【精品】[1]质量分别为2

【精品】[1]质量分别为2 第六章:中心力场 ,,[1]质量分别为 m,m的两个粒子组成的体系，质心座标标为: rR及相对座21 ,,,mr，mr1122R= (1) m，m12 ,,,r (2) r,r,r21 ,,,,,,,,RL,l，l试求总动量及总角动量在, 象中的 P,p，pr1212 算符表示。 ,,,,,1. [解] (a)合动量算符。根据假设可以解出， P,p，prr1212 ,m,,2令 : (,) r,R,rm,m，m112m1 ,m,,1r,R，r (,) 2m2 ,,r(x,y,z)设各个矢量的分量是，r(xy,z), 111122,22 ,,r(x,y,z)和。为了计算动量的变换式先求对， R(X,Y,Z)x1等的偏导数: x2 m,,X,,x,,,1,，,, (5) ,x,x,X,x,xm,X,x111 m,,X,,x,,,2,，,， (6) ,x,x,X,x,xm,X,x222 ,,,,关于，，， 可以写出与(5)(6)类似的式子，因而: ,z,y,y,z2121 ^^^^^,,,,,P,p，p,p，p,，()() 12xx12xxi,x,x12mm,,,,,,,12(,，，), = im,X,xm,X,xi,X ,,^,,,,,,,,, P,i，j，k,,R i,Xi,Yi,Zi ^^^,,,,,,(b)总角动量 L,l，l,(r，,，r，,)121122i ^,,,, L,(r，,，r，,)x1122xi ,,,,,=y,z，y,z ()()1122i,zi,z,y122 利用(3)，(4)，(5)，(6): ^mm,,,21L,Y,y, {()()ximm,Z,z mm,,21,Z,z,()() mm,Y,y mm,,12，Y，y， ()()mm,Z,z mm,,12,Z，z，()()} mm,Y,y m,,,,,1Y,Z,Y,Z{()()= im,Z,Y,z,y mmm,,,,122,y,z，y,z()() m,Z,Ym,z,y m,,,,2，Y,Z，Y,Z()() m,Z,Y,z,y mmm,,,,122，(y,z)，(y,z)} m,Z,Ym,z,y2 ,,,,,{(Y,Z)，(y,z)}= i,Z,Y,z,y ,,,,= (R，,，r，,)Rrxii ^,,,,,因而 L,R，,，r，, Rrii 11,1,22[2]证明 ， [,,r],，[,,r],,2r,r2 122 (证明)第一式 (,r,r,),2 2221,,,222= (，，)(x，y，z,)2222,x,y,z 222,,,,,,1222 ,x，y，z，，()2222,x,y,z,x,,,222222 但x，y，z,，x，y，z (),222,x,xx，y，z2,,x,222(x，y，z),( ,2222,x,xx，y，z ,,222x，y，z + ),x ,,2222(x，y，z)(x，),x,,,x= 22232(x，y，z) ,,x2,,222,x + ，x，y，z222322(x，y，z),x 22,,,222222x，y，z,x，y，z即 ,22,x,x ,,,2x，2x,,x, = 22232222(x，y，z)x，y，z 同样写出关于y,z的式子，相加得: ,,,,,,2x，2y，2z11,x,y,z22(,r,r,),{, 22222x，y，z ,3,, + }222x，y，z xyz,,,,,,,，，，= rxryrzr,,, ,1= (，),,rr 因是任意函数，因而第一式得证。 , 第二式的证明:该式是矢量的恒等式，取等式左方一式的x分量 ,2,并蒋它运算于任何函数，要注意 标量算符而 是矢量算符: r, 11,222 [,,r],,(,x,,x,,)x22 2221,,,= {(，，)(x,)2222,x,y,z 222,,,,,,} ,x，，()222,x,y,z 222,,,,1,,,,= x，，x，x(2)222,x2,x,y,z 222,,,,,,,, ,x,x,x},222,x,x,y,z 因此在出写出关于y,z的式子后有 ,,,1,,,,2[,,r],i，j，k,, 2,x,y,z V(r)[3]中心力场中的经典粒子的哈密顿量是 22lpr H,，，V(r)2m2mr ^1,,其中。当过渡到量子力学时，要换为 prpp,,rrr ^111,1,,,,prppri ,[,，,],,,(，)rrrrr2, ^,1,,问是否厄米算符,是否厄米算符。 ,,i,r,ppr,rr (解)对第一个算符取厄米共轭算符，加以变换，看其是否与原 算符相等，为此利用乘积的厄米算符公式 ^^^^^^，，，，ABC ()= CBA ^1,,若,则 prp,,rr ^^^^11,,,,，，，，， prppr ,(,,),,,()rrr ^1,,因为,,等自身是厄米的,因而有 rpr ^^^1,,ppr (),,rr ^^^，要看出,的关系将作用于任意函数: ,ppprrr ^^1111,,prpxpypz ,,,,，,，,()xyzrrrr ,,x,y,z，，{()()()},,, = i,xr,yr,zr ,1,,,2,,,,{(x，y，z)，} = ir,x,y,zr ,,^^12r,p，(), = rr ^^^^^2,，，即 pp，因而不是厄米算符。