等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和
等差、等比的公式性质以及数列的求和方法
第一节:等差数列的公式和相关性质
1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一
项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记:(da,a,dnn,1
**n,2为公差)(,)注:下面所有涉及,省略,你懂的。 nN,nN,n
2、等差数列通项公式:
d ,为首项,为公差 aand,,,(1)an11
推广公式: aanmd,,,()nm
a,anmd, 变形推广: n,m
3、等差中项
bbAA,,成等差数列,那么叫做与的等差中项(即:(1)如果aa
a,b2A,a,bA,或 2
(2)等差中项:数列,,是等差数列 an
,2a,a,a(n,2),2a,a,ann-1n,1n,1nn,2
4、等差数列的前n项和公式:
naa(),nn(1),1nS,,,nad 1n22
d122,,,nadn(),,AnBn 122
(其中A、B是常数,所以当d?0时,S是关于n的二次式且常数n项为0)
21n,a特别地,当项数为奇数时,是项数为2n+1的等差数列的n,1中间项
21naa,,,,,,121n,Sna,,,21(项数为奇数的等差数列的各项,,211nn,,2
和等于项数乘以中间项)
5、等差数列的判定方法
,(1) 定义法:若或(常数) 是n,N,,a,a,da,a,da,nn,1n,1nn等差数列(
(2)等差中项:数列是等差数列 ,,an
,2a,a,a(n,2),2a,a,ann-1n,1n,1nn,2
(3)数列是等差数列(其中是常数)。 ,,aa,kn,bk,b,nn
2(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。 ,,aSAnBn,,,nn
6、等差数列的证明方法
,定义法:若或(常数) 是等差n,N,,a,a,da,a,da,nn,1n,1nn数列(
7、等差数列相关技巧:
(1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、an1dd、、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中aSannn1
的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
?一般可设通项 aand,,,(1)n1
?奇数个数成等差,可设为„,„(公差adadaadad,,,,2,,,,2
d为);
?偶数个数成等差,可设为„,,„(注意;adadadad,,,,3,,,3
d公差为2)
8、等差数列的性质:
d,0(1)当公差时,等差数列的通项公式aanddnad,,,,,,(1)n11
d是关于n的一次
,且斜率为公差;前n和
nndd(1),2Snadnan,,,,,()n是关于的二次函数且常数项为n11222
0。
d,0d,0(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减
d,0等差数列,若公差,则为常数列。
mnpq,,,a,a,a,a(3)当时,则有,特别地,当mnp,,2mnpq
aaa,,2aaaaaa,,,,,,,,,时,则有。(注:,)当然扩充mnp12132nnn,,
到3项、4项„„都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系
数之和相等。
(4)、为等差数列,则都为等差数列 ab,,,abab,,,,,,,,,,,nnnnn12
(5) 若{}是等差数列,则 ,„也成等差数aSSSSS,,,,nnnnnn232
列
* (6) 数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项N{}a,n
()仍为等差数列 aaaa,,,,,,,mmkmkmk,,,23
aAnn21, (7)、的前和分别为、,则 ,,a{}bAB,nnnnnbBnn21,
(8)等差数列的前n项和,前m项和,则前m+n{}aSn,Sm,nmn项和,当然也有,则 Smn,,,aman,,,a,0,,mn,nmmn,
(9)求的最值 Sn
法一:因等差数列前项和是关于的二次函数,故可转化为求nn
*nN,。 二次函数的最值,但要注意数列的特殊性
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有n非负项之和
a,0,n即当 由可得达到最大值时的值( Sna,0,d,0,,n1a0,n,1,
(2) “首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有n非正项之和。
