1、行列式
1.
行列式共有
个元素,展开后有
项,可分解为
行列式;
2. 代数余子式的性质:
①、
和
的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为
;
3. 代数余子式和余子式的关系:
4. 设
行列式
:
将
上、下翻转或左右翻转,所得行列式为
,则
;
将
顺时针或逆时针旋转
,所得行列式为
,则
;
将
主对角线翻转后(转置),所得行列式为
,则
;
将
主副角线翻转后,所得行列式为
,则
;
5. 行列式的重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
②、副对角行列式:副对角元素的乘积
;
③、上、下三角行列式(
):主对角元素的乘积;
④、
和
:副对角元素的乘积
;
⑤、拉普拉斯展开式:
、
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
6. 对于
阶行列式
,恒有:
,其中
为
阶主子式;
7. 证明
的方法:
①、
;
②、反证法;
③、构造齐次方程组
,证明其有非零解;
④、利用秩,证明
;
⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
8.
是
阶可逆矩阵:
(是非奇异矩阵);
(是满秩矩阵)
的行(列)向量组线性无关;
齐次方程组
有非零解;
,
总有唯一解;
与
等价;
可
示成若干个初等矩阵的乘积;
的特征值全不为0;
是正定矩阵;
的行(列)向量组是
的一组基;
是
中某两组基的过渡矩阵;
9. 对于
阶矩阵
:
无条件恒成立;
10.
11. 矩阵是
,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
12. 关于分块矩阵的重要结论,其中均
、
可逆:
若
,则:
Ⅰ、
;
Ⅱ、
;
②、
;(主对角分块)
③、
;(副对角分块)
④、
;(拉普拉斯)
⑤、
;(拉普拉斯)
3、矩阵的初等变换与线性方程组
13. 一个
矩阵
,总可经过初等变换化为
形,其标准形是唯一确定的:
;
等价类:所有与
等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵
、
,若
;
14. 行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
15. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
1、 若
,则
可逆,且
;
②、对矩阵
做初等行变化,当
变为
时,
就变成
,即:
;
③、求解线形方程组:对于
个未知数
个方程
,如果
,则
可逆,且
;
16. 初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
②、
,左乘矩阵
,
乘
的各行元素;右乘,
乘
的各列元素;
③、对调两行或两列,符号
,且
,例如:
;
④、倍乘某行或某列,符号
,且
,例如:
;
⑤、倍加某行或某列,符号
,且
,如:
;
17. 矩阵秩的基本性质:
①、
;
②、
;
③、若
,则
;
④、若
、
可逆,则
;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
⑤、
;(※)
⑥、
;(※)
⑦、
;(※)
⑧、如果
是
矩阵,
是
矩阵,且
,则:(※)
Ⅰ、
的列向量全部是齐次方程组
解(转置运算后的结论);
Ⅱ、
⑨、若
、
均为
阶方阵,则
;
18. 三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)
行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
②、型如
的矩阵:利用二项展开式;
二项展开式:
;
注:Ⅰ、
展开后有
项;
Ⅱ、
Ⅲ、组合的性质:
;
③、利用特征值和相似对角化:
19. 伴随矩阵:
①、伴随矩阵的秩:
;
②、伴随矩阵的特征值:
;
③、
、
20. 关于
矩阵秩的描述:
①、
,
中有
阶子式不为0,
阶子式全部为0;(两句话)
②、
,
中有
阶子式全部为0;
③、
,
中有
阶子式不为0;
21. 线性方程组:
,其中
为
矩阵,则:
①、
与方程的个数相同,即方程组
有
个方程;
②、
与方程组得未知数个数相同,方程组
为
元方程;
22. 线性方程组
的求解:
①、对增广矩阵
进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组的解;
③、特解:自由变量赋初值后求得;
23. 由
个未知数
个方程的方程组构成
元线性方程:
①、
;
②、
(向量方程,
为
矩阵,
个方程,
个未知数)
③、
(全部按列分块,其中
);
④、
(线性表出)
⑤、有解的充要条件:
(
为未知数的个数或维数)
4、向量组的线性相关性
24.
个
维列向量所组成的向量组
:
构成
矩阵
;
个
维行向量所组成的向量组
:
构成
矩阵
;
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
25. ①、向量组的线性相关、无关
有、无非零解;(齐次线性方程组)
②、向量的线性表出
是否有解;(线性方程组)
③、向量组的相互线性表示
是否有解;(矩阵方程)
26. 矩阵
与
行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组
和
同解;(
例14)
27.
;(
例15)
28.
维向量线性相关的几何意义:
①、
线性相关
;
②、
线性相关
坐标成比例或共线(平行);
③、
线性相关
共面;
29. 线性相关与无关的两套定理:
若
线性相关,则
必线性相关;
若
线性无关,则
必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)
若
维向量组
的每个向量上添上
个分量,构成
维向量组
:
若
线性无关,则
也线性无关;反之若
线性相关,则
也线性相关;(向量组的维数加加减减)
简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;
30. 向量组
(个数为
)能由向量组
(个数为
)线性表示,且
线性无关,则
(二版
定理7);
向量组
能由向量组
线性表示,则
;(
定理3)
向量组
能由向量组
线性表示
有解;
(
定理2)
向量组
能由向量组
等价
(
定理2推论)
31. 方阵
可逆
存在有限个初等矩阵
,使
;
①、矩阵行等价:
(左乘,
可逆)
与
同解
②、矩阵列等价:
(右乘,
可逆);
③、矩阵等价:
(
、
可逆);
32. 对于矩阵
与
:
①、若
与
行等价,则
与
的行秩相等;
②、若
与
行等价,则
与
同解,且
与
的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
④、矩阵
的行秩等于列秩;
33. 若
,则:
①、
的列向量组能由
的列向量组线性表示,
为系数矩阵;
②、
的行向量组能由
的行向量组线性表示,
为系数矩阵;(转置)
34. 齐次方程组
的解一定是
的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
①、
只有零解
只有零解;
②、
有非零解
一定存在非零解;
35. 设向量组
可由向量组
线性表示为:(
19结论)
(
)
其中
为
,且
线性无关,则
组线性无关
;(
与
的列向量组具有相同线性相关性)
(必要性:
;充分性:反证法)
注:当
时,
为方阵,可当作定理使用;
36. ①、对矩阵
,存在
,
、
的列向量线性无关;(
)
②、对矩阵
,存在
,
、
的行向量线性无关;
37.
线性相关
存在一组不全为0的数
,使得
成立;(定义)
有非零解,即
有非零解;
,系数矩阵的秩小于未知数的个数;
38. 设
的矩阵
的秩为
,则
元齐次线性方程组
的解集
的秩为:
;
39. 若
为
的一个解,
为
的一个基础解系,则
线性无关;(
题33结论)
5、相似矩阵和二次型
40. 正交矩阵
或
(定义),性质:
①、
的列向量都是单位向量,且两两正交,即
;
②、若
为正交矩阵,则
也为正交阵,且
;
③、若
、
正交阵,则
也是正交阵;
注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;
41. 施密特正交化:
;
;
42. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;
对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;
43. ①、
与
等价
经过初等变换得到
;
,
、
可逆;
,
、
同型;
②、
与
,其中可逆;
与
有相同的正、负惯性指数;
③、
与
相似
;
44. 相似一定合同、合同未必相似;
若
为正交矩阵,则
,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);
45.
为对称阵,则
为二次型矩阵;
46.
元二次型
为正定:
的正惯性指数为
;
与
合同,即存在可逆矩阵
,使
;
的所有特征值均为正数;
的各阶顺序主子式均大于0;
;(必要条件)