因为p,p ,，prrrrr ^^，利用以上结果，或者直接对取厄米共轭式，都证明 p,pprrr ^ 因此可认为是厄米的，证明在后面，但是关于这问题学术上有争论， pr 因为它还需要满足另一些条件(Liboff)。 CfRLLiboff: American Journal of Physics 976(1973) ,,,, ^^^^^111,,,,，，prppr (),[,，,]rrr2 ^^^^^^111,,,,，，，，，，(p,r,()，()rp = 2rr ^^^^^111,,,,, = [p,r，r,p],pr2rr CfAMessian:Quantum Mecnanics P346(1961) ,,,, [4]经典力学中 ,,,,,,22222 l,(r，p),r,p,(r,p) 在量子力学中此式是否成立,在什么条件下此式成立, ^^^^^^,,,,,,2 (解) (r，p),(r，p),(r，p) ^^^^^^^^ = (yp,zp)(yp,zp)xyxy ^^^^^^^^ + (zp,xp)(zp,xp)xxxx ^^^^^^^^ (xp,yp)(xy,yp) + yxyx ^^^^^^^^^^^^2222(yp,ypzp,zpyp，zp) = xyxyyz ^^^^^^^^^^^^2222 + (zp,zpxp,xpzp，xp)xzxzzx ^^^^^^^^^^^^2222(xp,xpyp,ypxp，yp) + yxyzxy ^^^^^^^^^^^^222222222222(yp，zp，zp，xp，xp，yp) = xyxzyx ^^^^^^^,, ,y(zp，)p,z(yp，)pxyyxii ~206~ 物83—309蒋 ^^^^^^^^,, ,z(xp，)p,x(yp，)pxzyxii ^^^^^^^^,, ,y(xp，)p,x(yp，)pxyyyii 最后一式加上下述这个等于零的式子: ^^^^^^^^^^^22222222222xp，yp，z,xp,yp,zp xyxyz ^^^^^^^^,,,,,,,,2222得: (r，p),(r)(p),(r,p)，2,ir,p ,因此经典角动量平方公式与量子力学的不相同，只有=0才相同。 [5]求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结 22xp果，计算。用x表象中的氢原子波函数计算,并验证测不准关 x 系式。 (解)本题是三维问题，氢原子基态波函数用座标表象时写作: r1,a,,, (1) (r,,),e32,a 2,但是玻尔半径，将(1)代入三维的座标，动量波函数变换式， a,2,e 此式是: ^,,1,,,ip,rh3,(p),,(r)edx (2) 3,,,2(2),,, ,p为使计算简单，可选择z轴与动量的瞬时方向重合，这样 ,,p,r,prcos, ~207 ,(r)将(2)中的用(1)式代入，进行积分，积分的次序是,，，r: , r,iprcos,,1,a,()p,e 3,,,22,(2,)ar,, 2 rsin,drd,d, ,rcosipr,,1,2a = (esin,d,)rdr3,,2,(2a),,r riprripr,，,,1,,,,aa(e,e)rdr =3 0,2ipr,(2a),r riprripr,，,,1,,,aa = (e,e)rdr3,2ip,(2a), ,111,, = {}32ripripip22,,a(2),,,,()()a,a, 32(2a,), = (3) 2222,(ap，,) 其次为了验证氢原子的测不准关系，需要计算座标动量的平均值，计 ,,(r)算与座标有关的平均值时，用为波函数，反之计算动量平 ,,(p)均值时，可用动量波函数:测不准关系的验证，是通过一个指 定方向(如x轴)的分量间关系: r2,21,2a, x,rxdr,e (),,,,,,2,ar,,, 2 (rsin,cos,),rsin,drd,d,,0 ~208~ 物83 –309蒋 21,222, xrxdr ,,()2,,,,,,,a,r,, 2r,2222aersin,cos,r,sin,drd,d, r2,,2,1432aerdrsin,d,cos,d, = ,,,2r,,,000,,a, 2r,,,1sin334aerdr,(，sin,)d, = 3,,r,0,0,44a, 2,11 ，(，cos2)d,,,,0,22 14!82 = (4) ,,,,,a326a,5()a 在计算动量有关平均值时，可采用动量相空间的球面极座标参考系， lll设动量相空间直角坐标为，，则球面极座标用表 pr,,,,ppyxz l示， r,p llll p,psin,sin, p,psin,cos,yx l p,pcos,z 352(2a),l,,, p(p)pr xx2,,,, pll2lll ，sin,cos,,psin,dpd,d,,,,222,(ap，),lll,,r 353,(2a),pdp = 22224,r0,,(ap，,) 2,,2ll，sin,d,cos,d, (5) ll,,,0,, ~209~ 2223lp,,(p)pdr xx,,, 354,(2a),pdp = 22224,r0,,(ap，,) ll,2,32ll (6) ，sin,d,cos,d,,,,,00,, ap,,tg,与p有关的积分可用替代入(6)式的第一道积分，得: 4,,,pdp1242 ,sincos,d,222453,,0,,0(ap，,)a, 2,,,1cos2cos6 = (1,,cos4,，)d,53,,0,2216a, ,1 = 代入(6)得: 5364a, 35,,18,12lllp,,,(3sin,,sin3,)d, x532,,0,644a,, 2,1ll ，(1,cos2,)d,l,,0,2 ,221,,ll = 3coscos3,,,,,，,,22332a3a,0 代入测不准关系式: 2222 ,x,,p,x,(x),p,(p)xxx ,,,,a,,, 23a3 [6]在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动 量的各个分量均为守恒量。 2e(),,Vr(解)(一)建立动量表象的能量本征方程式，势能 r为此先写下座标表象的薛氏方程式(直角坐标还是球面极座标不分): 22,e,,,2,,,(r),,(r),E,(r) 2r, ,,1,ip,r,e遍乘，并对座标积分: 32(2,,) 2,,1,,,ip,r,23 (,)e,,(r)dx3,,,22,(2),,, ,,11,,ip,r,3,e,(r)dx 3,,,2r(2),,, ,,E,,ip,r,3,e,(r)dx (1) 3,,,2(2),,, ,,(r)等号左方第一积分用二次分部积分中的加以下述 福里哀变换，就得到动量表象的能量本征方程: ,,1,,ip,r,3l (2) ,(r),e,(p)dp3,,,2(2),,p 2,p,,,ll3l得: (3) ,(p)，G(p,p,)(p)dp,E,(p),,,2,p 2,,,le,,,1li(p,p),r,3式中 (4) Gppedx(,),,,,2,,r(2), ,,l(二)核的计算: G(p,p) 2e, 先作(4)式类似的计算，假设是个座标表象的波函数，它的 r ~211~ ,G(p) 相应的动量表象函数是，则正逆两种变换是: 2,,e,,1ip,r,3 (5) Gpedx(),,,,2,,r(2), 2,,e1,ipr3,, ,,G(p)edp (6) 3,,,2r,(2),p 将拉普拉斯算符 222,,,2 ,,，，222,x,y,z作用于两边，得: 11,2,,4e(r),(,)G(p) 2,,,,(2),,p ,,ip,r,2 (7) e,pdp3 根据(7)式写出它的逆变换式，并且与(5)式对比，有: 2,,p1,2,ip,r,3 ,c,4,e,(r)edx3,,,22,(2),,, 22e = 3,, 2,1,2 (8) G(p),,e2,p ,,,,,,ll将(4)(5)二式比较知道只需在G(p)中作置换， G(p,p)p,p,p 1再乘 32(2,,) 2,e1,,l (9) Gpp,(,)22l,2,p,p 因此我们最后得到动量表象的三维能量本征方程式，专用于库仑场。 22pe,,l3 ，,(p),(p)dp,,,2,,l22,p,2,pp, ,E,(p) = (10) (三)动量表象中，角动量分量守恒的证明。 有两面种方法，或用直角坐标表示角动量算符，或用球面极座标表 , 示，用前者较为简单，要证明角动量分量(例如)是守恒量，其必 lx ˆH要条件是它可以和哈密顿算符对易，即: ˆˆ,,L,H,0 (11) x 这里，用动量表象书写时，可以用直角坐标表标表象的式子加以适宜 的置换来得到这种置换是: ,,,y,,iz,,ix,,i ,p,p,pyxz因而得到 ,,ˆ,i(p,p)l, (12) zyx,p,pyz ˆˆll至于，的动量表象依类似方法。(10)式中的哈氏算符可从(10)看 yz 出: l223ˆpedp3ˆ (13) ,,，，Hdp,,,22,,l2,2,,p,pp ,,l,(p)右方第二项是“积分算符”，当它运算于时，就相当于将 ,(p) ˆˆ,,LH,填入括号( )。设想对易算符作用在一个任意的动量表象的 x ,l波函数上面: ,(p) ,ˆˆ (14) I[l,H](p),,x 假使能证明I=0，则因为,(p)任意，我们便证明了(11)，将(13) 代入(14) l223ˆpedpˆˆˆˆˆ I,lH,,Hl,,l,,,{}xxx22,,,,,l,2,,2pp,p 22ˆ,ˆlpe3lxˆ,,,{ldp} x,,,22l,,,22,pp 122ˆˆˆˆ{lp,,pl,}= xx,2 2ˆ,l,e3l3lxˆ ,,{ldpdp}x,,,,,,222,,,,ll,,2,,pppp (15) 分别计算动能与势能这两部分的对易算符,先计算动能部分的: 122ˆˆˆˆ{lp,,pl,} xx,2 ,i,,222ˆˆˆ{(p，p)(p，p，p), = zyxyz,2,p,pyz ,,222ˆˆˆˆˆ,(p，p，p)(p,p),} xyzzy,p,pyz ,i,223ˆˆˆˆˆ{(pp，pp，p),= zxzyz,2,py ,232ˆˆˆˆˆ,(pp，p，pp), yxyyz,pz ~214~ 物83—309蒋 ,,,,222222ˆˆˆˆˆˆˆ()()},p，p，pp，p，p，pp xyzzxyzy,p,pyz ,i,,222ˆˆˆ{p(p，p，p)= zxyz2,,py ,,222ˆˆˆˆˆˆ + 2pp,,p(p，p，p)zyyxyz,pz ,,222ˆˆˆˆ,(p，p，p)p xyzz,py ,,222ˆˆˆˆˆˆ (16) ,2pp,，(p，p，p)p},0yzxyzy2,p 这证明了动能部份，是和角动量分量相能相对易的。 