a,0,nS即 当 由可得达到最小值时的n值( a,0,d,0,,n1a0,n,1,
,,a或求中正负分界项 n
法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像
S是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,取n
pq,n,最大值(或最小值)。若S = S则其对称轴为 p q2
SSan,,,(2)注意:,对于任何数列都适用,但求通项时记住讨论nnn,1
n,1当的情况。
解决等差数列问
时,通常考虑两类方法:
d?基本量法:即运用条件转化为关于和的方程; a1
?巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,
减少运算量。(以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明,不是
很难,并能够学会运用)
第二节:等比数列的相关公式和性质
an1、等比数列的定义:,为公比 q,,,02qqn,,,,a,1n
2、通项公式:
n,1,为首项,为公比 qaaaq,1n1
anm,nm,n推广公式:, 从而得 ,qaaq,nmam3、等比中项
bA(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项(即:aaAb,,
2Aab,,Aab,或
注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项
有两个(两个等比中项互为相反数)
2,,(2)数列a是等比数列 aaa,,,n,,nnn114、等比数列的前n项和S公式: n
Sna,(1) 当时, q,1n1
naq1,,,aaq,11n(2) 当时, q,1S,,n11,,qq
aannn11'' (ABAB,,','为常数) ,,,,,,,qAABABA11,,qq
5、等比数列的判定方法
an,1(1)用定义:对任意的n,都有{}a,,,或为常数,(0),aqaqqannnn,1an为等比数列
2 (2) 等比中项:(0)为等比数列 aa{}aaaa,,,nn,,11n,,nnn11
n(3) 通项公式:为等比数列 aABAB,,,,0{}a,,,nn
(4) 前n项和公式:
nn为等比数列 SAABSABAABAB,,,,,或为常数'',,','{}a,,,nnn
6、 等比数列的证明方法
a*n依据定义:若或为等比数列 aqa,{}a,,,,02,且,qqnnN,,,,nn,1na,n1
7、等比数列相关技巧:
(1)等比数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、an1
q、、及,其中、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中aSannn1
的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项:
n,1 aaq,n1
aa2q如奇数个数成等比,可设为„,„(公比为,中间项,,,,aaqaq2qq
q用a表示);注意隐含条件公比的正负 8、等比数列的性质:
(1) 当时 q,1
annn,11n,,,,,,0?等比数列通项公式是关于的带有系aaqqABAB,,n1q
q数的类指数函数,底数为公比
nnaq1,,,aaqaa,1nnn1111SqAABABA,,,,,,,,''n?前项和,系n1111,,,,qqqq
数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比 q
*nm,(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,N,{}aaaq,nnm
便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
*mnk,,2(3) 若(),则。特别的,当时,mnst,,,Naaaa,,,mnst,,,,nmst
2得 aaa,,nmk
注: aaaaaa,,,,,,,12132nnn,,
akkn(4) 列,为等比数列,则数列,,, (k为{}a{}b{}ka,{}kab,,{}{}{}annnnnnabnn
非零常数) 均为等比数列。
*(5) 数列为等比数列,每隔k(kN)项取出一项{}a,n
()仍为等比数列 aaaa,,,,,,,mmkmkmk,,,23
(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列 {}a{log}anan(7) 若为等比数列,则数列,,,成等比数列 {}aSSS,SS,,,,,nn2nn32nn
(8) 若{}a为等比数列,则数列aaa,,,,,,,aaa,,,,,,, n12nnnn,,122aaa,,,,,,,成等比数列 21223nnn,,
