用拉格朗日插值法求抛物线的解析式

用拉格朗日插值法求抛物线的解析式 李立波 在的学习过程中，我们总是在不断总结规律，尽量得出一些形式化的结论.比如我们用配方法已经 能够很好地解决一元二次方程根的求解问,但是我们仍不满足,进而我们又有了公式法这一利器.今天,笔 者想就抛物线解析式的求法作一下类似的探究.在初中阶段我们主要利用待定系数法求抛物线(指对称轴与 x轴垂直的抛物线,本文中的抛物线均是该类型)的解析式.下面笔者就介绍一种更加直接的方法:拉格朗日 插值法. 22引理:若抛物线经过抛物线上的三点、yaxbxca,，，,(0)Axy(,)yaxbxca,，，,(0)111111 、，则必有. Bxy(,)Cxy(,)aabbcc,,,,,2233111 2:?、、在抛物线上 Axy(,)Bxy(,)Cxy(,)yaxbxca,，，,(0)112233 ?互不相等 xxx,,123 22?抛物线和抛物线都经过点 Ayaxbxc,，，yaxbxc,，，111 2? …… ? axbxc，，,011 2 …… ? axbxc，，,011111 2?,?,得: ()()()0aaxbbxcc,，,，,,11111 22同理: , ()()()0aaxbbxcc,，,，,,()()()0aaxbbxcc,，,，,,1212113131 2?是的三个根 xxx,,()()()0aaxbbxcc,，,，,,123111 由代数基本可知,必有 aabbcc,,,,,,0,0,0111 即 aabbcc,,,,,111 该引理说明如果过三个点有一条抛物线,那么它必定是唯一的一条. 定理:若一条抛物线经过、、三点,则它的解析式为Axy(,)Bxy(,)Cxy(,)112233 ()()()()xxxxxxxx,,,,()()xxxx,,231312 …… ?. yyyy,，，，，，123()()()()()()xxxxxxxxxxxx,,,,,,121321233132 证明: ?、、在同一抛物线上 Axy(,)Bxy(,)Cxy(,)112233 yy,yy,3121?互不相等并且, xxx,,,123xxxx,,2131 故?式一定存在,下面证明它是一个二次函数: yyy2312，，在?式中的系数为 x()()()()()()xxxxxxxxxxxx,,,,,,121321233132 ()()()()yyxxyyxx,,,,,21313121整理,得 ()()()xxxxxx,,,121323 yy,yy,3121? ,xxxx,,2131 ? ()()()()0yyxxyyxx,,,,,,21313121 2故在?式中的系数不为0. x ()()()()xxxxxxxx,,,,()()xxxx,,231312?是一个二次函数,其图象是yyyy,，，，，，123()()()()()()xxxxxxxxxxxx,,,,,,121321233132 一条抛物线. 容易验证:当;当;当. xxyy,,时，xxyy,,时，xxyy,,时，112233由引理知: 过、、三点的抛物线解析式必为?式. Axy(,)Bxy(,)Cxy(,)112233 注:?式是我们用拉格朗日插值公式构造的. 例:已知一抛物线经过A(0,,1),B(1,0),C(,1,2),求其解析式. (1)(1)(1)(1)xxxxxx,，，,解:所求抛物线的解析式为 y,,，，，，，102(01)(01)(10)(11)(10)(11),，,，,,,, 2整理,得: yxx,,,21 由上可知用插值法求抛物线的解析式比用待定系数法更直接,可操作性更强. (发表于《中学数学杂志》2009年第6期)