其次计算(15)式中与势能有关部分的对易式，即(15)式第二个 大括号内一式，能够证明，括号内两项相抵消，为此从第二项开始 变形: l3dp1l3ˆˆ ,,,,,(l))l()dpxx,,,,,,22llll,,pppppp 1l3 ,(l),dpx,,,2llp,pp ,,1ll3l = ,i(p,p)(,,)dpzy,,,ll2,,l,p,pyzp,p ,,1ll3l ,,[i(p,p)],dpzy,,,ll2,,l,p,pyzp,p llllp,(p,p,p),zxyzlllidpdpdp, = xyz222llll,,,,p(p,p)，(p,p)，(p,p)yxxyyzzpppxyz ~215~ llll,()pppp,yxyzlll,,idpdpdp xyz222,,,lll,p(,)，(,)，(,)ppppppzxxyyzzpppxyz ,1llll dp,dp,dp,,ip[xyzz2l,,,,,l,pyp,p ,1llll,p],dpdpdp (17) yxyz2l,,l,pp,pz 前一式的第一二个积分分别为对分动量和进行积分后，分别代入 ppyz积分限，，如果是个三维 p(,,,,),(ppp)p(,,,,)yxyzz 的平方可积函数，即当时，则在代入分限 p,p,p,,,,,0xyz 后被积函数也趋于零，只剩下三个积分: l3dpˆ l,,()x2,,,llp,pp llllp(p,p),p(p,p)zyyyzzlll3l = ,,i,2,,(ppp)dpxyz,,,4llp,pp llllllpp,pp,pp,pp)zyzyyzyzlll3l = 2,i,(ppp)dpxyz,,,4llp,pp llpp,pp,pp，pp)zyzyyzyzlll3l = 2,i,(ppp)dpxyz,,,4lp,p ll,p(p,p)，p(p,p)yzzzyylll3l = 2,i,(ppp)dpxyz,,,4llp,pp ,,1lll3l,i(p,p),(ppp)dp= yzxyz,,,2l,p,plzyp,pp ~216~ 物83—309蒋 ,,1lll3l = ,i(p,p),(ppp)dpyzxyz,,,2,,l,p,plzyp,pp 13lˆ= (18) l,dpx,,,2,,llp,pp (18)式最前一式和最一式的关系相当于(15)式第二部分为零。 ,ˆˆI,[l,H],(p),0 x ˆˆˆ,(p)l因为是任意函数，因而[l,H],0说明是守恒量。同理 xx ˆˆl可以证明，在动量表象的有心力问题中也是守恒的。 lyz [7]设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区(E—V =T〈0 〉的几率。 (解)在经典力学中，当总能量一定时，轨道半径受到限制， r设玻耳半径a，则总能量 e2 E,, 2a 2e,粒子的势能则随着到核的距离r而变，表示作，动能是一者的 r差数:(从理论上讲，距离r可以扩展到无限远处。) 22eeT(r),,， (1) 2ar 使T(r)>0,r<2a,在量子力学中，电子可以在离核任何距 离r处出现，它在经典力学中不允许范围中出现的几率是: 2,,,2,,,d, ,,,00r0,,,,, 2r2,,,12a(erdr)sin,d,d, = 3,,,a,,0,0,0r,, 2 r,,24aerdr3 = ,,a2 r,a 2r2r2r,,,44a22aaa = erdr,(,)erd(e)33,,2aar2ar2a,, ,2r2r,,22aa,re，2redr = 2,2aa8a 2r2r,,,4e2,4aae，,re，edr8() = 2,,2a2aa2a ,4,4 = (8，2，1)e,13e T,,EV,2EE,T,V[8]证明，对于库仑场，(是 总能量) 1(证明)对于库仑场中的束缚电子，在基态以外的情形的计 r算比较专门。(参看Landau-Lifsshitz Quantum Mechauics 1958Appendicos&f) , 它的公式是: Z1 (Z原子序，a波尔半径，n主量子数)。 (),2rna 先计算(n,T.m)在任意的势能平均值。 2*ZeV,,(,),d, nlmnlm,,,r *12 = ,Ze,(,),d,nlmnlm,,,r ____221Ze2,Ze(,) == 2rna 又因为类氢原子的能级是: 2422ZeZe,E,,,,, n2222,n2na V,2E因而 总能量E，动能T，势能V的关系是: E=T+V E,E,T，V取平均值 n 222222ZeZeZeT,E,V,,，, n2222nana2na T,,E (9)对于氢原子的，计算 22,,，r,r[R()r]dr,,,1,,2 nl, (解)第一法:本题公式是由氢原子的正交归一化波函数 ,(r,,,,),R(r)Y(,,,)nlmnllm ,r来计算的平均值的公式 简化而成，但假定 R(r),Y(,,,)nllm ~219~。 