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[0,1]格上有限@-fuzzy双线性方程的解集

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[0,1]格上有限@-fuzzy双线性方程的解集[0,1]格上有限@-fuzzy双线性方程的解集 第25卷第6期 NO.6Vo1.25 内江师范学院 JOURNALOFNEIJIANGNORMALUNIVERSITY?13? [0,1]格上有限@一fuzzy双线性方程的解集 张琳,王学平 (1.四川现代职业学院,四川成都610213 2.四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066) 摘要:在[O,1]格上讨论了有限@一Fuzzy双线性方程,即A@X—B@x或^(nz)一 A(6口z),其中,iE{1, i—li一1 2,…,)的有解判别条件,解...
[0,1]格上有限@-fuzzy双线性方程的解集
[0,1]格上有限@-fuzzy双线性方程的解集 第25卷第6期 NO.6Vo1.25 内江师范学院 JOURNALOFNEIJIANGNORMALUNIVERSITY?13? [0,1]格上有限@一fuzzy双线性方程的解集 张琳,王学平 (1.四川现代职业学院,四川成都610213 2.四川师范大学与软件科学学院,四川成都610066) 摘要:在[O,1]格上讨论了有限@一Fuzzy双线性方程,即A@X—B@x或^(nz)一 A(6口z),其中,iE{1, i—li一1 2,…,)的有解判别条件,解集和结果集. 关键词:有限@一fuzzy;双线性方程;解集;结果集 中图分类号:O159文献标志码:A文章编号:1671—1785(2010)06—0013—04 客观世界的各种事物之间存在着不同的相互关 系,因此关系是一个普遍使用的重要概念.经典关系 只能说明元素之间关系的有无,但现实世界的关系 不是简单的有无,而是有不同程度的相似性质,反映 这种性质的关系就是Fuzzy关系.Fuzzy关系方程 是以关系为研究对象的一个数学分支.研究Fuzzy 关系方程的目的一方面是为了丰富布尔方程的理论 并推广布尔方程中有关的工作,如Lucel1关于布尔 方程求解的工作,另一方面主要集中在方程解集的 刻画和具有某些代数性质的解的确定课题上.本文 即是致力于方程解集刻画方面的工作. 1预备知识 定义1.1[2在[.,1]上,aab=1,a~b . 定义1.2]设A一(a)川为已知向量,x=== (1z)川为未知向量,a,z,b?Eo,1],为有限集合, 称A@x—b或^(口a)一b为一个有限@一fuzzy模 糊关系方程,其中@是inf—a合成. 定义1.3设 A一(a)?f,B一(6)?f 为已知向量,x一(?)川为未知向量,a,五,rEEo,11, === {1,2,…,"}为有限集合,称 A@X—B@X===r 或 nn ^(口)一^(6az)一r i一1i=1 为一个有限@一fuzzy双线性方程,其中@是inf—a合 成. 定义1.4[5]设为方程 A@X—B@X—r 的解,记 一 {X:A@X—B@X—r), 则称为 A@X—B@X—r 的解集. 定义1.5E记一{r:存在 X?,A@x—B@X—r}, 称为 A@X—B@X===r 的结果集. 定义1.6cS为一偏序集P的非空子集,若 不存在.32?S使得z>n,则称a为S的极大元. 定义1.7[7]如果 a?L,{z1i?}L, 其中是某个指标集,则 收稿日期:20100203 基金项目:四川省青年基金资助项目(NO.05ZQo26—003) 作者简介:张琳(1981一一),女,四川简阳人,四川现代职业学院助教,硕士研究生,研 究方向:模糊数学 ? 14?内江师范学院第25卷第6期 nd(^z)一^(aa:r). iEIiE1 定义1.8E.如果X,X2?)c,则X1?X?X2 蕴含着X?. 下面从最简单的情况开始讨论有限@一fuzzy双 线性方程. 2方程口==r的解 下面叙述过程中将用到以下符号: d—max{a,b},S—rain{a,b}, I-a)一{z.z?n},(n)一{z:<a}. 命题2.1方程naz一如z—r的解集为)U(), 结果集为(s)U{1). 证明由定义1.1知 f1,n?z 口az(I z,&>z 且 bo/x』,6, 【z,6> 则当?z一z一1时,z?n且?6,即?max{a,b}一 当z一一z时,<口且z<6,即<n{&,b)一s. 所以解集为[)U(s),且结果集为(s)U{1). ^^ 3有限双线性方程八(ni)=^【biax)=r f=1i盛l ()解集的一些性质 记d一max(口,b},S一min{a,b}. 