(湖南常德卷)把两块全等的直角三角形和叠放在一起

20、（湖南常德卷）把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的ABCDEFDEF锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，,，,ABCDEF90ABCOD ，,，,CF45，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，ABCOABDE,,4DEF设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点． BCQDEABPDF （1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此???APDCDQQDFBB 时， ． APCQ?, （2）将三角板,由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中 ODEF 090,,,，问的值是否改变？说明你的理由． APCQ? （3）在（2）的条件下，设x，两块三角板重叠面积为，求与的数关系式．（图CQx,yy2，图3供解用） Ａ Ａ A Ｄ(Ｏ) Ｄ(Ｏ) P Ｐ () ＤＯE Ｍ Ｃ Ｂ Ｑ Ｃ Ｂ Ｅ Ｑ C B(Q) Ｅ Ｆ F Ｐ Ｆ 图1 图2 图3 [解] （1）8 （2）APCQ的值不会改变． Ａ 理由如下：在，,，,AC45?APD?CDQ与中， Ｄ（Ｏ） ，,,,，,,APDaa18045(45)90 Ｐ Ｃ Ｑ Ｂ Ｅ ，,,CDQa90 即，,，APDCDQ Ｆ ????APDCDQ APCD?, ADCQ 1 21,,2 ?APCQADCDADAC,,,,8,,2,, （3）情形1：当045,,a时，，即，此时两三角板重叠部分为四24,,x24,,CQ Ａ 边形，过作于，于， DGAP?GDNBC?NDPBQDＤ（Ｏ） Ｇ ?DGDN,,2 Ｍ 8Ｂ Ｃ 由（2）知：AP,得 APCQ,8Ｑ Ｎ x 111Ｅ 于是yABACCQDNAPDG,,, 222 Ｆ Ｐ 8 ,,,,,8(24)xx x 情形2：当4590?a,时，时，即，此时两三角板重叠部分02,CQ?02,x? 为， ?DMQ 88 由于AP,PB,,4，，易证：???PBMDNM， xx BMPB284PBx,BMPB ?,BM,,即,解得 MNDN22,BM24，,PBx 84,x ?MQBMCQx,,,,,,44 4,x 184,x 于是yMQDNxx,,,,,4(02)? 24,x 8 综上所述，当yx,,,824,,x时， x 84,x 当yx,,,402,x?时， 4,x 2,,xx,，48 或y, ,,4,x,, 法二：连结DNBC?N?DBQ?MCD，并过作于点，在与中，BDD ，,，,DBQMCD45 ，,，，，,，，,，，，,，DQBQCBQDCQDCMDQQDCMDC45 MCDB?,????DBQMCD CDBQ MC,2即 ,4,x22 2 2848xx,，8?MQMCCDx,,,,, ?MC,44,,xx4,x 2148xx,，??yDNMQx,,,(02) 24,x 法三：过作于点，在中， DNBC?NRt?DNQD 222 DQDNNQ,， 2 ,，,4(2)x 2 ,,，xx48 于是在，,，,DBQMDQ45与中 ?BDQ?DMQ ，,，，，DMQDBMBDM ,，，45BDM ,，BDQ ????BDQDMQ BQDQ?, DQMQ 4,xDQ即, DQMQ 22DQxx,，48?MQ,, 44,,xx 2148xx,，??yDNMQx,,,(02) 24,x [点评]这是一道几何操作问题，有一定的难度，第1、2小题是定值问题的探索，体现了从 一般到特殊的数学思想，第3小题则需根据图形在运动过程中的位置变化分类讨论，分别建立函数达式。 ,,53221、（湖南郴州卷）已知抛物线yaxbxc,，，PE(33)0，，，O(00)，经过及原点． ,,,,2,, （1）求抛物线的解析式． （2）过xPCCPC点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线yP 3 x下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于QAPCQQyA点，直线与直线及两坐标轴围成矩形（如图）．是否存在点，使得PCOABC?OPCQAQB 与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ?PQBQ （3）如果符合（2）中的x点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形OABCQOQ 之间存在怎样的关系？为什么？ ????OPCPQBOQPOQA，，， [解] （1）由已知可得： y ,333ab，,P B ,C 7553,253Q ab，,0,abc,,,,，，0 解之得，． 