《等差数列》教案设计

《等差数列》设计 等差数列 一、教学目标 1(知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通 项公式;能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题; 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推 导，归纳抽象出等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一 些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中 二、教学重、难点 重点:理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式; 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 三、教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案: (放投影片) 1、在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列:0，5，____,____,____,____,…… 第 1 页 共 6 页 2、2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:kg):48，53，58，63。 3、水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位:m):18，15.5，13，10.5，8，5.5 、我国现行储蓄规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加4 入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利， 5年内各年末的本利和分别是: 时间 年初本金(元) 年末本利和(元) 第1年 10 000 10 072 第2年 10 000 10 144 第3年 10 000 10 216 第4年 10 000 10 288 第5年 10 000 10 360 各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。 思考:同学们观察一下上面的这四个数列: 0，5，10，15，20，…… ? 48，53，58，63 ? 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ? 第 2 页 共 6 页 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ? 看这些数列有什么共同特点呢,引导学生观察相邻两项间的关系， 由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。 [等差数列的概念] 等差数列:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。 注意:?公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求; ?对于数列{ an},若an, an-1=d (d是与n无关的数或字母)，n?2，n?N， 则此数列是等差数列，d为公差; (3)若d=0, 则该数列为常数列( 提问:(1)你能举一些生活中的等差数列的例子吗, (2)如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件, 由学生回答:因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道: A-a=b-A 所以就有 A=(a+b)/2 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外) 都是它的前一项与后一项的等差中项。 第 3 页 共 6 页 如数列:1，3，5，7，9，11，13…中 ，5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 [等差数列的通项公式] 提问:对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢, ?、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式: ? 猜想得到这个数列的通项公式是:an=5n ? 猜想得到这个数列的通项公式是:an=48+5(n-1) ? 猜想得到这个数列的通项公式是:an=18-2.5(n-1) ? 猜想得到这个数列的通项公式是:an=10072+72(n-1) ?、那么，如果任意给了一个等差数列的首项a1和公差d，它的通项公式是什么呢, 引导学生根据等差数列的定义进行归纳: a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d......... 所以 a2=a1+d.a3=a1+2d,a4=a1+3d,a5=a1+4d,...... 思考:那么通项公式到底如何表达呢, 得出通项公式:以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。 [例题分析] 例1、?求等差数列8，5，2，…的第20项. 第 4 页 共 6 页 ?-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项,如果是，是第几项, 解:?由=8，d=5-8=-3，n=20，得 ?由=-5，d=-9-(-5)=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。 解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。 例2:(1)在等差数列{an}中，已知，a5=10,a12=31,求首项a1与公差d; 解:(1)解法一:?a5=10,a12=31，，则 a1+4d=10,a1+11d=31 所以，这个等差数列的首项是,2，公差是3( 解法二:?a12=a5+7d,31=10+7d,d=3, 由得a1=-2 所以，这个等差数列的首项是,2，公差是3( 例3:梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽 度成等差数列，计算中间各级的宽度( 解:设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知:=33, =110，n=12 ?,即10=33+11 解得: 因此， 答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm. 第 5 页 共 6 页 例4(某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费, 解:根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费. 令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费 答:需要支付车费23.2元。 [随堂练习] [课堂小结] ?等差数列定义:即(n?2) ?等差数列通项公式:(n?1) 推导出公式: 四、作业《习案》作业十一。 第 6 页 共 6 页