平方差和完全平方公式题

平方差和完全平方公式题 平方差和完全平方公式题型 一(选择题(共1小题) 21((1999•烟台)下列代数式，x+x,，，，其中整式有( ) A(1 个 B(2 个 C(3 个 D(4 个 二(填空题(共3小题) 22((2011•湛江)多项式2x,3x+5是 _________ 次 _________ 项式( 3((2010•毕节地区)写出含有字母x，y的四次单项式 _________ ((答案不唯一，只要写出一个) 234((2004•南平)把多项式2x,3x+x按x的降幂排列是 _________ ( 122225((1999•内江)配方:x+4x+___=(x+___) 配方:x-x+ ___=(x-) 2 三(解答题(共26小题) 5(计算: 22(1)(x,y)(x+y)(x+y) (2)(a,2b+c)(a+2b,c) 26(计算:123,124×122( 7(计算:( 8((x,2y+z)(,x+2y+z)( 9(运用乘法公式计算( 22(1)(x+y),(x,y); (2)(x+y,2)(x,y+2); 2(3)79.8×80.2; (4)19.9( 10(化简:(m+n,2)(m+n+2)( 11((x,2y,m)(x,2y+m) 12(计算 4224(1)(a,b+c,d)(c,a,d,b); (2)(x+2y)(x,2y)(x,8xy+16y)( 22222213(计算:2008,2007+2006,2005+…+2,1( 2214(利用乘法公式计算: ?(a,3b+2c)(a+3b,2c) ?47,94×27+27( 2215(已知:x,y=20，x+y=4，求x,y的值( _________ 22332416(观察下列各式:(x,1)(x+1)=x,1;(x,1)(x+x+1)=x,1;(x,1)(x+x+x+1)=x,1… ,,,m1m2m31)根据上面各式的规律得:(x,1)(x(+x+x+…+x+1)= _________ ;(其中n为正整数); 2346869(2)根据这一规律，计算1+2+2+2+2+…+2+2 的值( 17(先观察下面的解题过程，然后解答问题: 24题目:化简(2+1)(2+1)(2+1)( 2424224448解:(2+1)(2+1)(2+1)=(2,1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2,1)(2+1)(2+1)=(2,1)(2+1)=2,1( 24864问题:化简(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)…(3+1)( 18(( 219((2012•黄冈)已知实数x满足x+=3，则x+的值为 _________ ( 220((2007•天水)若a,2a+1=0(求代数式的值( 221((2009•佛山)阅读材料:把形如ax+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法(配 222方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a?2ab+b=(a?b)( ?2010-2013 菁优网 22222例如:(x,1)+3、(x,2)+2x、(x,2)+x是x,2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项,,见横线上的部分)( 请根据阅读材料解决下列问题: 2(1)比照上面的例子，写出x,4x+2三种不同形式的配方; 22(2)将a+ab+b配方(至少两种形式); 222(3)已知a+b+c,ab,3b,2c+4=0，求a+b+c的值( 222222((2004•太原)已知实数a、b满足(a+b)=1，(a,b)=25，求a+b+ab的值( 23((2001•宁夏)设a,b=,2，求的值( 2224(已知(x+y)=49，(x,y)=1，求下列各式的值: 22(1)x+y;(2)xy( 25(已知x+=4，求x,的值( 2222226(已知:x+y=3，xy=2，求x+y的值( 27(已知a+b=3，ab=2，求a+b，(a,b)的值( 222228(若x+y=2，且(x+2)(y+2)=5，求x+xy+y的值( 