设一(,z.,…,-z)为方程()的任意解,令 一 {zt:z?[z));一{.t?) x一:ztE(si)};《一{.z? 一.Edi));f3一zz? 的一 说明(1)z一z_..?一z一0是方程()个解,即;(?,且,,不能同时为. (2)对方程()的一个解x=(z,z,…,)来 说, ff+if+ff—n. (3)因为当a=b时,zEE0,1]都有口az一 biasc,则下面仅需讨论a?6的情况. 命题3.1当一时,方程()的解集为 {一(z,lzz,…,z):ViE,.27i?x1U}. 结果集为 一 (^S)U{1}. iE 证明当3一时()一[(.az)] ^[^(aaz)], ^(6az)一[^(6口z)]^[^(6皿z)]. t??《 当iE峨一b一1,当iE,口bi一 'z,所以 n ^(口口z):==[^(口z)]^[^(n口z)] t??《 :== [^(6az)]^[^(6艘z)] =^(6口z). i=I 即,当3一时 {x=(,卫z,…,z):ViEJ,z?U) 另外 是方程()的解集. ^(n口_z')一(^1)^(^z)一^(6口f)一^zf, ??《?《 结果集为 一(^S). iEixz 特别地,当;(一且一时,则 ViE1,az一biax一1, 结果集为一{1).所以当=j2『时,结果集为 一(^S)U{1). t?2 x 命题3.2当?且 ^(日.)?A(6口z) 《r 时,方程()有解的充要条件是:?且 ^z?^z. ?最 证明当?且 ^(口口z)?^(6z) e《《 时,方程()有解,则 等价于 ^(a皿z) : [^(ai~z)]^[^(口越z)]^[^(口zf)] ; : [^(6艘z)]^[^(6z)]^[^(6z)] E1t?"E x 3 一^(6az) i=1 z , 一Jj z a 八 2010年6月张琳,王学平:[O,1]格上有限@一fuzzy双线性方程的解集?15? 即?且八z?^z.另一方面,当?且 2?iE3 ^z?^.72时, Ez ^(口) [^(alax)]^[^(dz)]^[,(aiaz)] iE1iE x 2 z?吱 : [^(口口)]^[^(az)],^(blax) = [^(bi~x)]^[^(6z)]^[^(biffx)] ziE x 2iE3 = [^(biaz)]^[^(6_z)] ?z1? z 2 所以八(az)一^(6aIz),方程()有解.i=1i一1 命题3.3当?且 ^(0az)?^(6az) iE3iE3 时,方程()的解集是 tx一(z,zz,…,z):ViE,zEUU3 且至少存在一个zE使?^}. 证明由命题3.2可得证. 做集合 1==={iEs:a?z?6}, 2一{i?.:b?-z<a}, M1一{G11×2{nEmin(a^,a),(h,女)?G, max(a^,n^)]nEmin(b^,b),max(b^,b)]? 且n[(n,b)n(,a)]?)}. (ht)?G1 Mz一{G2I2×I1:MG{nEmin(a^,a), (h,)EG2 max(a^,a)]n[min(b^,b),max(b^,b)]? 且n[(6,口)n(口,6)]?)).(h,)?G2 G一{h:h?.,存在k?., 使得(^,忌)EGUG). 命题3.4当?且八(n)?^(bi~x) 时,方程()的结果集是一(^5). iE 的任意解x===《:z,-z.,…,Xn), 证明对方程() 由命题3.2得 所以r<^S.由解的任意性得(八S).另一 E x eiE 方面,VrE(^S),构造x一(z)如下:当i?G iEI2 时,z?[rVS,d1);当i?G,时,五一r.ViE,S?, r<c,则rVsi<,因此[rVS,d)?,则 八(naIz)一[八(口alz)]^[^(naz)]一 z=1,l" 八(以)^,.一r.^(6z)一 iE"I一1 [/\. (6口)]八[八(6口z)]一^(6口z)^r—r, l?_GiiE 即,八(ndz)一八(6dz)一r,那么X一(z)是方 程()的解. 命题3.5当?,方程^(n)一^(biax) 砭 有解的充要条件是MUM2?. 证明乍若方程有解,则一定存在h,走E. (其中h?尼),使^(naz)一n^a^一z^一z一 iE3 bka~:^一八(6az),故6^?<a^,hE2;a?z< ? bk,l?.因此[,a]n[,]?且一E Emin(a^,),Inax(,a)]n[rrfin(,),inax (,)],令G一((是,)},显然G?M,即MUM ?. 若M1UM?,存在G?MU,取.? Mc,构造X一(z,,…,)如下:ViE工s,当iE G时,一z.;当iG时,E[z.VS,d).