4233, c,0,, E O A x 2532因而得，抛物线的解析式为：yxx,,，． 33 （2）存在． 2532设nmm,,，点的坐标为()mn，，则，要使???OCPPBQ，则有Q33 25323，,mmm,333,,nm33,，即，解之得，． ,mm,,232，123333 当Q(232)，时，n,2，即为点，所以得 m,3P1 25323，,mmm,333,,nm33要使,???OCPQPB，则有，即 ,3333 解之得，m,3，当时，即为点， mm,,333，P12 当Q(333)，,n,,3?OCPQ?PBQ时，，所以得．故存在两个点使得与相m,331 似． (232)(333)，，，,Q点的坐标为． CP3（3）在tan，,,COP，,COP30Rt?OCP中，因为．所以． OC3 4 (232)，，,，,BPQCOP30当点的坐标为时，． Q 所以，,，,，,，,OPQOCPBQAO90． 因此，都是直角三角形． ????OPCPQBOPQOAQ，，， QA3又在tan，,,QOA，,QOA30中，因为．所以． Rt?OAQAO3 即有，,，,，,，,POQQOAQPBCOP30． 所以，又因为 ???????OPCPQBOQPOQAQPOPQAOA??，，,，,POQAOQ30，所以． ???OQAOQP [点评]本题是一道涉及函数、相似、三角等知识的综合题，解决第3题的关键在于通过观察得出对结果的合理猜想在进行证明，难度应该不会很大。 323222、（湖南湘潭卷）已知：如图，抛物线yxx,,,，3x的图象与轴分别交于33 OAAB，两点，与轴交于C点，M经过原点O及点AC，，点是劣弧上一动点（yDD 点与AO，不重合）． （1）求抛物线的顶点的坐标； E （2）求M的面积； （3）连CD交AO于点，延长CD至G，使FG,2，试探究当点运动到何处时，直FD线GAM与相切，并请说明理由． y 3232C E[解] （1）抛物线yxx,,,，3 33 M F332x ,,，，，，xx213 ，， OB A33 D G 3432 ,,，，x1 ，，33 ,,43,1，的坐标为 ？E,,,,3,, （说明：用公式求点的坐标亦可）． E （2）连AOCAOC，，，?,90ACM；过 O？AC为的直径． 而OAOC,,33， 5 AC ？,,r32 2？,,,,Sr3 M （3）当点OA运动到的中点时，直线与相切 GAMD 理由：在中， Rt?ACOOAOC,,33， y3tan3?ACO,,． C E3 M？,,?，?ACOCAO6030 Fx OB A点OA是的中点 D D G？,ADDO ？,,??ACGDCO30 ？,,OFOCtan301?CFO,60， 在?GAF中，AFFG,,22， ??AFGCFO,,60 ？?AGF为等边三角形 ？,?GAF60 ？,，,???CAGGAFCAO90 又OA？MACGA为直径，当为的中点时，为的切线 D [点评]本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的， 解第3小问时可以先自己作图来确定D点的位置。豆丁网（DocIn）是全球优秀的C2C 文档销售与分享社区。 豆丁允许用户上传包括 .pdf, .doc, .ppt, .txt 在内的数十种格式的文档文件，并以Flash Player的形式在网页中直接展示给读者。简而言之，豆丁就如同文档版的Y outube。现在每天都有数以万计的文档会上传到豆丁，正基于此，豆丁将致力构建全 球最大的中文图书馆。 豆丁努力使世界上任何人都能够自由地发挥他们的创造力。文档资料只通过少 数、单一的出版物来传播的时代已经结束。现在，互联网给文档资料提供了世界范围 内的传播渠道，豆丁希望能够给每个独立的文档持有者利用这个新机会的方法。现在， 我们为原创人群提供安全、自由、民主、便利的文档发布与营销平台。借助豆丁，你 可以为你的文档定价，并通过豆丁发表到不同博客、论坛、联盟中，进行广泛传播， 6 在分享的同时获得收入回报。 豆丁网（DocIn）是全球优秀的C2C文档销售与分享社区。 豆丁允许用户上传包括 .pdf, .doc, .ppt, .txt 在内的数十种格式的文档文件，并 以Flash Player的形式在网页中直接展示给读者。简而言之，豆丁就如同文档版的Youtube。现在每天都有数以万计的文档会上传到豆丁，正基于此，豆丁将致力构建全 球最大的中文图书馆。 豆丁努力使世界上任何人都能够自由地发挥他们的创造力。文档资料只通过少 数、单一的出版物来传播的时代已经结束。现在，互联网给文档资料提供了世界范围 内的传播渠道，豆丁希望能够给每个独立的文档持有者利用这个新机会的方法。现在， 我们为原创人群提供安全、自由、民主、便利的文档发布与营销平台。借助豆丁，你 可以为你的文档定价，并通过豆丁发表到不同博客、论坛、联盟中，进行广泛传播， 在分享的同时获得收入回报。 7