29(x,11x+1=0，求x+的值( 30(已，求下列各式的值:(1); (2)( ?2010-2013 菁优网 平方差完全平方公式 参考答案与试题解析 一(选择题(共1小题) 21((1999•烟台)下列代数式，x+x,，，，其中整式有( ) A(1 个 B(2 个 C(3 个 D(4 个 考点: 整式( : 解决本题关键 是搞清整式的 概念，紧扣概念 作出判断( 2解答: 解:整式有x+x ,，共2 个( 故选B( 点评: 主要考查了整 式的有关概 念(要能准确的 分清什么是整 式(整式是有理 式的一部分，在 有理式中可以 包含加，减，乘， 除四种运算，但 在整式中除式 不能含有字 母(单项式和多 项式统称为整 式(单项式是字 母和数的乘积， 只有乘法，没有 加减法(多项式 是若干个单项 式的和，有加减 法( 二(填空题(共3小题) 22((2011•湛江)多项式2x,3x+5是 二 次 三 项式( 考点: 多项式( 专题: 计算题( 分析: 根据单项式的 ?2010-2013 菁优网 系数和次数的 定义，多项式的 定义求解( 解答: 解:由题意可 2知，多项式2x ,3x+5是 二次 三项式( 故答案为:二， 三( 点评: 本题主要考查 多项式的定义， 解答此次题的 关键是熟知以 下概念: 多项式中的每 个单项式叫做 多项式的项; 多项式中不含 字母的项叫常 数项; 多项式里次数 最高项的次数， 叫做这个多项 式的次数( 223((2010•毕节地区)写出含有字母x，y的四次单项式 xy ((答案不唯一，只要写出一个) 考点: 单项式( 专题: 开放型( 分析: 单项式的次数 是指单项式中 所有字母因数 的指数和 3223?xy，xy，xy 等都是四次单 项式( 解答: 解:根据四次单 项式的定义， 2233xy，xy，xy 等都符合题意 (答案不唯 一)( 点评: 考查了单项式 的次数的概 念(只要两个字 母的指数的和 等于4的单项式 都符合要求( ?2010-2013 菁优网 23324((2004•南平)把多项式2x,3x+x按x的降幂排列是 x+2x,3x ( 考点: 多项式( 分析: 按照x的次数从 大到小排列即 可( 解答: 解:按x的降幂 32排列是x+2x ,3x( 点评: 主要考查降幂 排列的定义，就 是按照x的次数 从大到小的顺 序排列，操作时 注意带着每一 项前面的符号( 三(解答题(共26小题) 5(计算: 22(1)(x,y)(x+y)(x+y) (2)(a,2b+c)(a+2b,c) 考点: 平方差公式;完 全平方公式( 分析: (1)(x,y)与 (x+y)结合， 可运用平方差 公式，其结果再 22与(x+y)相结 合，再次利用平 方差公式计算; (2)先运用平 方差公式，再应 用完全平方公 式( 解答: 解:(1)(x,y) (x+y) 22(x+y)， 22=(x,y) 22(x+y)， 44=x,y; (2)(a,2b+c) (a+2b,c)， 22=a,(2b,c)， 22=a,4b+4bc, 2c( 点评: 本题主要考查 了平方差公式 与完全平方公 ?2010-2013 菁优网 式，熟记公式是 解题的关键( 平方差公式: (a+b)(a,b) 22=a,b(完全平 方公式:(a?b) 222=a?2ab+b( 26(计算:123,124×122( 考点: 平方差公式( 分析: 先把124×122写 成(123+1)× (123,1)，利 用平方差公式 计算，去掉括号 后再合并即可( 2解答: 解:123, 124×122， 2=123, (123+1)(123 ,1)， 22=123,(123 2,1)， =1( 点评: 本题考查平方 差公式的实际 运用，构造成平 方差公式的结 构形式是解题 的关键( 7(计算:( 考点: 平方差公式( 分析: 观察可得: 2005=2004+1， 2003=2004,1， 将其写成平方 差公式代入原 式计算可得答 案( 解答: 解: ， ?2010-2013 菁优网 = ， = ， =2004( 点评: 本题考查平方 差公式的实际 运用，注意要构 造成公式的结 构形式，利用公 式达到简化运 算的目的( 8((x,2y+z)(,x+2y+z)( 考点: 平方差公式( 专题: 计算题( 分析: 把原式化为[z+ (x,2y)][z, (x,2y)]，再 运用平方差公 式计算( 解答: 解:(x,2y+z) (,x+2y+z)， =[z+(x,2y)][z ,(x,2y)]， 2=z,(x,2y) 2， 22=z,(x, 24xy+4y)， 22=z,x+4xy, 24y( 点评: 本题考查了平 方差公式，整体 思想的利用是 利用公式的关 键，注意运用公 式计算会减少 运算量( 9(运用乘法公式计算( 22(1)(x+y),(x,y); (2)(x+y,2)(x,y+2); ?2010-2013 菁优网 (3)79.8×80.2; 2(4)19.9( 考点: 平方差公式( 专题: 计算题( 2分析: (1)(x+y), 2(x,y)可以利用平方差公 式进行计算; (2)(x+y,2)(x,y+2)转化成[x+(y,2)][x,(y,2)]的形式，利用平方差公式以及完全 平方公式进行 计算; (3)79.8×80.2可以转化成(80,0.2)(80+0.2)的形式，利用平方差公式计算; 2(4)19.9可以转化为(20, 20.1)进行简便计算( 解答: 解:(1)(x+y)22,(x,y)=(x+y+x,y) (x+y,x+y)， =4xy; (2)(x+y,2)(x,y+2)， =[x+(y,2)][x,(y,2)]， 22=x,y+4y, 4; (3)79.8×80.2， =(80,0.2) (80+0.2)， =6399.96; 2(4)19.9=(20 2,0.1)=400,2×20×0.1+0.01， =396.01( 点评: 本题主要考查 ?2010-2013 菁优网 平方差公式和 完全平方公式 的运用，利用完 全平方公式以 及平方差公式 可以使计算更 加简便( 10(化简:(m+n,2)(m+n+2)( 考点: 平方差公式( 分析: 把(m+n)看作 整体，m+n是相 同的项，互为相 反项是,2与2， 然后利用平方 差公式和完全 平方公式计算 即可( 解答: 解:(m+n,2) (m+n+2)， 22=(m+n),2， 22=m+n+2mn, 4( 点评: 本题主要考查 了平方差公式 的应用(运用平 方差公式(a+b) 22(a,b)=a,b 计算时，关键要 找相同项和相 反项，其结果是 相同项的平方 减去相反项的 平方( 11((x,2y,m)(x,2y+m) 考点: 平方差公式( 专题: 计算题( 分析: 把x,2y当成一 个整体，利用两 数的和乘以这 两数的差，等于 它们的平方差 计算即可( 解答: 解:(x,2y,m) (x,2y+m)， 2=(x,2y), ?2010-2013 菁优网 2m， 22=x,4xy+4y 2,m( 点评: 本题主要考查 了平方差公式， 整体思想的利 用比较关键( 12(计算 (1)(a,b+c,d)(c,a,d,b); 4224(2)(x+2y)(x,2y)(x,8xy+16y)( 考点: 平方差公式( 专题: 计算题( 分析: 根据平方差公 式以及完全平 方公式即可解 答本题( 解答: 解:(1)原式 =[(c,b,d) +a][(c,b,d) ,a] 2=(c,b,d) 2,a 222=c+b+d+2bd ,2bc,2cd, 2a， 4(2)?x, 22428xy+16y=(x 22,4y) 2?原式=(x, 2224y)(x,4y) 2223=(x,4y) 232=(x),3(x) 222(4y)+3x• 222(4y),(4y) 3 6=x, 422412xy+48xy6,64y( 点评: 本题考查了平 方差公式以及 完全平方公式 的运用，难度适 中( 22222213(计算:2008,2007+2006,2005+…+2,1( 考点: 平方差公式( ?2010-2013 菁优网 分析: 分组使用平方 差公式，再利用 自然数求和公 式解题( 解答: 解:原式= 2(2008, 222007)+(2006 2,2005)+…+ 22(2,1)， =(2008+2007) (2008,2007) +(2006+2005) (2006,2005) +(2+1)(2,1)， =2008+2007+20 06+2005+…+2+ 1， =2017036( 点评: 本题考查了平 方差公式的运 用，注意分组后 两数的差都为 1，所有两数的 和组成自然数 求和( 14(利用乘法公式计算: ?