由G的 构造和中元素的性质可知,z.VS<,则 八(口)一[^(n)]^[^(口口)] iE x 3? 一^(口), z?G 同理 ^(6)一^(6a), iEz:? 因为G?,故存在(,是)?G1,使.?Emin(a,a), max(n^,a)]n[min(bh,b),max(bh,bk)]且o?[?^, ]n[,a],故bh>口,>,如果a<,那么 >,贝0bhaxo==zo,"口zo==o,故 八(口)一^(6z)一z0, 2E ,x 3E3 所以方程八(adz)一八(6a)有解. iE ,x 3E3 下面构造一(.,地,…,)如下:当iEG 时,c一z.;当iG时,地?[z.VS,d),其中 CCo?Mc,U. 命题3.6当x?时,方程. 八(&az)一八(6dz) E3?吱 的解集是UX.. r — 2X八 一 ,, 6 /\ "八 一 ) z 以 ,\ "八= 内江师范学院第25卷第6期 证明由命题3.5可得证. 命题3.7当 3?, ^(口az)一八(6d) 'C-3 x iC-s x 时,方程()的解集是{x一(,.,…,z):Vi?, Xi?uuc}. 证明由命题3.6可得证. 参考文献: EI-ILuceRD.AmoteonBooleanmatrixtheory[J].ProcA— marMathSoc,1952,3:382—388. [2]DiNolaA,SessaS,Peary=w,etal,FuzzyRelationEquations andTheirApplicationstoKnowledgeEngineering[-M]. KluwerAcademicPublishers,Dordrecht,Boston/Iond on,1989. [3]熊清泉.[O,1]格上无限Fuzzy关系方程A?x=b的解集 [J].四川师范大学:自然科学版,2002,16:218-221. 14]余步雷,王学平.[O,1]格上无限双线性方程的一些性 质及其解集[J].四川师范大学:自然科学版, 2005,28(2):154-157. [5]TANGHucheng.Fuzzybilinearequations[J].Fuzzy SetsandSystems,1989,28:217-226. 16]CrawleyP,DilworthRP.AlgebriacTheoryofLattices [M].Prentice-Hall,EnglewoodCliffs,NJ,1973. r7]ZHA0Cui—Kui.Onmatrixequationsinaclassof completeandcompletelydistributivelattices[J].Fuzzy SetsandSystems,1987,22:303—320. [8]LIYu—mei,WANGXue-ping.Thesolutionsetsof @一fuzzyrelationalequationi.nfinitedomainsandona completeBrouwerianlattice[J].IndiaJ.pureapp1. Math,2003,34:1249一l257. 19]张琳,王学平.模糊关系R的分解[J].四J1I师范大 学:自然科学版,2007,30(2):151—153. TheSolutionSetsoftheFinite@一fuzzyBilinearEquationson[0,1] ZHANGLin.WANGXue-ping (DepartmentofFundamentalEducation,SichuanModernVocationalCollege,Chengdu,Siehuan610213,China; 2.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity, Chengdu,Sichuan610066,China) Abstract:Thefinite@一 fuzzyhilinearequationsaresubjectedtoexaminationon[o,1].Thatistosay,whenA@X=B @XorA(n口)一A(6J)一 r,iE{1,2,…,},thejudgingcriterionfortheexistenceofsolution,thesolutionsetsandthe i—li1 resultsetsareallworkedoutfor@一fuzzybilinearequations. Keywords:finite@一fuzzy;bilinearequations;thesolutionsets;theresultsets (责任编辑:胡蓉)
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