向量与三角形内心、外心、重心、垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系
一、四心的概念介绍、
,1,重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1, ,2,垂心——高线的交点:高线与对应边垂直,
,3,内心——角平分线的交点,内切圆的圆心,:角平分线上的任意点到角两边的距离相
等,
,4,外心——中垂线的交点,外接圆的圆心,:外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合
1.定理:如图,设OP,,,,OAOB,12
PBPA 则,且,=1=,=.,,,,1212ABAB
(记忆:交叉分配系数)
OAOB2.若M是OP上的任意一点,则OM=(),, (记忆:分母对应分配系数) APBP
应用1:
,1,中线: ,2,高线:
,3,角平分线: ,4,中垂线:
应用2.四线上的动点表示:
ABAC,(),,()ABAC,(1)中线上的动点: 或
||sin||sinABBACC
ABAC,(),(2)高线上的动点:,
ABBACCcoscos
ABAC,(),(3)角平分线上的动点:
ABAC
OBOCABAC,OP,()(4)中垂线上的动点: , ,,,2||cos||cosABBACC
三、四心与向量的结合
1.
定理:设是内任意一点,OABC,
0则SOASOBSOC,,,,,,BOCAOCAOB
,记忆:拉力平衡原则,
应用:
,1,是的重心.=1:1:1 ,,S:S:S,a:b:cO,ABCOAOBOC,,,0,BOC,AOC,AOB
S:S:S,tanA:tanB:tanC,BOC,AOC,AOB,ABCO为的垂心. ,2,,
tanAOA,tanBOB,tanCOC,0 , ,3,O为的内心. ,S:S:S,a:b:c,ABC=sin:sin:sinABC,BOC,AOC,AOB
aOA,bOB,cOC,0或sinAOA,sinBOB,sinCOC,0 ,,aOAbOBcOC,,,0
,ABCO,4,为的外心
S:S:S,sin,BOCsin:,AOCsin:,AOB,sin2A:sin2B:sin2C,BOC,AOC,AOB ,
sin2AOA,sin2BOB,sin2COC,0 ,
2.四心的向量表示:
1O,ABC,1,是的重心. , POPAPBPC,,,()3
,ABCO,2,为的垂心. ,OAOBOBOCOCOA,,,,,
,ABC,3,O为的内心.
ABACBCBACACBOAOBOC,,,,,,,,,()()()0 ,ABACBCBACACB
,ABCO,4,为的外心 ,OA,OB,OC
四,典型例题:
一、与三角形“四心”相关的向量问题
题1:已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
,,ABACOPOA,, . 则P点的轨迹一定通过?ABC的 ,,,,,,,[0,),,||||ABAC,,
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题2:已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
OPOAABAC,,,,(), . 则P点的轨迹一定通过?ABC的( ) ,,,,[0,)
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题3:已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
ABAC,, 则动点P的轨迹一定通过?ABC的 ,,,,[0,)OPOA,,,,()
||sin||sinABBACC
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
题4:已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
ABACOPOA,,,,(),, 则动点P的轨迹一定通过?,,,,[0,)
||cos||cosABBACC
ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
题5:已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
OBOCABAC,OP,(), , 则动点P的轨迹一定通,,,,[0,),,,2||cos||cosABBACC
过?ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
CBABCABA题6:三个不共线的向量满足=+) OAOBOC,,OA,,()OB,(||CB||||ABCA||BA
BCCA== 0,则O点是?ABC的( ) OC,,()
||||BCCA
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
题7:已知O是?ABC所在平面上的一点,若= 0, 则O点是?ABCOAOBOC,,的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
1POPAPBPC,,,()题8:已知O是?ABC所在平面上的一点,若(其中P为平3面上任意一点), 则O点是?ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题9:已知O是?ABC所在平面上的一点,若,则OOAOBOBOCOCOA,,,,,点是?ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
2222题10:已知O为?ABC所在平面内一点,满足= ||||||||OABCOBCA,,,
22,则O点是?ABC的( ) ||||OCAB,
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
()OAOBAB,,()OBOCBC,,题11:已知O是?ABC所在平面上的一点,若==
()OCOACA,,= 0,则O点是?ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题12:已知O是?ABC所在平面上的一点,若= 0,则O点是?aOAbOBcOC,,ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
aPAbPBcPC,,PO,题13:已知O是?ABC所在平面上的一点,若(其中P是abc,,?ABC所在平面内任意一点),则O点是?ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题14:?ABC的外接圆的圆心为O,两边上的高的交点为H,
mOAOBOC(),,=,则实数m =____________. OH
二、与三角形形状相关的向量问题
ABACAB与满足= 0且题15:已知非零向量AC(),,BC
||||ABACABAC1,,,则?ABC为( )
2||||ABAC
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
|||2|OBOCOBOCOA,,,,题16:已知O为?ABC所在平面内一点,满足,则
?ABC一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
||BAtBC,tR,||AC题17:已知?ABC,若对任意,?,则?ABC( )
A. 必为锐角三角形 B. 必为钝角三角形 C. 必为直角三角形 D. 答案不确定
:已知, b, c分别为?ABC中?A, ?B, ?C的对边,G为?ABC的重心,题18a
且= 0, 则?ABC为( ) aGAbGBcGC,,,,,
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 三、与三角形面积相关的向量问题
题19:已知点O是?ABC内一点,= 0, 则: OAOBOC,,23
(1) ?AOB与?AOC的面积之比为___________________, (2) ?ABC与?AOC的面积之比为___________________, (3) ?ABC与四边形ABOC的面积之比为_____________.
C 四、向量的基本关系(共线)
题20:如图,已知点G是?ABC的重心,
Q G PQ若过?ABC的重心,记= a, CAP
11A M B ,CQ= b, = ma , = nb , 则=_____. CBCPmn
O,ABCp练习(为平面上一定点,该平面上一动点满足
ACABsin)0}B,,,MPOPOAC,,,,{|(sin,,ABC,则的( )
ACAB
M 一定属于集合.
(A)重心 (B)垂心 (C)外心(D)内心