(a,3b+2c)(a+3b,2c) 22?47,94×27+27( 考点: 平方差公式;完 全平方公式( 分析: ?可用平方差 公式计算:找出 符号相同的项 和不同的项，结 合再按公式解 答， ?把94写成 2×47后，可用完 全平方公式计 算( 解答: 解:?原式=[a ,(3b,2c)][a+ 2(3b,2c)]=a ,(3b,2c) 22=9b+12bc, 24c; 2?原式=47, ?2010-2013 菁优网 22×47×27+27=(47,27) 2=400( 点评: 本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键( ?把(3b,2c)看作一个整体是运用平方差公式的关键; ?把94写成2×47是利用完全平方公式的关键( 2215(已知:x,y=20，x+y=4，求x,y的值( 5 考点: 平方差公式( 分析: 本题是平方差公式的应用( 22解答: 解:a,b=(a+b)(a,b)， 22x,y=(x+y)(x,y)=20 把x+y=4代入求得x,y=5( 点评: 运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方(把 x+y=4代入求得x,y的值，为5( 22332416(观察下列各式:(x,1)(x+1)=x,1;(x,1)(x+x+1)=x,1;(x,1)(x+x+x+1)=x,1… ,,,m1m2m3m(1)根据上面各式的规律得:(x,1)(x+x+x+…+x+1)= x,1 ;(其中n为正整数); 2346869(2)根据这一规律，计算1+2+2+2+2+…+2+2 的值( 考点: 平方差公式( 分析: (1)认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1，利用此规律求解填空; ?2010-2013 菁优网 (2)先根据上 面的式子可得: 231+x+x+x+…+xnn+1=(x,1)? (x,1)，从而 得出 2681+2+2+…+2+6969+12=(2,1) ?(2,1)，再进 行计算即可( 解答: 解:(1)(x,1) ,,m1m(x+x,2m+x32+…+x+x+1) m=x,1; (2)根据上面 的式子可得: 231+x+x+x+…+xnn+1=(x,1)? (x,1)， 26?1+2+2+…+286969+1+2=(2, 701)?(2,1)=2 ,1( 点评: 本题考查了平 方差公式，认真 观察各式，根据 指数的变化情 况总结规律是 解题的关键( 17(先观察下面的解题过程，然后解答问题: 24题目:化简(2+1)(2+1)(2+1)( 2424224448解:(2+1)(2+1)(2+1)=(2,1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2,1)(2+1)(2+1)=(2,1)(2+1)=2,1( 24864问题:化简(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)…(3+1)( 考点: 平方差公式( 分析: 根据题意，整式 的第一个因式 可以根据平方 差公式进行化 简，然后再和后 面的因式进行 运算( 解答: 解:原式=(3 ,1)(3+1) 24(3+1)(3+1) ?2010-2013 菁优网 8(3+1) 64(3+1)，(4 分) =(32,1) (32+1)(34+1) (38+1) 64(3+1)， 4=(3,1) 48(3+1)(3+1) 64(3+1)， 8=(3,1) 8(3+1) 64(3+1)， 64=(3,1) 64(3+1)，(8 分) 128=(3, 1)((10分) 点评: 本题主要考查 了平方差公式， 关键在于把 (3+1)化简为 (3,1)(3+1) 的形式， 18(( 考点: 平方差公式( 专题: 计算题( 分析: 由平方差公式， (1+)(1,) =1,，(1, )(1+)=1 ,，依此类 推，从而得出结 果( 解答: 解:原式=(1, )(1+) ?2010-2013 菁优网 (1+) (1+) (1+) =(1,) (1+) (1+) (1+) =(1,) (1+) (1+) =(1,) (1+) =1,( 