已归一化。Kramers导得有关，，，三者的递推式如下:,1,2,,,rrr 2,,，12l2 (1) ,(2,，1)，[(2，1),,],022,,2rarnar,14,, 它的证明根据有关r的微分方程式[从略]，在运用此式时，可先令=1代入(1)式得: ,22ralla (2) ,3，(，1),020,3nrr 2式中是与电子势能平均值成正比的[仅相差系数e ,2r 2e22v,R(r)[,].rdr r,r 根据维里定理，在库仑场情形 1 T,,V2 和能量世关系式:En= T，V 22eeVEn,2,2,(,),, 22nana2 1 (3) ,,2,1nar 又径波函数归一化条件相当于的情形，因而 0r (4) ,10r (3)和(4)代入(2)，得: ll1(1)，22nnaralla {3(1)2}{3},，，,,，2222nan 将=2代入(1): , 23a22r,5a，(4l，4l,3),020 (5) r2nr 将和=1代(5)得: 0rr 1ll，，(1)2na42,，,{23[1]}222rn (6) 的表示式不能由(1)求得，用直接积分可有: ,2r 1 ,21r23an(l，)2(C.f.A.Messiah:Quantum Mechanics Vol I.p.431.Ex.1.) 第二法:利用Laguerre函数，氢原子的径向波函数可表示为: E Rnl(r),Nnl,,???2 2r 但ξ, (7) na ,,,,(ξ)是自变量ξ的缔合(或名连带)Laguerre函数，它的定义是: hkhddk,E L,(),{e,(,e)},F(h,k,h，1,,)khhdd,, 2l，1波函数(7)中的(ξ)满足以下微分方程式。(课本ξ6.3式17，217) Ln，1 22dLdLl,, ，[2，2,],[l，1,n]L,02,,dd 题给的的公式，可以通过式(7)转变为ξ的积分如下: r, 22l，1nae,E,2l，2，2 ,N(,)，3,,{L(,)}d,E,0,nll，nr2, 4(n,l,1)12,,但 N43nln[(n，l)1a] E.schrodinger导得了一个和前式相似的积分求值式，使用它可以解决所需的平均值。此式是: ph1kk11,pe,E()d,(,1)，k!k!(p,h)!,,,11IL,hhkkh1 , (p，8)!，,111(k,h,8)!(p,k，8)!(k,h,8)!(p,k，8)!s,0s! 8的取值应使各阶乘数是正的，在此式中令 11ll,h,h,2，1,k,k,n，1,p,2，2，.,:得 n,1,1 (9) ,(2l，2，，8)22,l，，,,[(n，l)!]2(，1)!，,I222???1l，n，s![(n,l,1,8)][(l,n，,，2，8)!]81, 从此式看出，8的取值应满足: ?8? n,l,1n,l,,,2 n,l,1,n,l,2,n,l,3例如当λ=1时，可取决8=三个值所相当的三项，当λ=1时，取8=的一项，详细的计算从略。 n,l,1 C.f.Mott.Sneddon:Wave Mechanics and its Applica tions.p.380-381。 # +-[10]根据氢原子光谱理论，讨论(1)“电子偶素”(指e—e的束缚态)的能级。(2) +-μ介原子的能谱。(3)μ介子素(指μ-e束缚态)的能谱。 [解] (1) 电子偶素(氩positronium)指低温时超导现象中的导电媒介，即正负电子对，按类氢原子理论，氢的能级是由折合质量计算的，在正常氢原子情形，设质子质量m，则折合质量μ mMμ, m，M 但 22,,m,0.51me/c,M,938.3me/c 2,,e,eE,,,(n,1,2,3,) ？ n222a2n, ,,0.9995m 在电子偶素情形，可用正电子代替氢核的质子，折合质量 142mm,e1,,(n,1,2,3？),= ,E22n2m,m2,n 11,0.5En ,,0.5m,0.5,En -(2) μ介原于是被氢核荐的μ介子构成的原子，这种原子的折合质量是 ,mM2,, ,,但m,105.7me,/c,m，M, n,,,,0.9m ,,207,, 4,,e,(介原子能级),,,，207E ,,,nE22n,2n +-(3) μ介子素是正电μ介子与电子结合成的体系(μ—e束缚态)，折合质量: nm,mm,,,,,,,,0.995m m1m，m,1，1，m207, ,,,,E()介于素能级 4 ,,,e,,,,0.995En222hn 基特尔等著:力学(伯克利物理学教程第一卷)中译本，第九章，ρ.396—397.科学 出版社(1979) # (11)在Y态下，求τ=, 怎样解释, 11x ˆ(答)当体系处在用Y(θ,Ψ)所表示的状态下时，对角动量l进行测量时，所计11x , l算得到的平均值即。 x ,ˆl前在第四章习题(16)中证明过:在l的本征态下=0 xx 下面给出一个直接用波函数来计算的解释: ,,2ll我们知道(ξ4.3.P.128)球谐函数是的共同本征态，因而也Y(,,,)Y(,,,)81111 ,,2ˆlll是共同本征态，在此态中没有确定值，因为=1，所以m取1，0，-1三种值，lxx ˆ,,0,,,l测时，各以一定几率而得到三种值。 