(9) ?当时, ?当时, q,10
记录
语言的符号:,字。,盲。以,害辞。
4(用文字记下来以及与之有关的:,凭。,艺。,体。,典。,苑。,献(指有历史价值和参考价值的图书资料)。,采(a(文辞、文艺方面的才华;b(错杂艳丽的色彩)。
5(人类劳动成果的总结:,化。,物。
6(自然界的某些现象:天,。水,。
7(旧时指礼节仪式:虚,。繁,缛节(过多的礼节仪式)。
8(文华辞采,与“质”、“情”相对:,质彬彬。
9(温和:,火。,静。,雅。
10(指非军事的:,职。,治武功(指礼乐教化和军事功绩)。
11(指以古汉语为基础的书面语:552,言。,白间杂。
12(专指社会科学:,科。
13(掩饰:,过饰非。
14(量词,指旧时小铜钱:一,不名。
15(姓。
16( 皇帝谥号,经纬天地曰文;道德博闻曰文;慈惠爱民曰文;愍民惠礼曰文;赐民爵位曰文;勤学好问曰文;博闻多见曰文;忠信接礼曰文;能定典礼曰文;经邦定誉曰文;敏而好学曰文;施而中礼曰文;修德来远曰文;刚柔相济曰文;修治班制曰文;德美才秀曰文;万邦为宪、帝德运广曰文;坚强不暴曰文;徽柔懿恭曰文;圣谟丕显曰文;化成天下曰文;纯穆不已曰文;克嗣徽音曰文;敬直慈惠曰文;与贤同升曰文;绍修圣绪曰文;声教四讫曰文。如汉文帝。
折叠编辑本段字源字形
字源演变与字形比较
折叠编辑本段详细字义
〈名〉
1(右图是
“文”字的甲骨文图片,资料来源:徐无闻主编:《甲金篆隶大字典》,四川辞书出版社。1991年7月第一版。
“文”字的甲骨文字绘画的像一个正面的“大人”,寓意“大象有形”、“象形”;特别放大了胸部,并在胸部画了“心”,含义是“外界客体在心里面的整体影像、整体写真、整体素描、整体速写”。
许慎《说文解字》把“文”解释为“错画也”,意思是“对事物形象进行整体素描,笔画交错,相联相络,不可解构”,这与他说的独体为文、合体为字的话的意思是一致的。“说文解字”这个书名就表示了“文”只能“说”,而“字”则可“解”的意思。“文”是客观事物外在形象的速写,是人类进一步了解事物内在性质的基础,所以它是“字”的父母,“字”是
“文”的孩子。“文”生“字”举例(以“哲”为例):先对人手摩画,其文为“手”;又对斧子摩画,其文为“斤”。以手、斤为父母,结合、生子,其子就是“折”(手和斤各代表父母的基因)。这个“折”就是许慎所谓的“字”。“字”从宀从子,“宀”表示“独立的房子”,子在其中,有“自立门户”的意思。故“字”还能与“文”或其他“字”结合,生出新“字”来。在本例,作为字的“折”与作为文的“口”结合,就生出了新的字“哲”。
2(
同本义 [figure;veins]
文,错画也。象交文。今字作纹。——东汉?许慎《说文》
——春秋?左丘明《左传?昭公二十五年》。注:“青与赤谓之文,赤与白谓五章以奉五色。
之章,白与黑谓之黼,黑与青谓之黻。”
美于黼黼文章。——《荀子?非相》
茵席雕文。——《韩非子?十过》
织文鸟章,白旆央央。——《诗?小雅?六月》
斑文小鱼。——明? 刘基《诚意伯刘文成公文集》
3(又如:文驾(彩车);文斑(杂色的斑纹);文旆(有文彩的旗帜);文绣(绣有彩色花纹的丝织品;刺花图案);文织(有彩色花纹的丝织品);文鳞(鱼鳞形花纹)。
4(字,文字(“文”,在先秦时期就有文字的意思,“字”,到了秦朝才有此意。分别讲,“文”指独体字;“字”指合体字。笼统地说,都泛指文字。) [character]
饰以篆文。——南朝宋?范晔《后汉书?张衡传》
分文析字。——东汉?班固《汉书?刘歆传》
夫文,止戈为武。——《左传?宣公十二年》
距洞数百步,有碑仆道,其文漫灭。——王安石《游褒禅山记》
文曰“天启壬戌秋日”。——明? 魏学洢《核舟记》
文曰“初平山尺”。
5(又如:甲骨文;金文;汉文;英文;文迹(文字所记载的事迹);文书爻(有关文字、文凭之类的卦象);文异(文字相异);文轨(文字和车轨);文狱(文字狱);文钱(钱。因钱有文字,故称);文状(字据,军令状);文引(通行证;路凭);文定(定婚)。
6(文章(遣造的词句叫做“文”,结构段落叫做 “章”。) [literary composition]
故说诗者不以文害辞。——《孟子?万章上》
好古文。——唐? 韩愈《师说》
属予作文以记之。——宋? 范仲淹《岳阳楼记》
能述以文。——宋? 欧阳修《醉翁亭记》
摘其诗文。——清? 纪昀《阅微草堂笔记》
7(又如:文价(文章的声誉);文魔(书呆子);文会(旧时读书人为了准备应试,在一起写文章、互相观摩的集会);文移(旧时官府文书的代称);文雄(擅长写文章的大作家);文意(文章的旨趣);文义(文章的义理);文情(文章的词句和情思);本文(所指的这篇文章);作文(写文章;学习练习所写的文章);文魁(文章魁首);文价(文章的声价);文什(文章与诗篇)。
8(美德;文德 [virtue]
圣云继之神,神乃用文治。——杜牧《感怀诗一首》
(又如:文丈(对才高德韶的老者的敬称);文母(文德之母);文武(文德与武功);文命9