点评: 本题考查了平 方差公式的反 复应用，是基础 知识要熟练掌 握( 219((2012•黄冈)已知实数x满足x+=3，则x+的值为 7 ( 考点: 完全平方公式( 专题: 计算题( 分析: 将x+=3两边 平方，然后移项 即可得出答案( 解答: 解:由题意得， x+=3， 两边平方得: 2x+2+=9， 2故x+=7( ?2010-2013 菁优网 故答案为:7( 点评: 此题考查了完 全平方公式的 知识，掌握完全 平方公式的展 开式的形式是 解答此题的关 键，属于基础 题( 220((2007•天水)若a,2a+1=0(求代数式的值( 考点: 完全平方公式( 分析: 根据完全平方 公式先求出a的 值，再代入求出 代数式的值( 2解答: 解:由a, 2a+1=0得(a, 21)=0， ?a=1; 把a=1代入 =1+1=2 ( 故答案为:2( 点评: 本题考查了完 全平方公式，灵 活运用完全平 方公式先求出a 的值，是解决本 题的关键( 221((2009•佛山)阅读材料:把形如ax+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法(配 222方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a?2ab+b=(a?b)( 22222例如:(x,1)+3、(x,2)+2x、(x,2)+x是x,2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、 一次项、二次项,,见横线上的部分)( 请根据阅读材料解决下列问题: 2(1)比照上面的例子，写出x,4x+2三种不同形式的配方; 22(2)将a+ab+b配方(至少两种形式); 222(3)已知a+b+c,ab,3b,2c+4=0，求a+b+c的值( 考点: 完全平方公式( 专题: 阅读型( 分析: (1)(2)本题 考查对完全平 方公式的灵活 ?2010-2013 菁优网 应用能力，由题中所给的已知 2材料可得x,4x+2和 22a+ab+b的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式; (3)通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值( 2解答: 解:(1)x,4x+2的三种配方分别为: 2x,4x+2=(x, 22),2， 2x,4x+2= 2(x+),(2+4)x， 2x,4x+2= 2(x,) 2,x; 22(2)a+ab+b= 2(a+b),ab， 22a+ab+b= 22(a+b)+b; 222(3)a+b+c,ab,3b, 2c+4， 22=(a,ab+b) 2+(b,3b+3) 2+(c,2c+1)， 22=(a,ab+b) 2+(b,4b+4) 2+(c,2c+1)， 2=(a,b)+ 2(b,2)+(c 2,1)=0， 从而有a, ?2010-2013 菁优网 b=0，b,2=0， c,1=0， 即a=1，b=2， c=1， ?a+b+c=4( 点评: 本题考查了根 据完全平方公 22式:a?2ab+b= 2(a?b)进行配 方的能力( 222222((2004•太原)已知实数a、b满足(a+b)=1，(a,b)=25，求a+b+ab的值( 考点: 完全平方公式( 分析: 先由已知条件 展开完全平方 式求出ab的值， 22再将a+b+ab 转化为完全平 2方式(a+b)和 ab的形式，即可 求值( 解答: 解:?(a+b) 2=1，(a,b) 2=25， 22?a+b+2ab=1， 22a+b,2ab=25( ?4ab=,24， ab=,6， 22?a+b+ab=2(a+b),ab=1 ,(,6)=7( 点评: 本题考查了完 全平方公式，利 用完全平方公 式展开后建立 方程组，再整体 代入求解( 23((2001•宁夏)设a,b=,2，求的值( 考点: 完全平方公式( 分析: 对所求式子通 分，然后根据完 全平方公式把 分子整理成平 方的形式，把a ?2010-2013 菁优网 ,b=,2代入计 算即可( 解答: 解:原式 = =， ?a,b=,2， ?