所以A射击6次的得分(不考虑得分顺序)应该是 20，2，25，20，3，1。 (可在前面18个数中，划去上述6个数)。 再来推断击中靶心的人6次得分的情况.从 71-50=21 可知，要在前面12个未被划去的数中，取5个数，使其和是21.可以断定，这5个数中，必须包括一 个10，一个5，一个3，一个2，一个1.即6次得分情况为 50，10，5，3，2，1。 在前面12个未被划去的数中，划去上面这6个数。 剩下的6个数 25，20，10，10，5，1 就是第三个人的得分情况了。 从这6个数中没有3，而C第一次得了3分，可知这6个数是B射击的得分数.因此C是击中靶心的人。 例9 在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话.一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们:“你们是什么人，是老实人,还是骗子,”这四个人的回答如下: 第一个人说:“我们四个人全都是骗子.” 第二个人说:“我们当中只有一个人是骗子.” 第三个人说:“我们四个人中有两个人是骗子.” 第四个人说:“我是老实人.” 请判断一下，第四个人是老实人吗, 解:?四个人当中一定有老实人.因为如果四个人都是骗子，则谁也不会说“我们四个人全都是骗子”. 所以第一个人为骗子。 ?第二个人为骗子.因为如果他是老实人，说实话，由于我们已经判断了第一个人是骗子，则第二、三、四个人都是老实人.但第三个人的回答与他矛盾，两人不可能是同类的，故第二个人说的是假话，他是骗子。 下面再看第三个人的回答:如果第三个人是编子，则由?可知，第四个人一定是老实人;若第三个人是老实人，那么由他的话知他和第四个人是老实人.因而无论第三个人是骗子还是老实人，都可以推出第四 个人是老实人。 所以，第四个人是老实人。 例10 某医院内科病房，A、B、C、D、E、F、G七名护士每周轮流安排一个夜班.已经知道:A的夜班比C的夜班晚一天，D的夜班比E的夜班的前一天晚三天，B的夜班比G的夜班早三天;F的夜班在B和C 的夜班的正中间，而且是在星期四.问每个护士分别在星期几值夜班, 解:除F以外，可将已知条件归纳如下:CA，E__D，B____G.这里的横线示空位。 可见CA不能排在B____G中间，否则F就无法排在BC的正中间了.又F必排在三个空位之一，因此还有两个空位必定是E__D和B__G交叉填空.于是可排出:EBDFG或BFEGD两种情况，而CA只能加在任何一端，那么就有CAEBDFG，EBDFGCA，CABFEGD和BFEGD,CA四种排位.其中只有排位EBDFGCA才能满足已知条件“F在BC的正中间”.所以七名护士值班排序是:E星期一值班，B星期二值班，D 星期三值班，F星期四值班，G星期五值班，C星期六值班，A星期日值班. 一天有个年轻人来到王老板的店里买了一件礼物 这件礼物成本是18元，标价是21元。 结果是这个年轻人掏出100元要买这件礼物。 王老板当时没有零钱，用那100元向街坊换了100元的零钱，找给年轻人79元。 但是街坊後来发现那100元是假钞，王老板无奈还了街坊100元。 现在问题是:王老板在这次交易中到底损失了多少钱??? --