x ˆˆll不是的本征态，但是依叠加原理，这种态可以认为是的本征态的线性Y(,,,)xx11 ,,2ˆˆlll叠加式。和l一样当=1时，有三种不同的本征态，它们是()的共同本lxx8 征态，可以用球谐函数表示为示为: :,,,,Y(,,,)， (,,,)Y1110 ,, (,,,)Y11 是用,,,轴代替,,,轴时，所对应的极角和方位角。参看附图。 ,,,,, ˆ,,,,l使用(,,,)座标系时，的本征态用，，表示，Y(,,,)(,,,)(,,,)YYx101111它们的函数形式可用缔合勒让德函数表示 3Y11,(,,),sm,ei, 8, 3x，iy, (1) 8,r 33z,,,y(,),,, (2) 104,4,r 33xiy,,i,,,,y1(,)slne,,, (3) 18,8,r 111现在若改用(x,y,z)参考系，座标之间就有了轮换的变化 111 x,z,y,x,z,y ,,2,,ll因此用后一座标系时()表象中不是本征矢，而是的叠加Y(,,,)(,,,)Yx1011 式;设 13x，iy,,,,y(,), 118,r 13z,,,,,y(,) 104,r 113x，iy,,,,y,1(,), 18,r ,,,,,,l,ly(,),y11(,);表象中不是本征矢而是的叠加式设211x在 y,(,,),cy,(,,)，cy(,,,)，cy,1(,,,)1111121031, 1,33x，iyz，ix,,即 8,8,,rr 11,,,x，iyzx,iy3,{c，2c，c} (4) 122,rrr8 后二式比较系数，得 (5) 1,2ci,c，c0,c,c21212 1ic,即 ,,cca1a22 2ˆˆY用(ll)本征态表示的叠加式最后得到所述态: 11x i1i,,,,,,(,)(,)(,)1(,)Y,,,Y,,，Y,,，Y,,, 1111101222 2,,,的几率是,0,ˆˆll002,ii1c,,()();1224 ˆ因此在Y态(习惯上 指共同本征矢)中，测量l得到实测值 1112xc,;22 2ii1c,,,()()3224ˆ在Y态中平均值 l11x 222 lx,c,，c,0,c(,,),0123 ˆ又几率分布也可用矩阵法求解，见下题。因此，可以有两种求法。 llxx ˆˆˆ(12)在(ll)表象中，的子空间是几维,求l在此子空间的矩阵表示式，再利用l,12xx ˆl矩阵形式求出本征值及征矢。 x (解)采用角动量表象时，态用希尔柏特空间的多维矢量表示，按一般定义，角动量表象的希氏空间的基矢空间的基矢代不无得并的本征态，无简并的本征态用座标表象时为波函数Ym(,),l(t,0,1,2,3,,),m(m,,,,2,,1,0,1,2,,)因为取值？取值？？故空间的维数,, 2(),,l,1,m,1,0,,1,不同本征矢数是但对的那分空间来说因所以仅有三个无得并态用座标表象是Y,Y,Y,故子空间是3维的..1111m, ˆˆˆˆ,(l,l),,(l,l)其次用角动量表象来解本征值和本征矢按一般理论理用矩阵法在22xx c，，1,,ˆˆˆˆ(l,l)lc,l表象中表象中的本征矢当然不是基矢可用单列矩阵表作的矩阵的算22xxx,, ,,c8，，法是用一般定义 1ˆ,(lx),YlYd,,,lmllm,(1)lmxlmx,,, ˆˆˆl,l，il后一表示法用狄拉克符号，矩阵元的计算利用角动量理论的方法，令 ，xyˆˆˆˆl,l,l,il， ,xxy 11ˆˆˆˆˆˆ[反变换 ] l,(l，l)l,(l,l)x，,y，,22i 能证明人 ， 有以下运算法则: ˆˆll，,ˆl，l,m,,(l,m)(l，m，1),l,m，1, (2) ˆ (3) ll,m,,(l，m)(l,m，1),l,m,1, ˆˆl根据前述的反变换式，只需将前两个运算式相加、相减，并除以2，便得到和运算法则: lyx 1ˆll,m,,(l,m)(l，m，1),l,m，1,，(l，m)(l,m，1),l,m，1 (4) x2 1ˆll,m,,{(l,m)(l，m，1),l,m，1,,(l，m)(l,m，1),l,m,1y2i 2ˆˆl,l利用这二公式，以及()空间的基矢l,m,的正交归一关系: x ,,,, (6) l,mlm,,,,,,11mm ˆ可求得l算符的3×3矩阵如下，其中,指示m的排列凡自左向右，自上到下都是按照l,1x 递减的顺序。 ˆˆˆ，，,1,11,1,,1,11,0,,1,11,,1,lllxxx,,,,ˆˆˆ(),,1,01,1,,1,01,0,,1,01,,1,llll xxxx,,,,ˆˆˆlll,1,,11,1,,1,,11,0,,1,,11,,1,,,xxx，，,，，0？？0,,2,, ,,,,,？0？ (7) ,,22,, ,,,0？？0,,2，， ˆl根据(7)可以建立的本征方程式，设本征值是λ: x ,，，0？？0,,2,,cc，，，，11,,,,,,,,？？？,0c,c 22,,,,,,22,,,,,,cc33，，，，,,,？？00,,2，， ,,c,c212 ,,(cc)c即: ，, (8) 12a2 ,c,,c232 方程组(8)有非凡解(c=c=c=0是平凡解，无意义)的条件是(8)的系数行列为零: 12a ,,？