原式 ==2 ( 点评: 本题考查了完 全平方公式，利 用公式整理成 已知条件的形 式是解题的关 键，注意整体思 想的利用( 2224(已知(x+y)=49，(x,y)=1，求下列各式的值: 22(1)x+y;(2)xy( 考点: 完全平方公式( 分析: 根据完全平方 2公式把(x+y) 2和(x,y)展 开，然后相加即 22可求出x+y的 值，相减即可求 出xy的值( 解答: 解:由题意知: (x+y) 222=x+y+2xy=4 9?， 222(x,y)=x+y ,2xy=1?， ?+?得:(x+y) 22+(x,y)， 222=x+y+2xy+x2+y,2xy， 22=2(x+y)， =49+1， =50， 22?x+y=25; ?2010-2013 菁优网 ?,?得:4xy= 2(x+y),(x 2,y)=49, 1=48， ?xy=12( 点评: 本题考查了完 全平方公式，灵 活运用完全平 方公式，熟记公 式是解题的关 键( 25(已知x+=4，求x,的值( 考点: 完全平方公式( 分析: 把已知条件两 边平方求出 2x+的值，再 根据完全平方 公式整理成(x 2,)的形式并 代入数据计算， 然后进行开方 运算( 解答: 解:?， ? ， 2?x+=14， ?(x,) 22=x+, 2=12， ?x, =( 点评: 本题考查了完 全平方公式，灵 活运用完全平 方公式，利用好 乘积二倍项不 含字母是常数 ?2010-2013 菁优网 是解题的关键( 2226(已知:x+y=3，xy=2，求x+y的值( 考点: 完全平方公式( 分析: 利用完全平方 公式巧妙转化 即可( 解答: 解:?x+y=3， 22?x+y+2xy=9 ， ?xy=2， 22?x+y=9, 2xy=9,4=5( 点评: 本题考查了利 用完全平方公 式恒等变形的 能力( 22227(已知a+b=3，ab=2，求a+b，(a,b)的值( 考点: 完全平方公式( 分析: 先把a+b=3两边 平方，然后代入 数据计算即可 22求出a+b的 值，根据完全平 方公式把(a, 2b)展开，再代 入数据求解即 可( 解答: 解:?a+b=3， 22?a+2ab+b=9， ?ab=2， 22?a+b=9, 2×2=5; 22?(a,b)=a 2,2ab+b=5, 2×2=1( 点评: 本题主要考查 完全平方公式， 熟记公式结构 是解题的关键， 整体代入思想 的利用使计算 更加简便( 2228(若x+y=2，且(x+2)(y+2)=5，求x+xy+y的值( ?2010-2013 菁优网 考点: 完全平方公式( 专题: 整体思想( 分析: 先根据多项式 乘多项式的法 则把(x+2) (y+2)展开并 代入数据求出 xy的值，再根据 完全平方公式 把x+y=2两边 平方，整理并代 入数据即可求 22出x+xy+y的 值( 解答: 解:?(x+2) (y+2)=5， ?xy+2(x+y) +4=5， ?x+y=2， ?xy=,3， 22?x+xy+y=2(x+y), 2xy=2,(,3) =7( 点评: 本题考查了完 全平方公式，运 用整体代入思 想，熟练对代数 式进行变形是 解题的关键( 2229(x,11x+1=0，求x+的值( 考点: 完全平方公式( 2分析: 先把x, 11x+1=0两边同 除x(由题意可 知x?0)，得到 x+=11，然后把 该式子两边平 方即可得到 2x+的值( 解答: 解:?x?0， ?x+， ?2010-2013 菁优网 2(x+)=121， 2?x+2+ ， 2?x+( 点评: 本题考查了完 全平方公式，关 键是知道隐含 2条件x?0，x, 11x+1=0两边同 除x得到 x+=11，利用x 和互为倒数乘 积是1，利用完 全平方公式来 进行解题( 30(已，求下列各式的值: (1); (2)( 考点: 完全平方公式( 分析: 本题是完全平 方公式的应用， 两数的平方和， 再加上或减去 它们积的2倍， 就构成了一个 完全平方式(使 分式中含有 的形式，代 入求值( 解答: 解:(1)， 2=(x,),2， 2=4,2， =14; (2) ?2010-2013 菁优网 ， =， =， =( 点评: 本题主要考查 完全平方公式， 解题的关键是 灵活运用完全 平方公式，并利 用好乘积二倍 项不含字母是 常数的特点( ?2010-2013 菁优网 ?2010-2013 菁优网