(文德教命);文惠(文德恩惠);文德(写文章的道德);文薄(谓文德浅薄);文昭(文德昭著)。
10.文才;才华。亦谓有文才,有才华 [literary talent]
而文采不表于后世也。——汉? 司马迁《报任安书》
11(又如:文业(才学);文英(文才出众的人);文采风流(横溢的才华与潇洒的风度);文郎(有才华的青少年);文彦(有文才德行的人);文通残锦(比喻剩下不多的才华)。
12(文献,经典;韵文 [document;classics;verse]
儒以文乱法。——《韩非子?五蠹》
言必遵修旧文而不穿凿。——《说文解字?叙》
13(辞词句。亦指文字记载 [writings;record]。如:文几(旧时书信中开头常用的套语。意为将书信呈献于几前);文倒(文句颠倒);文过其实(文辞浮夸,不切实际);文义(文辞);文辞(言词动听的辞令);文绣(辞藻华丽)。
14(自然界的某些现象 [natural phenomenon]
经纬天地曰文。——《左传?昭公二十八年》
15(又如:天文;地文;水文;文象(日月星辰变化的迹象);文曜(指日月星辰;文星);文昌(星座名)。
16(文治;文事;文职。与“武”相对。 [achievements in culture and education;civilian post]
文能取胜。——《史记?平原君虞卿列传》
文不能取胜。
文武并用。——唐? 魏征《谏太宗十思疏》
精神折冲于千里,文武为宪于万邦。――明《袁可立晋秩兵部右侍郎诰》
17(又如:文臣,文吏(文职官吏);文席(教书先生的几席);文品(文官的品阶);文帅(文职官员出任或兼领统帅);文烈(文治显赫);文员(文职吏员);文阶(文职官阶);文道(文治之道);文业(文事);文僚(文职官吏)。
18(法令条文 [articles of decree]
而刀笔吏专深文巧诋,陷人于罪。——《史记?汲黯列传》
19(又如:文劾(根据律令弹劾);文法吏(通晓法令、执法严峻的官吏);文丈(规矩;制度);文移(官府文书);文牓(布告;文告);文宪(礼法;法制)。
20(文言。古代
文体之一;别于白话的古汉语书面语 [literary language]。如:半文半白;文语;文白(文言文和白话文)。
21(文教;礼节仪式 [rites]
则修文德。——《论语?季氏》
22(又如:文丈(崇尚礼文仪节);文俗(拘守礼法而安于习俗);文致(指礼乐);文貌(礼文仪节);文绪(文教礼乐之事);文仪(礼节仪式)
23(指表现形式;外表 [form;appearance]。如:文服(表面服从);文榜(告示、布告之类);文诰(诰令)
24(指鼓乐,泛指曲调 [music;tune]。如:文曲(指乐曲);文始(舞乐名)
25(谥号,谥法:勤学好问叫文 [study deligently]
何以谓之文。——《论语》
是以谓之文。
26(姓
〈动〉
1(在肌肤上刺画花纹或图案 [tatto (the skin)]
被发文身。——《礼记?王制》。注:“谓其肌,以丹青涅之。”
文绣有恒。——《礼记?月令》
2(又如:文笔匠(在人身上刺花的艺人);文身断发(古代荆楚、南越一带的习俗。身刺花纹,截短头发,以为可避水中蛟龙的伤害。后常以指落后地区的民俗);文木(刻镂以文采之木)
3(修饰;文饰 [cover up]
身将隐,焉用文之?——《左传?僖公二十三年》
饰邪说,文奸言,以枭乱天下。——《荀子?非十二子》
4(又如:文过饰非;文致(粉饰;掩饰);文冢(埋葬文稿之处)
5(装饰 [decorate]
舍其文轩。——《墨子?公输》
此犹文奸。
文车二驷。——明? 归有光《项脊轩志》
文马四百匹。——《史记?宋世家》
若将比予文木邪。——《庄子?人间世》
6(又如:文巧(文饰巧辩);文竿(以翠羽为饰之竿);文舫(装饰华丽的游艇);文饰(彩饰);文榭(饰以彩画的台榭);文舟,文艘(装饰华丽的船);文剑(装饰华丽的剑);文舆(饰以彩绘的车)
7(撰写文章 [write]。如:文匠(写文章的大家);文祸(因写文章而招来的灾祸);文雄,文杰(指文豪)
〈形〉
1(有文采,华丽。与“质”或“野”相对 [magnificent;gorgeous]
其旨远,其辞文。——《易?系辞下》
晋公子广而俭,文而有礼。——《左传?僖公二十三年》
2(又如:文巧(华丽奇巧);文朴(文华与质朴);文服(华美的衣服);文砌(华美的石阶);文背(不文雅,粗俗);文轩(华美的车子);文质(文华与质朴)
3.柔和,不猛烈 [mild;gentle]。如:文烈(指火候温猛)
4(美,善 [fine;good]。如:文徽(华美);文鸳(即鸳鸯。以其羽毛华美,故称);文衣(华美的服装)
5(通“紊”。紊乱的 [disordered]
惇宗将礼,称秩元祀,咸秩无文。——《书?洛诰》
天子祭天下名山大川,怀柔百神,咸秩无文。——《汉书?郊祀志上》
王者报功,以次秩之,无有文也。——庆劭《风俗通义?山泽》
〈量〉
1(用于旧时的铜钱。如:一文钱
2(用于计算纺织物
五扶为一首,五首成一文。——《后汉书》