,2？0 ,,2？,？,2,0 (9) ？,？,02, 解方程式，得本征值。 ,,,,0,,,(自大到小).将每一个值代入(8)可得一组关系式，但这三个齐次方方程式不足解出c,c,c,尚需加入归12a 一化条件: 222c，c，c,1 (10) a12 得到三组本征矢 1/2，， ,, ,,1/2相当座标表象,,,1,, ,,1/2，， 111,Y，Y，Y, (11) 111101,1222 ，，1/2,,,,？0相当于,,0 2,, ,,,12，， 11,Y,Y, (12) 2111,122 1/2，， ,,,3,,12相当于,,,, ,, ,,1,2，， 111,Y,Y，Y, (13) 311101,1222 ,,,101312Y,，，,l,,，,,,0从(11)-(13)得 x11222222# m,1lm*Y,(,,)Y,(,,),常数(与,,,无关)由此证明地(n,l)(13)证明 lm,m,,1 能级上满布电子的情况下，电荷分布是各向同性的。 (证明)题给的关系式是“球谐函数加法定理”，设想原来有一叁考系(xyz)，以原点为中 心的单位球面上有二点: p(1,,,,)p(1,,,,)111222 考察下述谐函数积的总和工: m1, I,Y(,,)Y(,,) (1) ,lm11lm22m1,, ˆR能够证明，若将参考系施行一次旋转后，对新座标来说该总和仍是不变的。按么正变换 ,,,,,x,y,z理论，若座标系x,y,z被旋转成为，原来的一个函数就被变成 ,(,,)lm 11ˆ,, (2) ,,(,),R,(,,,),l,(,,,),lmlmmlmDm,mm l,lm是一系列变换系数(用Wignet代表文),它与旋转过的角度(例如用欧勒角a,,Dm r表求)有关.(2)式又存在逆变换 lˆ,,(,,),R,,(,,),,(,,,),1lmlm,D,mmlm,mm 当座标系进行变换时，总和工被变换成的结果，可用(3)代入(1)得到 lll11,,ˆˆ,,I,{RY,(,)}{RY(,,)},{,} ,,,1122lmlmDD21mmmm112m,,mm *,,,,(,,)Ylm(,,) (4) 11222Ylm1 ，ˆˆˆRR,I因为旋转B是一种么正变换，它应满足，因而 l*l (5) ,,,m1m2DDmm2mm1m 结果有: 11**,,,,I,Y,(,)Y,(,),Y(,,)Y(,,) (6) lmlm,,lmlm11221122m,,m,,11 1ˆR即I对旋转是守恒的。现在我们这样来选择这种旋转，使转后的座标系里，P点在Z轴1 11上，P点则在X 0 z 座标面上，根据公式(课本) 2 (l,m)!(2l，1)mmei,(p,30):Y(,),(,1)() ,,,,lmP1(l，m)!4, dmmm,,(),,,()P(,,)再利用 1P1md(),, 2l，1,,,Y,(,,),Y(0,,),,om又Y(,,,)得 lm11lm1lm2224, llm21()!，,m, Y,(0),,(,,),2,2lmP1lm4(，)!, 1*,,,,,,,,IYY,()()lm,11lm2,,m1于是有: lllm2，12，1(,)!m,,,mo,,(,,),2P1lm44(，)!,,m 21，l0,,,(,,),得,改为,,得公式:22P1 4, 12l，1*,P,,(),Y(,,,)Y(,,,) (7) lm,111224,,m1 ,,,这里,代表OP,OP两个位置矢量间的夹角,这是个普遍公式.再将前式中212 ,的()令之等于零得到待证公式:(这时,,,),,,,,,21212 12l，1*,Y(,,,)Y(,,,) (8) lm,lm4,,,m1 依据以上结论，假写我们要计算有心力场中电子在核周围形成的电荷密度分布，就可以按几率密度一样计算(?6.3,P.222几率密度随角度的变化一段) 径向电荷密度 ,d,,q.Y(,)常量,,lmd, d是指在方位(,)上单位立体角内电子出现的总几率q是电子电荷,可见电,,, 荷分布是各向同性的 (14)证明一个球方势阱(半径a,深度V)恰好具有一条l?0的能级的条件是:V与a应满足 00 ,2V0jl,1(a),0 2, (解)是有限深势阱问题，令 此处有图,,,,/ 及势阱外(r,a)的薛定谔径向方程式则在球势阱内() r,a 2l(l，1)2,,,R，R，{k,}R,0(r,a)？？(1)1212rr 2l(l，1)1,,,R，R,{k，}R,0(r,a)？？(2)2222rr (1) 的解需满足r=0处有限，它的特介是 (3) R(r),Akljl(kr)1 的解需满足r,,处趋近于零,特介是(2) (4) ,R(r),Bkh(ikr)2lll 要使波函数及其一阶导数在r=a这个势能突点上连续，应有 R(a),R(a)即12 ,Aklul(ka),Bklhl(ika) dR(a)dR(a)12 V 0,drdr d,Ajl(ka),B(ika)klkllar 为了运算的方便(主要利用球贝塞耳函数j，和球韩格耳函数h的一阶导数公式)(6)，(5)1 1两边相除，并加上相同的 (l，1)得:a 11()ka,()ikaj11l，l，h11 ，,，,()()2jkaahika11 此式等效于: dd1，11，1,, (7) en{(kr)j(kr)},en{(ilr)h(ikr)}11,01r,0drdr从课本附录六的公式得 d1，11，1 (xjl),xj(l,0)1,1dx d1，11，1 (hhl),xh(l,0)1,1dx ,,ikh(ika)1,1kj(ka)111,,(7)式成为 (8) ,j(ka)1h(ika)1x按照题意，若势阱的深度V，宽度(并径a)的大小恰足以产生一个束缚能级，那就表示势0 阱深V正好和能级E相等，而E则依赖于a，所以:E= V 00 2(V,E),0,的条件使波数 k,,0,2 从(8)看来，等式右方因含有因数k而等于零，一般 1 , h(ika),h(0),,1,11,1 2,Ej(ka),j(a),0因而等式左方为零 ,,11112,解此方程得到所需的E (15)采用平面极座标，求出轴对称谐振子势场中，粒子能量的本征值本征函数，读者讨论 简并度。 (解)本题是有精确解的二维问题，和图示的极座标 ,(,)势能r ,,r22(),Vr2 定态的,,,方程式是: 222,,,,,1,,1,2r (1) ()，，[,],,0rE22,,2,rrr,r,2 ,(r,,),R(r),(,)用分离变量代换 (2) 方程(1)可分离为不同自变量的二部分: 222,,,r,,R2r1,,2 ,(r)，(E,)r，,02,R,r,r,22,, 222,,r,,R2r1,,22令 (3) (r2)，(E,)r,,,m(常量)2,,R,r,r22,, 2,(,)前式相当于两个方程式:前式中常量m是正数，否则将不符波函数要求: 222,,,1,,R2rm(r)，{(E,),}R,022r,r,r2r, 2,,2，m,,02,, ,(,),Ceim,(5)的解是 为符合单值要求 im,im(,，2x,) e,em是整数 现再处理主程式(4)，作常数替代 2,Em,k,a, 2,, 22,R1,Rm42，，(k2,,ar)R,0(4)式变成 (6) 22r,r,rr (6)有r=0，r=的奇点，试求其奇点的近似解，在r=0附近方程式近似为 , 22dR1dRm，,R,0 22rdrrdr 2这个方程容许R=r形式的解，代入后得 m,m 8,m,,m,但r在r,0点发散故合理的解r 在无限远入(6)的近似形式 22ar2,dR422,arR,0它的近似解R,e 2dr 因此可以合理地假设(6)的解是: 22ar,2 (7) R(r),rme 将(7)代入(6)经过一番整理后，得到 u(r)满足的方程式如下 2dudu2222r，(2m，1,2ar)，[k,2(m，1)a]u,0 (8) 2drdr 22作自变量交换ξ=ar代入(8)式，其中 22dududududu22,,，4a，2a,，2a d,d,d,drd, 代入(8)式，经过简化后得到: 22mduduk1,,，(m，1,)，(,,)u,0 (9) 2,,dd224a m此方程式中的代表磁量子数的绝对值，(9)式与合流超几何方程式完全一致，后者一般 形式是: 2dudu1,,，(v,),au,0 (10) 2,d,d 1(9)中的a本应照习惯写法，写作a，为了避免与(8)式中的a混淆，改为加撇，(10) 的解是: ro,,,a(a，1)？(a，v,1),F(a,r,),, (11) ,r(r，1)？(r，v,1)v!,0v 2m1k22u(r),F(，,,m，1,ar)因而 (12) 2224a 完整的径向波函数是 lm, ,(r,,),R(r)e 22ar2e,m1k2m22,常数,F(，,,m，1,ar) (13) 2224a ie由于合流超几何级数收敛性质和相似，故其无穷级数形式不适于作为波函数的解，欲使 ,a其能作为波函数的一个因式，这个级数要中断，设最高幂p,由(11)可知+p=0 2m1,，,，p,0 2224a m1222,,4a(，，p),2a，(m，1，2p)即 22 2,E2因 用磁量子数m表示E: ,,2, 2222,,,,,,2E,,a(m，1，2p),(m，1，2p) 2,,,, E,(m，2p，1),,得到所需能级: (15) n是能量量子数，当n给定时，与该能量相对应的不同态的数目(简并度)可依n奇数或,偶数分别讨论，列表如下: n奇数 n偶数 n,1P取值 n0，1，2，„„ 0，1，2，„„ 22 n,n-2,n-4,„„1 n,n-2,n-4,„„0 m取值 简并度, n+1 n+1 m,0m因为时，每一种的值都对应二种态m和-m，因此当n为奇数时，m的取值(即能量相同的不同态)是 n,1nm,0 种，当n为偶数时的态又有种，因此m的不同取2，(1，),m，122 n值也是有1+2=n+1 种，总的说来，简并度是n+1. ，2 # [16]设粒子在无限长的园简内运动，简半径是a，求粒子的能量。 (r,,,z),(r,,,z)[解] 用柱面极座标其意义见附图，设波函数是则薛氏方程式是: 221,,,1,,,,2,(r)，，，[E,V],0 (1) 2222r,r,rr,,z,, 0(r,a), (2) V(r,,z),,,,(r,a), ,,F(r,,)Z(z)第一次分离变量试用 (2)代入(1)，当r数学

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